Hlavní obsah

Kurz: Fyzika - mechanika > Kapitola 2

Lekce 6: Vrhy těles

Co jsou složky rychlosti?

Nauč se zjednodušovat vektory rozkladem na složky.

Proč rozkládáme vektory do složek?

Dvojrozměrný pohyb je složitější než jednorozměrný pohyb, protože rychlosti mohou mířit příčně. Baseballový míček se může pohybovat vodorovně i svisle najednou příčnou rychlostí

v

. Vektor té rychlosti rozložíme na dvě odlišné složky, vodorovnou

v_{x}

a svislou

v_{y}

, abychom si usnadnili výpočty.

Snažit se zvládnout vodorovný i svislý směr najednou v jediné rovnici je obtížné; je snazší zvolit přístup „rozděl a panuj.“

Ano, vektor můžeme rozložit do libovolných dvou směrů. V následujícím případě máme ukázáno, jak lze rozložit vektor

v

. Ve speciální teorii relativity se dokonce ukázalo být užitečné rozkládat do dvou směrů, které navzájem nejsou kolmé.

Skoro vždy je ale nejjednodušší rozložit vektor do dvou navzájem kolmých složek. Nejvýhodnější je používat vodorovný a svislý směr, a to díky směru gravitačního zrychlení, které míří jednoduše řečeno přímo dolů.

Dále je spousta otázek kolem rychlosti přirozeně orientována na vodorovný nebo svislý směr a tím pádem se nejsnáz řeší podél těchto os. Například „jak daleko doletí střela,“ nebo „jak vysoko vylétne vržené těleso?“

Rozložení příčné rychlosti

v

na vodorovnou složku

v_{x}

a svislou složku

v_{y}

nám umožňuje zabývat se každým směrem zvlášť. Rozdělíme tak jednu obtížnou fyzikální úlohu na dvě jednodušší jednorozměrné úlohy. Tento trik s rozdělením vektorů na složky funguje i když je vektor něco jiného než rychlost, například síla, hybnost, nebo elektrické pole. Tento trik se vlastně ve fyzice objevuje pořád, je tedy důležité se v rozkladech vektorů zdokonalit co nejdříve.

Jak rozložit vektor do složek?

Ještě než začneme rozkládat vektory, lehce si oprášíme trigonometrii. Díky ní totiž známe vztahy propojující strany pravoúhlého trojúhelníku—přepona, protilehlá odvěsna, přilehlá odvěsna—a jednoho úhlu

θ

tak, jak je to ukázáno na tomto obrázku:

\sin θ = \frac{protilehlá odvěsna}{přepona}

\cos θ = \frac{přilehlá odvěsna}{přepona}

tg θ = \frac{protilehlá přepona}{přilehlá přepona}

Když rozložíme příčný vektor na vzájemně kolmé složky, on a jeho složky —

v, v_{y}, v_{x}

— utvoří pravoúhlý trojúhelník. Díky tomu můžeme při výpočtech uplatnit goniometrické funkce, jak je znázorněno níže. Všimni si, že

v_{x}

je přilehlá odvěsna,

v_{y}

protilehlá a

v

je přepona.

\sin θ = \frac{v_{y}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v}

tg θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Povšimni si, že

v

v těchto vzorečcích představuje délku vektoru rychlosti, celkovou velikost rychlosti, takže nemůže nikdy být záporné. Složky

v_{x}

v_{y}

záporné být mohou, pokud míří záporným směrem. Dle běžné úmluvy je doleva záporný směr

x

a dolů záporný směr

y

Jak určit velikost a úhel příčného vektoru?

V předchozí části jsme viděli, jak rozložit velikost vektoru a jeho odchylku na vodorovnou a svislou složku. Co když ale začínáš se složkami rychlosti

v_{y}

v_{x}

? Jak můžeš využít složky k nalezení velikosti vektoru celkové rychlosti

v

a jeho úhlu

θ

Určení velikosti vektoru celkové rychlosti není těžké, protože pro každý pravoúhlý trojúhelník můžeme délku přepony spočítat pomocí délek odvěsen a Pythagorovy věty.

v^{2} = {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}

Odmocněním získáme délku vektoru celkové rychlosti vyjádřenou pomocí jeho složek.

v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

Rovněž, známe-li obě složky celkového vektoru, můžeme zjistit jeho úhlu pomocí funkce

tan θ

tg θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Inverzí funkce tangens získáme úhel vektoru celkové rychlosti vyjádřen pomocí jeho složek.

θ = {tg}^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

Čím rozklad vektorů lidi nejvíc mate?

Když používáme vzoreček

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

, skutečnost, že dáváme

v_{y}

do čitatele jako protilehlou odvěsnu a

v_{x}

do jmenovatele jako přilehlou odvěsnu znamená, že úhel měříme od vodorovné osy. Zdálo by se, že vymyslet podobu úhlu bude obtížné, ale tady jsou dvě dobré rady:

Jsou-li směry vzhůru a doprava zvoleny jako kladné, je-li vodorovná složka

v_{x}

kladná, vektor míří doprava. Je-li vodorovná složka

v_{x}

záporná, vektor míří doleva.

Dále, jsou-li směry vzhůru a doprava zvoleny jako kladné, je-li svislá složka

v_{y}

kladná, vektor míří vzhůru. Je-li svislá složka

v_{y}

záporná, vektor míří dolů.

Například máme složky vektoru

v_{x} = - 12 m/s

v_{y} = 10 m/s

, takže vektor míří doleva — protože

v_{x}

je záporné — a vzhůru — protože

v_{y}

je kladné.

Ověření porozumění: Má-li papírová vlaštovka složky rychlosti

v_{x} = - 7 m/s

v_{y} = - 5 m/s

, kterým směrem se pohybuje — za předpokladu, že směry doprava a vzhůru jsou kladné?

Ne vždy. Problém je, že když zadáváme do vzorce

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

záporné hodnoty, kalkulačky nevědí, jestli je záporné znaménko v čitateli nebo jmenovateli. Jsou-li obě hodnoty záporné, kalkulačka záporná znaménka vzájemně vyruší a dá nám úhel odpovídající kladným hodnotám.

To naštve, ale dá se to obejít. Dobrou strategií je zadat do vzorce

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

obě složky jako kladná čísla. Pak stačí určit kvadrant, do kterého vektor zakreslíme, podle znamének složek. Tento způsob použijeme v řešených příkladech níže.

Jak vypadají řešené příklady na rozklad vektorů?

Příklad 1: Otoč to jako Beckham

Fotbalový míč je vykopnut doprava pod úhlem 30

^{\circ}

rychlostí 24,3 m/s podle obrázku níže.

Jaká je v zobrazeném okamžiku svislá složka rychlosti?

Jaká je v zobrazeném okamžiku vodorovná složka rychlosti?

Abychom určili svislou složku rychlosti, použijeme vztah

sin θ = \frac{protilehlá odvěsna}{přepona} = \frac{v_{y}}{v}

. Přeponou je velikost rychlosti

v

, 24,3 m/s, a

v_{y}

je stranou protilehlou vůči úhlu 30

^{\circ}

\sin θ = \frac{v_{y}}{v} (Použijeme definici sinu.)

v_{y} = v \sin θ (Vyjádříme svislou složku.)

v_{y} = (24, 3 m/s) \sin (30^{\circ}) (Dosadíme hodnoty.)

v_{y} = 12, 2 m/s (Vyčíslíme a oslavíme!)

Vodorovnou složku vypočítáme pomocí vztahu

\cos θ = \frac{přilehlá odvěsna}{přepona} = \frac{v_{x}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v} (Použijeme definici cosinu.)

v_{x} = v \cos θ (Vyjádříme vodorovnou složku.)

v_{x} = (24, 3 m/s) \cos (30^{\circ}) (Dosadíme hodnoty.)

v_{x} = 21, 0 m/s (Vyčíslíme a oslavíme!)

Příklad 2: Naštvaný racek

Naštvaný racek přelétá nad Prahou s vodorovnou složkou rychlosti

v_{x} = 14, 6 m/s

a svislou složkou rychlosti

v_{y} = - 8, 62 m/s

Jaká je velikost celkové rychlosti racka?

Jaký je úhel celkové rychlosti?

Předpokládej, že směry nahoru a doprava jsou kladné a úhly se měří proti směru hodinových ručiček od kladné poloosy x.

Velikost vektoru celkové rychlosti vypočítáme pomocí Pythagorovy věty.

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (Pythagorova věta.)

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} (Odmocníme obě strany.)

v = \sqrt{(14, 6 m/s)^{2} + (- 8, 62 m/s)^{2}} (Dosadíme.)

v = 17, 0 m/s (Vyčíslíme a oslavíme!)

Abychom určili úhel, použijeme definici funkce

tangens

, ale protože už známe

v

, mohli bychom použít i

sinus

nebo

kosinus

tg θ = \frac{v_{y}}{v_{x}} (Použijeme definici funkce tangens.)

θ = {tg}^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}}) (Použijeme na obě strany inverzní tangens.)

θ = {tg}^{- 1} (\frac{8, 62 m/s}{14, 6 m/s}) (Dosadíme hodnoty.)

θ = 30, 6^{\circ} (Vyčíslíme a oslavíme!)

Jelikož je svislá složka

v_{y} = - 8, 62 m/s

, víme, že vektor směřuje dolů, a protože

v_{x} = 14, 6 m/s

, víme, že vektor směřuje doprava. Vektor tedy zakreslíme do čtvrtého kvadrantu.

Racek se pohybuje rychlostí

17, 0 m/s

pod úhlem

30, 6^{\circ}

pod úrovní vodorovné osy.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.