Vrh prostřednictvím zápisu pomocí uspořádané dvojice

Vítej zpět. Rád bych ti představil vlastně jen jiný způsob zápisu vektorů a pak vypočítáme variaci předchozí úlohy pomocí nového zápisu. Chci jen představit jiné věci, aby tě nezmátlo, pokud by tvůj učitel používal jiný druh zápisu než já. Když jsme se zabývali jednotkovými vektory, zjistili jsme, že vektor můžeme vyjádřit pomocí složek x a y. Řekněme tedy, že máme vektor… Vyberu nějaký náhodný na ukázku. Řekněme, že mám vektor „a“, který se rovná 2 krát jednotkový vektor i plus 3 krát jednotkový vektor j. To je jednotkový zápis a na wikipedii jsem našel, že se mu říká inženýrský. Proto ho asi používám, protože jsem inženýr, nebo jsem byl, než jsem začal spravovat peníze. Jiný způsob, jak to napsat, používá závorky, můžeme jej nazvat souřadnicový zápis a vypadá takto. Máme tuto závorku. Toto je složka x, toto složka y. Vypadá to jako uspořádaná dvojice, ale mají tyto závorky, je to vektor. Kreslí se však úplně stejně. Teď, když toto víme, vraťme se k úloze, kterou jsme zrovna řešili. Snad to bude dávat smysl. Je to jen jiný způsob zápisu. Místo i a j napíšeš tyto závorky. Místo plus napíšeš čárku. Toto smažu… Udělám malou obměnu. Je to vlastně druhá část té úlohy. Mám je od svého bratrance. Jsou dost dobré, budu se jich tedy držet. V původní úloze… Nakreslím si znova osy… Toto je osa y. Toto je osa x. V původní úloze jsem začal s míčkem, který je 4 metry nad zemí. Toto je 4. Odpálím ho rychlostí 120 metrů za sekundu pod úhlem 30 stupňů. Toto je úhel 30 stupňů. Úhel 30 stupňů vůči vodorovné ose. Tady je 30 metrů vysoký plot, který je 350 metrů daleko. To je asi tady. To je 30. Chceme zjistit, jestli míček přeletí plot. Když jsme zapisovali jednotkovými vektory, vyšlo, že míček plot nepřekoná. V této úloze, druhé části této úlohy, je ještě závan větru rychlostí 5 metrů za sekundu doprava. Máme tu tedy závan větru, 5 metrů za sekundu, když odpálím míček. Můžeš komplikovaně vymýšlet, jak to míček urychlí. Nebo jaký je odpor vzduchu? Myslím, že aby úloha zůstala jednoduchá, říkají, že se složka x rychlosti míčku zvětší o 5 metrů za sekundu. Myslím, že o to jim jde. Vraťme se k úloze a řešme ji stejně jako předtím, ale tentokrát použijeme jiný zápis. Napíšeme tu samou rovnici, kterou jsem psal předtím, že poloha v libovolném čase je funkcí času, která je rovna… Počáteční poloze, toto je i, plus počáteční rychlost, toto jsou všechno vektory. Počáteční rychlost krát t plus vektor zrychlení lomeno 2 t na druhou. Jaká je tedy počáteční poloha? Teď použijeme nový zápis. Počáteční poloha, když zasáhnu míček, její x složka je 0, že? Je to skoro jako její souřadnice, tento zápis se moc neliší. y poloha je 4. Snadné. Jaká je počáteční rychlost? Vypočítám to. Můžeme ji rozložit na složky x a y. Složka y je 120 krát sinus 30 stupňů, složka x je 120 krát kosinus 30 stupňů. To je jen x složka poté, co míček zasáhnu. Ještě je tu závan větru, bude to tedy plus 5. Myslím, že to myslí, když říkají, že je to závan větru. V okamžiku odpalu vítr urychlí míček ve směru x o 5 metrů za sekundu. Vektor rychlosti. Tento zápis je vlastně lepší, zabírá méně místa a nemáš tu ta písmena i, j a plusy, které dělají zmatek. Jaká je složka x pro vektor počáteční rychlosti? Je to 120 krát kosinus 30. Kosinus 30 je odmocnina ze 3 lomeno 2, krát 120 je 60 odmocnin ze 3 a pak k tomu přičteš 5. Kolik to je? Hned to vyřeším. 3 krát odmocnina ze 3 krát 60 plus 5. Zaokrouhleme nahoru, ať je to jednodušší. Je to 109 metrů za sekundu. 108,9, řekněme tedy 109. x složka rychlosti je 109. Složka y je rovna 120 krát sinus 30. Jelikož sinus 30 je 1/2, tak toto bude 60. Omlouvám se, toto by měly být jiné závorky, i když někteří lidé používají tyto, vypadají jako pro souřadnice, ale já mám raději tyto, aby tě nenapadlo, že jsou to souřadnice, protože jsou to vektory. Polohový vektor je prakticky to samé co souřadnice polohy. Vektor rychlosti zřejmě není souřadnice. Jaký je vektor zrychlení? Vektor zrychlení jde přímo… Toto není přímo dolů. Toto je přímo dolů, velikostí -32 metrů za sekundu na druhou. Tento vektor zrychlení je roven… Nemá x složku a jeho y složka je -32. Pojďme to vložit do naší rovnice. Polohový vektor… Změním barvy, ať to není jednotvárné. Toto jsou malé šipky. …je roven původní poloze, která je (0;4), plus vektor počáteční rychlosti, (109; 60), krát t… Dochází mi místo. …plus a krát t na druhou lomeno 2, t na druhou lomeno 2 krát vektor zrychlení (0; -32). Toto je trochu čistší zápis, je to přesně to samé, jako s jednotkovými vektory. Místo i a j jen píšeme čísla v závorkách. Pojďme to tedy zjednodušit. Budu psát jinou barvou, aby bylo vidět, co dělám. Ok, polohový vektor t se rovná (0; 4) plus… Teď násobím tímto t, vynásobím jím oba členy. …(109t; 60t) plus… Můžeme násobit tímto t na druhou lomeno 2. Toto krát 0 je 0. Toto krát -32 je -16 krát t na druhou. Teď můžeme vektory sečíst. Poloha v libovolném t. Sečtěme všechny x složky vektorů. 0 plus 109t plus 0, máme 109t. Jaké jsou y složky? 4 plus 60t minus 16 krát t na druhou. A je to. Definovali jsme polohový vektor jako funkci času. Pojďme vyřešit úlohu. Teď, když fouká vítr a naše rychlost ve směru x je vyšší, uvidíme, jestli míček přeletí plot. Jak dlouho trvá přeletět 350 metrů ve směru x? Toto číslo musí být rovno 350. Máme 109t rovná se 350. Kolik je 350 děleno 109? 350 děleno 109 se rovná 3,2 sekundy. t se rovná 3,2 sekundy. Jaká je výška v čase 3,2 sekundy? Umocněme to na druhou. 3,2 krát 3,2 krát 16 se rovná 164. Toto je 164. Kolik je 60 krát 3,2? 60 krát 3,2 je 192. Co tedy vyjde? 192 plus 4 minus 164 se rovná 32. Polohový vektor v čase 3,2 sekund je 350 metrů ve směru x a 32 metrů ve směru y, což překoná 30 metrů vysoký plot. Míček přeletí plot o 2 metry. Doufám, že tě to moc nezmátlo. Měj se.