Optimální úhel vrženého tělesa, část 4: Jak najít optimální úhel a vzdálenost pomocí trošky matematické analýzy

Máme-li vzdálenost jako funkci úhlu, pod kterým vrháme, můžeme použít matematickou analýzu a najít optimální úhel, který optimalizuje vzdálenost našeho vrhu. Omezme se na úhly od 0 do 90 stupňů, protože jiné nepoužíváme. Budeme optimalizovat pro úhly od 0 do 90 stupňů. θ bude větší nebo rovno 0 a zároveň menší nebo rovno 90. Podívejme se, jak to udělat. Abychom si uvědomili, co vlastně děláme s matematickou analýzou… Pamatuj, derivací získáš směrnici křivky v daném bodě. Pokud vytvoříš graf této funkce… Radím ti to udělat, třeba pomocí grafického kalkulátoru. …bude na daném intervalu vypadat nějak takto. Bude vypadat takto, kde tato osa je vzdálenost jako funkce úhlu θ a tato osa je úhel θ. Zajímají nás úhly od 0 do 90 stupňů. Pokud vyneseš graf, kde toto je 0 stupňů a tady někde je 90 stupňů. Graf funkce bude vypadat nějak takto. Chceme najít úhel… Existuje úhel, který nám dá optimální vzdálenost. Toto je optimální vzdálenost. My ji chceme zjistit. Když se podíváš na graf, třeba na grafické kalkulačce, co se v té optimální vzdálenosti děje se směrnicí? Je vodorovná. Směrnice je 0. Musíme tedy vzít derivaci této fukce a zjistit, pro který úhel je derivace nebo směrnice funkce rovná 0? Pak budeme hotovi, zjistíme záhadný úhel, optimální úhel, pod kterým těleso vrhat. Proveďme derivaci. Použijeme pravidla pro derivaci. Derivace… Budu psát asi „d s čárkou“, nebo derivace dráhy podle θ se rovná… Uvažujeme, že „s“ a „g“ jsou konstanty, takže se jimi teď nemusíme zabývat. Dáme je dopředu, neboť předpokládáme, že jsou konstantní. Použijeme pravidlo pro derivaci součinu, abychom derivovali tuto část podle θ. Zderivujeme první funkci a násobíme ji druhou funkcí. Derivace kosinu θ je minus sinus θ. To násobíme druhou funkcí. To je krát sinus θ. K tomu přičteme první funkci, což je kosinus θ, krát derivace druhé funkce. Derivace sinu θ je kosinus θ. Chápu, že je to trochu matoucí. Vzali jsme derivaci toho prvního a násobili druhým. Pak jsme vzali derivaci druhého a násobili prvním. Ujasním to ještě lépe. Derivovali jsme toto, takže to je derivace podle θ. Vzali jsme derivaci tohoto podle θ. Derivovali jsme kosinus a násobili sinem. Tady jsme derivovali sinus a násobili kosinem. Součinové pravidlo. Co nám vychází? Můžeme to zjednodušit. Pokud napíšeme, že derivace d se rovná… Tuto konstantu můžeme nechat tady. 2 krát „s na druhou“ lomeno „g“, krát minus sinus θ krát sinus θ, to je minus sinus na druhou θ. Kosinus θ krát kosinus θ je plus kosinus na druhou θ. Pamatujme, že chceme zjistit úhel, pod kterým je tato derivace rovna 0. Položme to rovno 0. Zbývá vypočítat θ. První krok k vypočtení θ je vydělit obě strany výrazem 2 krát „s na druhou“ lomeno „g“. Pokud tím vydělíš levou stranu, vykrátí se to s tímto sejným výrazem. Pokud tím vydělíš 0, pokud toto není 0 samo o sobě, což by nemělo, vyjde zase 0. Rovnice se tedy zjednoduší na… Napíšu to modře. Minus sinus na druhou θ plus kosinus na druhou θ rovná se 0. Pokud k oběma stranám přičteme sinus na druhou θ, zbyde nám… Toto se vykrátí. Kosinus na druhou θ se rovná sinus na druhou θ. Oboje bude na daném intervalu kladné, takže mohu obě strany rovnice odmocnit. Proveďme to. Odmocníme obě strany rovnice. Tak by to šlo udělat. Ale zajímavější způsob je vydělit obě strany rovnice druhou mocninou cosinu θ, a to za předpokladu, že na tomto intervalu nebude roven 0. Kosinus na druhou θ. Také by to šlo odmocnit, obojí funguje. Toto je zajímavé, protože levá strana se vykrátí na 1 a to se bude rovnat… Co je sinus na druhou θ lomeno kosinus na druhou θ? To je jako sinus θ lomeno kosinus θ, to celé na druhou. Máš druhou mocninu dělenou druhou mocinou. To je jako čitatel děleno jmenovatelem, to celé na druhou. Co je sinus θ děleno kosinus θ? To je tangens θ. 1 se rovná tangens na druhou θ. Mohli bychom také odmocnit obě strany této rovnice. Tangens je na intervalu od 0 do 90 stupňů kladný, můžeme tedy odmocnit. Pokud odmocníš obě strany, odmocnina z 1 je 1. 1 se rovná tangens θ. Pak provedeš arcus tangens obou stran a vyjde arcus tangens 1 se rovná θ. To je jen lepší způsob jak říct, že θ je úhel, jehož tangens je roven 1. Můžeš to vyřešit na kalkulačce, nebo i zpaměti. Tato θ vyjde… Arcus tangens 1 je 45 stupňů. Pokud máš radiány, vyjde π lomeno 4 radiánů. Obojí bude fungovat. Optimální úhel pro šikmý vrh je 45 stupňů. Jaká je vzdálenost, budeme-li vrhat pod úhelm 45 stupňů? Můžeme se vrátit k původnímu vzorečku. Vrháme-li pod úhlem 45 stupňů, kolik je sinus 45 stupňů? Sinus 45 stupňů je odmocnina ze 2 lomeno 2. Můžeš použít kalkulačku nebo to znát z jednotkové kružnice. Kosinus 45 stupňů je také odmocnina ze 2 lomeno 2. Kdybys tuto znalost použil v této fázi řešení rovnice, vyšlo by, že kosinus θ se musí rovnat sinu θ na tomto intervalu, a to platí jen pro úhel 45 stupňů. To můžeme dosadit do původní rovnice tady nahoře. Optimální dráha, kterou objekt urazí… Dráha jako funkce úhlu. Vzdálenost, kterou urazíme při 45 stupních bude rovna 2 krát „s na druhou“ lomeno „g“ krát kosinus θ, což je odmocnina ze 2 lomeno 2 krát sinus θ, což je odmocnina ze 2 lomeno 2. Kolik je odmocnina ze 2 krát odmocnina ze 2? To je 2. Zjednoduším to. Odmocnina ze 2 krát odmocnina ze 2 je 2. Tato 2 se pokrátí s touto 2. Pak tato 2 se pokrátí s touto 2. Optimální vdálenost, kterou objekt urazí při úhlu 45 stupňů… Zůstalo nám „s na druhou“ lomeno „g“. Zanedbáme-li odpor vzduchu, což je ideální případ. Nezáleží na jaké jsi planetě, jakoukoli rychlostí vrháš, nejlepší úhel je vždy 45 stupňů, pokud nepůsobí odpor vzduchu. Pokud hodíš pod optimálním úhlem, objekt poletí „s na druhou“ lomeno „g“. Podle původní úlohy je rychlost „s“ rovna 10 metrům za sekundu. Řekněme, že „s“ je 10 metrů za sekundu. Jsme na planetě, kde „g“ je 10 metrů za sekundu na druhou. Podle toho, co jsme zrovna odvodili, bude optimální vzdálenost „s na druhou“, tedy 100, děleno „g“, děleno 10. Když umocníš na druhou metry za sekundu, dostaneš metry na druhou za sekundu na druhou. To celé děleno tíhovým zrychlením, metry za sekundu na druhou. Sekundy na druhou se vykrátí. Máte metry na druhou děleno metry. Optimální vzdálenost bude 10 metrů. Opravdu šikovné.