Šikmý vrh

Mám tady nějaký vrhač, který bude vrhat například kameny, a to rychlostí 10 metrů za sekundu. Směr té rychlosti bude 30 stupňů nahoru od vodorovného směru. Úhel mezi směrem výstřelu a rovnou zemí je 30 stupňů. V tomto videu budu chtít zjistit, jak daleko kámen doletí? Abychom úlohu zjednodušili, rozložíme tento vektor rychlosti na svislou a vodorovnou složku. Budeme používat svislou složku… Nakreslím to… Tento vektor rychlosti můžeme rozložit na svislou a vodorovnou složku. Dostaneme nějakou svislou složku, kousek rychlosti směřující nahoru, s pomocí které zjistíme, jak dlouho bude kámen ve vzduchu, protože to nezávisí na tom, jaká je vodorovná složka. Svislá složka určuje, jak kámen zpomaluje vlivem gravitace a pak zase zrychluje… Zkrátka, jak dlouho bude ve vzduchu. Jakmile zjistíme, jak dlouho bude ve vzduchu, můžeme to vynásobit vodorovnou složkou rychlosti, abychom zjistili, jak daleko doletí. Jako obvykle, celou dobu předpokládáme, že můžeme zanedbat odpor vzduchu. Samozřejmě pokud by odpor vzduchu hrál významnou roli, tato vodorovná rychlost by při letu nezůstávala konstantní. Budeme ale předpokládat, že zůstává, že se nemění, že odpor je zanedbatelný. Mohli bychom tento experiment dělat třeba na Měsíci, aby to vyšlo přesně. Pojďme vyřešit úlohu. První věc, co chceme udělat, je rozložit tento vektor rychlosti. Chceme rozložit tento vektor rychlosti, který má velikost 10 metrů za sekundu a úhel 30 stupňů od vodorovného směru. Chceme jej rozložit na složky x a y, na jeho vodorovnou a svislou složku. Toto je vodorovná… Nakreslím to lépe… Toto je vodorovná složka a tato svislá vypadá takto. Toto je svislá složka. Začněme svislou složkou. Jak zjistíme svislou složku, známe-li přeponu pravoúhlého trojúhelníku a tento úhel? Úhel a strana, tato svislá složka, nebo její velikost, je protilehlá strana. Chceme zjistit protilehlou stranu. Sinus je protilehlá lomeno přepona. Víme tedy, že sinus 30 stupňů bude roven velikosti svislé složky rychlosti. Takže velikost rychlosti ve směru y… To je svislý směr… y směřuje nahoru.… Rovná se velikost naší rychlosti, rychlosti ve směru y, děleno velikostí přepony, velikostí našeho původního vektoru. Děleno 10 metry za sekundu. Abychom zjistili tuto hodnotu, vynásobíme obě strany 10. Dostaneme 10 krát sinus 30 stupňů, to se bude rovnat velikosti svislé složky. Kolik je sinus 30 stupňů? Toto si možná pamatuješ z hodin trigonometrie. Můžeš si vzít kalkulačku, jestli chceš, ale sinus 30 stupňů je celkem jednoduchý. Je to 1/2. Použij kalkulačku, pokud si to nepamatuješ. Sinus 30 stupňů je 1/2. 10 krát 1/2 bude 5. Tady jsem zapomněl jednotky, takže to bude 5 metrů za sekundu. To je rovno velikosti svislé složky. Napíšu to správnou barvou. Rovná se velikosti naší svislé složky. K čemu to je? Tato střela, protože její svislá složka je 5 metrů za sekundu, zůstane ve vzduchu stejnou dobu jako cokoli se svislou složkou 5 metrů za sekundu. Pokud hodíš kámen přímo nahoru rychlostí 5 metrů za sekundu, zůstal by ve vzduchu úplně stejně dlouho jako tento, protože by měly stejnou svislou složku rychlosti. Zjistěme tedy, jak dlouho se udrží ve vzduchu. Jelikož začínáme i končíme na zemi, tedy ve stejné výšce, a také zanedbáváme odpor vzduchu, můžeme trochu zjednodušovat. Udělám jinou verzi, kterou zesložitíme, aby šla použít i v jiných situacích. Můžeme říct: „Jak se nám tu mění rychlost?“ Řešíme-li jen svislou rychlost, naši původní rychlost… Napíšu to takto: Původní rychlost, to je… Toto všchno označím… Řešíme pouze svislý směr. Udělám všechno ve svislém směru, co je napsané modře. Řešíme svislý směr. Původní rychlost ve svislém směru bude 5 metrů za sekundu. Použijeme úmluvu, že směr nahoru je kladný a směr dolů záporný. Jaká bude konečná rychlost? Poletíme nahoru, bude nás zpomalovat gravitace. Někde se úplně zastavíme. Pak začneme zrychlovat zpátky dolů. Pokud zanedbáme odpor vzduchu, při dopadu na zem budeme mít stejně velkou rychlost, ale v opačném směru. Pamatuj, konečná rychlost, mluvíme pořád o svislém směru. Na vodorovný jsme zatím ani nemysleli. Jen se snažíme zjistit, jak dlouho to zůstane ve vzduchu? Konečná rychlost bude -5 metrů za sekundu. Toto je počáteční rychlost, konečná bude vypadat takto. Stejná velikost, opačný směr. Jak se mění rychlost ve svislém směru? Změna rychlosti ve svislém směru, tedy ve směru y, bude konečná rychlost, -5 metrů za sekundu, minus počáteční rychlost, tedy minus 5 metrů za sekundu. To se bude rovnat -10 metrů za sekundu. Jak použijeme tuto informaci, abychom zjistili čas ve vzduchu? To víme! Víme, že změna svislé rychlosti bude rovna svislému zrychlení násobenému změnou času. Krát čas, který uplyne. Jaké je zrychlení ve svislém směru? Jaké je zrychlení způsobené gravitací, které působí na volně padající těleso? To bude -9,8 metrů za sekundu na druhou. Tato veličina je tedy -10 metrů za sekundu, to už jsme zjistili, to bude změna rychlosti. -10 metrů za sekundu se rovná -9,8 metrů za sekundu na druhou krát změna času. Abychom vypočítali čas, po který těleso bylo ve vzduchu, jednoduše vydělíme obě strany -9,8 metry za sekundu na druhou. Vyjde nám… Vypočtěme to… Chci to udělat stejnou barvou. Udělám to… No, takto to stačí. Máme -9,8 metrů za sekundu na druhou. Toto se vyruší a získáme změnu času. Jen si vezmu kalkulačku. Mám minus děleno minus, vyjde tedy plus, to je dobře. Chci být v kladném čase. Předpokládáme, že čas, který uběhl, je kladný. Co nám vyjde? Vezmu kalkulačku. Toto je 10 děleno 9,8. Vyšlo 1,02. Zaokrouhlím na dvě desetinná místa. To mi dá 1,02 sekund. Naše změna času je 1,02. Δt, teď používám malá písmena, ale můžu psát všechno malými písmeny. Rovná se 1,02 sekund. Jak to využijeme, abychom zjistili, jak daleko ten kámen doletí? Za předpokladu, že si po celou dobu letu zachová svoji vodorovnou složku rychlosti, můžeme to prostě násobit změnou času a získat celkové posunutí ve vodorovném směru. K tomu potřebujeme zjistit tuto vodorovnou složku, což jsme ještě neudělali. Toto je složka naší rychlosti ve směru x, ve vodorovném směru. Zase vybalíme nějakou trigonometrii. Tato strana je přilehlá úhlu, přilehlá ku přeponě je kosinus úhlu. Kosinus úhlu je přilehlá ku přeponě. Dostaneme kosinus. Kosinus 30 stupňů… Chci to mít správnou barvou… Kosinus 30 stupňů je roven přilehlé straně. Rovná se přilehlé straně, která odpovídá velikosti vodorovné složky, rovná se přilehlé straně dělené přeponou. Děleno 10 metrů za sekundu. Vynásobíme obě strany 10 metry za sekundu a dostaneme velikost přilehlé strany. Přepínání barev je obtížné. Velikost přilehlé strany je rovna 10 metrů za sekundu krát kosinus 30 stupňů. Kosinus 30 stupňů si asi nepamatuješ, můžeš tedy použít kalkulačku. Pokud si to pamatuješ, můžeš zadat odmocninu ze 3 dělenou 2. Odmocnina ze 3, děleno 2. Abych zjistil tu složku, můžu si vzít kalkulačku, ale zatím ji nemusím použít, protože mám 10 krát odmocnina ze 3 lomeno 2. 10 děleno 2 je 5, výsledek je tedy 5 krát odmocnina ze 3 metrů za sekundu. Pokud chci určit celkové vodorovné posunutí… Zkusme to takto… Snažíme se určit vodorovné posunutí, označíme ho „S“, rovná se průměrné rychlosti ve směru x, ve vodorovném směru. To bude těchto 5 krát odmocnina ze 3 metrů za sekundu, protože to se nemění. Takže to bude 5… Nechci tu stejnou barvu… Bude to 5 odmocnin ze 3 metrů za sekundu krát změna času, krát doba, po kterou je kámen ve vzduchu. To jsme vypočítali! Je to 1,02 sekund. Krát 1,02 sekund. Sekundy se vyruší se sekundami a odpověď dostaneme v metrech. Teď vezmeme kalkulačku a vypočítáme to. Máme 5 krát odmocnina ze 3 krát 1,02. Vyšlo 8,83 metrů. Zaokrouhlíme. To bude rovno… Pardon… Bude to 8,8. To mi vyšlo? 8,83 metrů. A jsme hotovi! V příštím videu se pokusím ukázat další způsob, jak vyřešit toto Δt. Chtěl bych ti ukázat, že existuje několik způsobů, jak to řešit. Jsou trochu složitější, ale také účinnější, především v úlohách, kdy nezačínáme a nekončíme ve stejné výšce.