If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Co je to dvourozměrný vrh?

Zjisti, jak se tělesa pohybují vzduchem.

Co je to dvourozměrný vrh?

V rozhořčení vyvolaném přemírou cukru hodíš plechovku přes místnost. Opíše vzduchem křivku zobrazenou čárkovanou čarou na obrázku níže. Plechovku v tomto případě považujeme za těleso vržené ve dvou rozměrech, protože letí jak svisle, tak vodorovně, a je pouze pod vlivem tíhy.
Jelikož tíhová síla táhne dolů, tíha ovlivní jen svislou složku rychlosti plechovky vy. Vodorovná složka vx zůstane po celou dobu konstantní.
Posouvej tečkou v grafu níže a pozoruj, jak se svislá složka rychlosti vymění, zatímco vodorovná složka vx zůstává konstantní.
Ověření porozumění: Jaká je velikost svislé složky rychlosti v nejvyšším bodě trajektorie tělesa?

Jak se s dvourozměrným pohybem vypořádáváme matematicky?

Jedním z nejjednodušších způsobů, jak se vyrovnat s dvourozměrným pohybem, je prostě řešit každý směr zvlášť. Jinými slovy použijeme jednu sadu rovnic pro vodorovný pohyb plechovky a druhou sadu pro svislý pohyb plechovky. To promění jednu složitou dvourozměrnou úlohu na dvě jednodušší jednorozměrné úlohy. Můžeme to udělat, protože svislá rychlost plechovky nijak neovlivňuje její vodorovnou rychlost, a stejně tak ani vysoká vodorovná rychlost nemá vliv na svislé zrychlení plechovky. Tím pádem projektil, který vystřelíme, dopadne na zem ve stejný okamžik jako náboj, který ze stejné výšky pouze upustíme.

Vodorovný směr:

Ve vodorovném směru není žádné zrychlení, protože tíha netáhne vržená tělesa směrem do strany. Vodorovné zrychlení by mohl způsobit odpor vzduchu, ale protože předpokládáme příklady, kdy je zanedbatelný, uvažujeme, že je vodorovná rychlost vrženého tělesa konstantní.
Pro vodorovný směr můžeme použít rovnici
Poznámka: Ujisti se, že do této rovnice dosazuješ pouze veličiny ve vodorovném směru. Znáš-li dvě veličiny v této rovnici, můžeš vypočítat třetí neznámou.

Svislý směr:

Tělesa vržena ve dvou rozměrech jsou pod vlivem konstantního tíhového zrychlení směřujícího dolů ay=9,8ms2. Jelikož je svislé zrychlení konstantní, můžeme veličiny ve svislém směru řešit jednou z pohybových rovnic ze seznamu níže.
1.vy=v0y+ayt
2.Δy=(vy+v0y2)t
3.Δy=v0yt+12ayt2
4.vy2=v0y2+2ayΔy
Ujisti se, že do této rovnice dosazuješ pouze veličiny ve svislém směru. Znáš-li tři veličiny obsažené v těchto rovnicích, můžeš vypočítat libovolnou z ostatních neznámých.
Poznámka: Pro daný pohyb má časový interval t v rovnicích pro vodorovný či svislý směr v daném okamžiku stejnou hodnotu. Pokud tedy počítáme čas t, můžeme t dosadit do rovnic pro vodorovný i svislý směr. Tato strategie se používá v množství úloh. Často se čas t určí z jedné z rovnic pro svislý směr a poté se dosadí do rovnice pro vodorovný směr, nebo naopak.

Co lidi na dvourozměrných vrzích často mate?

Lidé se mnohdy snaží dosadit svisle směřující veličiny do rovnic pro vodorovné a naopak. Zpracování každého směru (vodorovného a svislého) zvlášť funguje pouze pokud počítáš s danými směry (x nebo y) v rovnicích pro ně určených.
Počáteční rychlosti směřující příčně budeš muset rozložit na vodorovné a svislé složky. To lidem často dělá problémy. Přečti si tento článek ohledně goniometrických funkcí, které k tomu budeš potřebovat.
Je-li těleso vrženo vodorovně, počáteční svislá složka rychlosti je nulová v0y=0 (viz příklad 1 níže). Spousta lidí nerozumí tomu, jak může těleso mít vodorovnou složku rychlosti, ale žádnou svislou.

Jak vypadají řešené příklady na dvourozměrný vrh?

Příklad 1: Vodorovně hozený balonek s vodou

Ze střechy vysoké H=23,0 m hodíme vodorovně rychlostí v0=8,31ms balonek plněný vodou.
Jak daleko balonek doletí, než dopadne na zem?
Můžeme začít nakreslením diagramu obsahujícího všechny zadané veličiny.
Jakmile známe čas letu t, budeme moci vyřešit vodorovné posunutí pomocí vzorce Δx=vxt. Abychom spočítali čas, dáme dohromady tři veličiny, které známe pro svislou složku pohybu (Δy=23,0 m, v0y=0, a=9,8ms2).
K výpočtu času t použijeme pohybovou rovnici. Neznáme koncovou rychlost vy, ani nemáme vy vypočítat, takže použijeme pohybovou rovnici, která koncovou rychlost neobsahuje.
Δy=v0yt+12ayt2(použijeme pohybovou rovnici bez koncové rychlosti)
H=(0)t+12(g)t2(dosadíme známé svislé veličiny)
t=2Hg(symbolicky vyjádříme čas t)
t=2(23,0 m)9,8ms2=2,17 s(dosadíme hodnoty veličin a vypočítáme čas letu)
Teď musíme dosadit čas t do rovnice pro vodorovný pohyb, abychom zjistili posunutí Δx.
Δx=vxt(použijeme rovnici vodorovného posunutí)
Δx=(8,31ms)(2,17 s)(dosadíme čas letu a vx)
Δx=18,0 m(vyčíslíme a oslavíme)
Balonek s vodou dopadl na zem 18,0 m vodorovně od paty budovy.

Příklad 2: Šikmo vržená dýně

Z útesu výšky H=18,0 m vrhne katapult dýni s počáteční rychlostí v0=11,4ms a úhlem θ=52,1, jak znázorňuje obrázek níže.
Jakou velikostí rychlosti se dýně pohybuje těsně před dopadem na zem?
Koncovou velikost rychlosti dýně zjistíme pomocí složek koncové rychlosti (vx a vy).
Než to budeme moci provést, musíme stanovit složky počáteční rychlosti (v0x a v0y), a to pomocí definic sinu a kosinu.
cos θ=přilehlá odvěsnapřepona=v0xv0(použijeme definici kosinu)
v0x=v0 cos θ(vyjádříme v0x)
v0x=(11,4 ms) cos(52,1)(dosadíme číselné hodnoty)
v0x=7,00 ms(vyčíslíme v0x)
(Poznámka: Pokud ti to připadalo jako nesrozumitelné matematické čáry máry, tento článek ti poradí, jak na rozklady vektorů do složek.)
Tato hodnota počáteční vodorovné rychlosti v0x=7,00 ms bude také vodorovnou složkou koncové rychlosti vx=7,00 ms, protože, zanedbáme-li odpor vzduchu, je vodorovná složka rychlosti během celého pohybu konstantní.
Abychom určili svislou složku počáteční rychlosti, provedeme to samé co předtím, ale místo kosinu použijeme sinus.
sin θ=protilehlá odvěsnapřepona=v0yv0(použijeme definici sinu)
v0y=v0 sin θ(vyjádříme v0y)
v0y=(11,4 ms) sin(52,1)(dosadíme číselné hodnoty)
v0y=9,00 ms(vyčíslíme v0y)
Protože se svislá složka rychlosti vy během pohybu tělesa vzduchem mění, budeme musel vy určit pomocí pohybové rovnice. Protože neznáme dobu letu t, ani nemáme t zjistit, použijeme pohybovou rovnici, která t neobsahuje.
vy2=v0y2+2ayΔy(použijeme pohybovou rovnici, která neobsahuje čas)
vy2=(9,00 ms)2+2(9,8 ms2)(18 m)(dosadíme známé hodnoty)
vy2=434 m2s2(vyčíslíme)
vy=±434 m2s2=±20,8 ms(odmocníme)
vy=20,8 ms(zvolíme záporný kořen, protože dýně bude mířit směrem dolů)
Teď když známe vodorovnou i svislou složku koncové rychlosti, můžeme vypočítat velikost koncové rychlosti použitím Pythagorovy věty.
v2=vx2+vy2(použijeme Pythagorovu větu)
v2=(7,00 ms)2+(20,8 ms)2(dosadíme vodorovnou a svislou složku koncové rychlosti)
v2=482 m2s2(vyčíslíme)
v=21,9 ms(odmocníme)
Tato velikost rychlosti v=21,9 ms platí těsně před okamžikem dopadu dýně na zem. Vztah mezi koncovou rychlostí a jejími složkami ilustuje obrázek níže.
Pomocí funkce tangens bychom také mohli určit velikost úhlu ϕ koncové rychlosti.
tan ϕ=protilehlá odvěsnapřilehlá odvěsna=vyvx
tan ϕ=20,8 ms7,00 ms
Když teď použijeme inverzní tangens na obě strany rovnice, získáme
tan1(tan ϕ)=tan1(20,8 ms7,00 ms)
Na levé straně zůstane jen ϕ, a když pravou stranu zadáme do kalkulačky, vyjde
ϕ=71,4

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.