Hlavní obsah

Kurz: Fyzika - mechanika > Kapitola 2

Lekce 6: Vrhy těles

Co je to dvourozměrný vrh?

Zjisti, jak se tělesa pohybují vzduchem.

Co je to dvourozměrný vrh?

V rozhořčení vyvolaném přemírou cukru hodíš plechovku přes místnost. Opíše vzduchem křivku zobrazenou čárkovanou čarou na obrázku níže. Plechovku v tomto případě považujeme za těleso vržené ve dvou rozměrech, protože letí jak svisle, tak vodorovně, a je pouze pod vlivem tíhy.

Ano, všechna tělesa pohybující se vzduchem jsou pod vlivem odporu vzduchu. Odpor vzduchu je ale složitý, takže jej většinu času považujeme za zanedbatelný (dostatečně nízký, abychom si jej nemuseli všímat). Ne vždy je to dobrý odhad, ale funguje přiměřeně pro předměty, které jsou oproti odporu vzduchu dostatečně těžké.

Pamatuj, že odporová síla vzduchu se zvyšuje s rostoucí rychlostí tělesa. Často tedy budeme pracovat s rychlostmi, které jsou dost malé na to, abychom mohli odpor vzduchu stále zanedbat.

Jelikož tíhová síla táhne dolů, tíha ovlivní jen svislou složku rychlosti plechovky

v_{y}

. Vodorovná složka

v_{x}

zůstane po celou dobu konstantní.

Posouvej tečkou v grafu níže a pozoruj, jak se svislá složka rychlosti

v_{y}

mění, zatímco vodorovná složka

v_{x}

zůstává konstantní.

Ověření porozumění: Jaká je velikost svislé složky rychlosti v nejvyšším bodě trajektorie tělesa?

Jak se s dvourozměrným pohybem vypořádáváme matematicky?

Jedním z nejjednodušších způsobů, jak se vyrovnat s dvourozměrným pohybem, je prostě řešit každý směr zvlášť. Jinými slovy použijeme jednu sadu rovnic pro vodorovný pohyb plechovky a druhou sadu pro svislý pohyb plechovky. To promění jednu složitou dvourozměrnou úlohu na dvě jednodušší jednorozměrné úlohy. Můžeme to udělat, protože svislá rychlost plechovky nijak neovlivňuje její vodorovnou rychlost, a stejně tak ani vysoká vodorovná rychlost nemá vliv na svislé zrychlení plechovky. Tím pádem projektil, který vystřelíme, dopadne na zem ve stejný okamžik jako náboj, který ze stejné výšky pouze upustíme.

Ano. Tato myšlenka je mnoha lidem proti mysli, ale můžeme-li zanedbat odpor vzduchu a projektil je vystřelen vodorovně, pak vystřelený projektil dopadne ve stejný okamžik jako upuštěný.

Důvodem je, že vodorovná rychlost nemá vliv na svislé zrychlení kulky, takže obě mění svou rychlost ve stejném čase o stejnou hodnotu (tedy skutečnost, že jedna z kulek má vodorovnou rychlost neovlivňuje, jak padá dolů).

Vodorovný směr:

Ve vodorovném směru není žádné zrychlení, protože tíha netáhne vržená tělesa směrem do strany. Vodorovné zrychlení by mohl způsobit odpor vzduchu, ale protože předpokládáme příklady, kdy je zanedbatelný, uvažujeme, že je vodorovná rychlost vrženého tělesa konstantní.

Pro vodorovný směr můžeme použít rovnici

Δ x = v_{x} t

Vzoreček

Δ x = v t

můžeme k výpočtu dráhy tělesa v daném směru použít za předpokladu, že je rychlost v tom směru konstantní.

Konstantní vodorovná rychlost znamená, že

a_{x} = 0

. Dosadíme-li

a_{x} = 0

do pohybové rovnice

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

, dostaneme prostě

Δ x = v_{0 x} t

. Rychlosti v tomto vzorci nemusíme říkat počáteční vodorovná rychlost, protože vodorovná rychlost je konstantní. Nahradíme-li

v_{0 x}

výrazem

v_{x}

, vyjde nám

Δ x = v_{x} t

Poznámka: Ujisti se, že do této rovnice dosazuješ pouze veličiny ve vodorovném směru. Znáš-li dvě veličiny v této rovnici, můžeš vypočítat třetí neznámou.

Svislý směr:

Tělesa vržena ve dvou rozměrech jsou pod vlivem konstantního tíhového zrychlení směřujícího dolů

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

. Jelikož je svislé zrychlení konstantní, můžeme veličiny ve svislém směru řešit jednou z pohybových rovnic ze seznamu níže.

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

Ujisti se, že do této rovnice dosazuješ pouze veličiny ve svislém směru. Znáš-li tři veličiny obsažené v těchto rovnicích, můžeš vypočítat libovolnou z ostatních neznámých.

Poznámka: Pro daný pohyb má časový interval

t

v rovnicích pro vodorovný či svislý směr v daném okamžiku stejnou hodnotu. Pokud tedy počítáme čas

t

, můžeme

t

dosadit do rovnic pro vodorovný i svislý směr. Tato strategie se používá v množství úloh. Často se čas

t

určí z jedné z rovnic pro svislý směr a poté se dosadí do rovnice pro vodorovný směr, nebo naopak.

Co lidi na dvourozměrných vrzích často mate?

Lidé se mnohdy snaží dosadit svisle směřující veličiny do rovnic pro vodorovné a naopak. Zpracování každého směru (vodorovného a svislého) zvlášť funguje pouze pokud počítáš s danými směry (

x

nebo

y

) v rovnicích pro ně určených.

Počáteční rychlosti směřující příčně budeš muset rozložit na vodorovné a svislé složky. To lidem často dělá problémy. Přečti si tento článek ohledně goniometrických funkcí, které k tomu budeš potřebovat.

Je-li těleso vrženo vodorovně, počáteční svislá složka rychlosti je nulová

v_{0 y} = 0

(viz příklad 1 níže). Spousta lidí nerozumí tomu, jak může těleso mít vodorovnou složku rychlosti, ale žádnou svislou.

Jak vypadají řešené příklady na dvourozměrný vrh?

Příklad 1: Vodorovně hozený balonek s vodou

Ze střechy vysoké

H = 23, 0 m

hodíme vodorovně rychlostí

v_{0} = 8, 31 \frac{m}{s}

balonek plněný vodou.

Jak daleko balonek doletí, než dopadne na zem?

Můžeme začít nakreslením diagramu obsahujícího všechny zadané veličiny.

Jakmile známe čas letu

t

, budeme moci vyřešit vodorovné posunutí pomocí vzorce

Δ x = v_{x} t

. Abychom spočítali čas, dáme dohromady tři veličiny, které známe pro svislou složku pohybu (

Δ y = - 23, 0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

K výpočtu času

t

použijeme pohybovou rovnici. Neznáme koncovou rychlost

v_{y}

, ani nemáme

v_{y}

vypočítat, takže použijeme pohybovou rovnici, která koncovou rychlost neobsahuje.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (použijeme pohybovou rovnici bez koncové rychlosti)

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (dosadíme známé svislé veličiny)

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (symbolicky vyjádříme čas t)

t = \sqrt{\frac{2 (- 23, 0 m)}{- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2, 17 s (dosadíme hodnoty veličin a vypočítáme čas letu)

Teď musíme dosadit čas

t

do rovnice pro vodorovný pohyb, abychom zjistili posunutí

Δ x

Δ x = v_{x} t (použijeme rovnici vodorovného posunutí)

Δ x = (8, 31 \frac{m}{s}) (2, 17 s) (dosadíme čas letu a v_{x})

Δ x = 18, 0 m (vyčíslíme a oslavíme)

Balonek s vodou dopadl na zem

18, 0 m

vodorovně od paty budovy.

Ano, a symbolické řešení úloh je skvělé, protože tím způsobem můžeš vyřešit každou možnou úlohou daného druhu.

Například, dosadíme-li symbolický výraz pro čas

t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}

a počáteční rychlost

v_{0}

do vzorečku vodorovného posunutí

Δ x = v_{x} t

, dostaneme rovnici

Δ x = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}}

Tato rovnice bude fungovat pro libovolné těleso vržené vodorovně libovolnou rychlostí

v_{0}

ze střechy budovy výšky

h

. Stačí jen dosadit výšku a počáteční rychlost dané úlohy a ze vzorečku okamžitě vypadne, jak daleko vržené těleso doletí, než dopadne na zem.

Příklad 2: Šikmo vržená dýně

Z útesu výšky

H = 18, 0 m

vrhne katapult dýni s počáteční rychlostí

v_{0} = 11, 4 \frac{m}{s}

a úhlem

θ = 52, 1^{\circ}

, jak znázorňuje obrázek níže.

Jakou velikostí rychlosti se dýně pohybuje těsně před dopadem na zem?

Koncovou velikost rychlosti dýně zjistíme pomocí složek koncové rychlosti (

v_{x}

v_{y}

Protože určujeme velikost rychlosti dýně těsně před okamžikem dopadu, nulovou rychlost nepředpokládáme.

Kromě toho, v okamžiku, kdy dýně dopadne, už nebude její zrychlení rovno

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

, protože náraz zrychlení drasticky změní. Pohybové rovnice platí jen v časových intervalech, kdy je zrychlení konstantní. To znamená, že samotný okamžik dopadu tělesa většinou do výpočtů nezahrnujeme, protože nemáme o zrychlení v tomto čase dost přesné informace.

Než to budeme moci provést, musíme stanovit složky počáteční rychlosti (

v_{0 x}

v_{0 y}

), a to pomocí definic sinu a kosinu.

cos θ = \frac{přilehlá odvěsna}{přepona} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (použijeme definici kosinu)

v_{0 x} = v_{0} cos θ (vyjádříme v_{0 x})

v_{0 x} = (11, 4 \frac{m}{s}) cos (52, 1^{\circ}) (dosadíme číselné hodnoty)

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s} (vyčíslíme v_{0 x})

(Poznámka: Pokud ti to připadalo jako nesrozumitelné matematické čáry máry, tento článek ti poradí, jak na rozklady vektorů do složek.)

Tato hodnota počáteční vodorovné rychlosti

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s}

bude také vodorovnou složkou koncové rychlosti

v_{x} = 7, 00 \frac{m}{s}

, protože, zanedbáme-li odpor vzduchu, je vodorovná složka rychlosti během celého pohybu konstantní.

Abychom určili svislou složku počáteční rychlosti, provedeme to samé co předtím, ale místo kosinu použijeme sinus.

sin θ = \frac{protilehlá odvěsna}{přepona} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (použijeme definici sinu)

v_{0 y} = v_{0} sin θ (vyjádříme v_{0 y})

v_{0 y} = (11, 4 \frac{m}{s}) sin (52, 1^{\circ}) (dosadíme číselné hodnoty)

v_{0 y} = 9, 00 \frac{m}{s} (vyčíslíme v_{0 y})

Protože se svislá složka rychlosti

v_{y}

během pohybu tělesa vzduchem mění, budeme musel

v_{y}

určit pomocí pohybové rovnice. Protože neznáme dobu letu

t

, ani nemáme

t

zjistit, použijeme pohybovou rovnici, která

t

neobsahuje.

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (použijeme pohybovou rovnici, která neobsahuje čas)

v_{y}^{2} = (9, 00 \frac{m}{s})^{2} + 2 (- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (- 18 m) (dosadíme známé hodnoty)

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (vyčíslíme)

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20, 8 \frac{m}{s} (odmocníme)

v_{y} = - 20, 8 \frac{m}{s} (zvolíme záporný kořen, protože dýně bude mířit směrem dolů)

Teď když známe vodorovnou i svislou složku koncové rychlosti, můžeme vypočítat velikost koncové rychlosti použitím Pythagorovy věty.

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (použijeme Pythagorovu větu)

v^{2} = (7, 00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20, 8 \frac{m}{s})^{2} (dosadíme vodorovnou a svislou složku koncové rychlosti)

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (vyčíslíme)

v = 21, 9 \frac{m}{s} (odmocníme)

Tato velikost rychlosti

v = 21, 9 \frac{m}{s}

platí těsně před okamžikem dopadu dýně na zem. Vztah mezi koncovou rychlostí a jejími složkami ilustuje obrázek níže.

Pomocí funkce tangens bychom také mohli určit velikost úhlu

ϕ

koncové rychlosti.

tan ϕ = \frac{protilehlá odvěsna}{přilehlá odvěsna} = \frac{v_{y}}{v_{x}}

tan ϕ = \frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}}

Řešíme jen velikost úhlu mezi vodorovnou a koncovou rychlostí, takže dosazujeme jen velikosti vodorovné a koncové rychlosti.

Důvodem je, že kalkulačka často neví, jestli je minus u čitatele nebo jmenovatele ve funkci tangens, takže nám nepoví, ve kterém kvadrantu se úhel nachází. Abychom si tím nemuseli lámat hlavu, jednoduše si nakreslíme, kterým směrem koncová rychlost míří, všechny složky považujeme za kladné a pak určíme kýženou velikost úhlu.

Když teď použijeme inverzní tangens na obě strany rovnice, získáme

t a n^{- 1} (tan ϕ) = t a n^{- 1} (\frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}})

Na levé straně zůstane jen

ϕ

, a když pravou stranu zadáme do kalkulačky, vyjde

ϕ = 71, 4^{\circ}

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.