If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:12:54

Znázornění vektorů ve dvou rozměrech

Transkript

Všechny úlohy, které jsme se dosud řešili, se v podstatě odehrávaly v jednom rozměru. Dalo se jít dopředu nebo zpět, doprava nebo doleva, nahoru či dolů. V tomto videu se chci začít zabývat tím, co se stane, pokud máme dva rozměry, nebo tři, čtyři, či libovolný počet rozměrů. Nicméně, řešíme-li klasickou mechaniku, většinou není potřeba řešit více než tři rozměry. Budeme-li řešit více než jeden rozměr, hlavně když budeme řešit dva, budeme se též zabývat vektory ve dvou rozměrech. Pomocí tohoto videa bych se rád ujistil, že chápeme alespoň základy vektorů ve dvou rozměrech. Vzpomeň si, že vektor je něco, co má jak velikost, tak směr. Jako první ti na obrázku ukážu, jak funguje sčítání vektorů ve dvou rozměrech. Dejme tomu, že máme vektor, v tomto případě vektor „a“, kde velikost je definovaná délkou této šipky. Směr vektoru je dán směrem šipky, čili jde tímto směrem. Řekněmě, že máme další vektor, nazveme ho vektor „b“, který vypadá takto. V tomto videu se budeme zabývat tím, co se stane, když přičteme vektor „a“ k vektoru „b“. Jsou dvě věci, na které musíme při kreslení vektorů dát pozor. Důležité je, například u vektoru „a“, správně zachytit jeho velikost a směr. Kam ho nakreslíš není důležité. Toto je vektor „a“, toto by také mohl být vektor „a“. Všimni si ale, že oba mají stejnou velikost a směr. Mohl bych jej nakreslit tady nebo tady. Na tom nezáleží. Vektor „b“ bych mohl nakreslit zde. Stále je to vektor „b“. Stále má stejnou velikost a stejný směr. Počátek vektoru „b“ nemusí být na stejném místě, kde je počátek vektoru „a“. Vektor „b“ bych mohl nakreslit i zde. Mohu mít stejný vektor, ale libovolně jej posouvat. Pokud tedy zachovám stejnou velikost a stejný směr. Důvod, proč toto děláme je, že když graficky sčítáme vektory… Když chci sečíst vektor „a“ plus vektor „b“… V některém z dalších videí ti ukážu, jak to udělat analyticky… Mohu doslova nakreslit vektor „a“ a pak nakreslit vektor „b“ tak, že dám jeho počátek do koncového bodu vektoru „a“. Posunu jej tak, že jeho počátek leží přesně tam, kde je koncový bod vektoru „a“. Takto nějak potom bude vektor „b“ vypadat. Pokud se vydáš z počátku vektoru „a“ až do koncového bodu vektoru „b“ a nazveš to vektorem „c“, dostaneš součet vektoru „a“ s vektorem „b“. Mělo by to dávat smysl. Pokud se nad tím zamyslíme… Dejme tomu, že jsou to vektory posunutí, kde „a“ ukazuje, jak moc došlo k posunutí v tomto směru a „b“ ukazuje, jak moc došlo k posunutí v tomto směru, což je dáno jeho délkou v tomto směru. Pokud tedy máme posunutí „a“ a dále také posunutí „b“, jaké je celkové posunutí? Dejme tomu, že by nás někdo posouval v tomto směru a takto daleko a takto daleko v tomto směru. Celkem bychom se tedy posunuli takto daleko v tomto směru, což by bylo součtem těchto dvou. Nyní můžeme celou tuto myšlenku použít, abychom rozložili vektor do dvou rozměrů, do jeho složek. Za chvilku to vysvětlím lépe. Pokud máme vektor „a“, použijme jiné označení, nazvěme ho vektor „x“. Můžeme říci, že vektor „x“ bude součtem zeleného vektoru a tohoto červeného vektoru. Všimni si, vektor „x“ začíná v počátku zeleného vektoru a pokračuje až do koncového bodu fialového vektoru a pokud fialový vektor začíná v koncovém bodě zeleného vektoru a končí tam, kde končí vektor x. Jak by mělo být zřejmé, z příkladu zde můžeme vidět, že zelený vektor plus fialový vektor nám dá vektor „x“. Dali jsme koncový bod zeleného vektoru do počátku fialového vektoru. Nicméně hlavní důvod, proč toto děláme, je, že můžeme vyjádřit „x“ jako součet těchto dvou vektorů, což nám rozloží vektor „x“ do svislé a vodorovné složky. Toto tedy můžeme nazvat svislou složkou, svislá složka „x“, a toto zde je vodorovná složka „x“. Jinak to jde nakreslit tak, že posuneme svislou složku „x“ sem. Nezáleží, kde je nakreslíme, pokud mají stejný směr a velikost. Mohl bych jej nakreslit takto: svislá složka „x“. Jak vidíš, vektor „x“ můžeme vyjádřit jako součet vodorovné a svislé složky. Jak ještě mnohokrát uvidíme, toto je velice užitečné, jelikož můžeme proměnit dvourozměrnou úlohu do dvou oddělených jednorozměrných úloh. Jednu ve vodorovném směru a druhou ve směru svislém. Nyní se na to pojďme zaměřit více z matematického hlediska. Pojďme si ukázat, co to znamená rozložit vektor na jednotlivé složky. Řekněme, že máme takový vektor. Jeho délka je 5. Nazvěme jej vektorem „a“. Délka vektoru „a“ je tedy rovna 5. Jeho směr vyjádříme jako úhel mezi jeho směrem a kladným směrem osy x. Nakresleme si zde osy. Toto bude kladná část osy y, která směřuje svisle. Toto je kladná část osy x, která leží ve vodorovném směru. K popisu směru tohoto vektoru nadefinujeme tento úhel. Dáme mu velice zvláštní hodnotu, což má ale dobrý důvod pro to, aby nám na konci vše pěkně vyšlo. Hodnota bude 36,8699 stupňů. Volba tohoto čísla má dobrý důvod. Nyní chceme zjistit horizontální a vertikální složku tohoto vektoru. Chceme jej tedy rozložit do něčeho, co jde přímo vzhůru nebo dolů a do něčeho, co jde přímo vpravo nebo vlevo. Jak to uděláme? Můžu je třeba nakreslit, abych viděl, jak vypadají. Jeho svislá složka by vypadala takto a vodorovná složka takto. Vodorovná složka začíná stejně jako vektor „a“ a jde tak daleko ve směru x, jak daleko je koncový bod vektoru „a“, ale pouze podél osy x. Abychom se dostali zpět do koncového bodu vektoru „a“, potřebujeme jeho svislou složku. Tuto svislou složku můžeme označit „a s indexem y“, protože jde ve směru y, horizontální složku můžeme označit jako „a s indexem x“. Teď chceme zjisti velikost „a_y“ a „a_x“. Jak na to? To, co tady máme, je ve skutečnosti pravoúhlý trojúhelník. Známe velikost této strany, této přepony. Tato přepona je zároveň vektor „a“. Velikost vektoru „a“ je 5. To už jsme viděli tady nahoře. Jak tedy vypočítáme tyto strany? Mohli bychom použít základy trigonometrie. Pokud známe úhel a velikost přepony, jak spočítáme stranu protilehlou úhlu? Toto je tedy strana protilehlá úhlu. Pokud si už na trigonometrii nevzpomeneš, pojďme si ji hned teď zopakovat. Sinus je protilehlá strana lomeno přepona. Kosinus je přilehlá strana lomeno přepona. Tangens je protilehlá strana lomeno přilehlá strana. Známe tedy úhel a přeponu, chceme znát protilehlou stranu. Můžeme říct, že sinus našeho úhlu, sinus 36,899 stupňů, bude rovný protilehlé straně dělené přeponou. Protilehlá strana odpovídá velikosti naší složky y. Děleno velikostí přepony, což je tato délka, o které víme, že je rovna 5. Když vynásobitíš obě strany 5, dostaneš 5 krát sinus 36,899 stupňů, což se rovná velikosti svislé složky našeho vektoru „a“. Než vezmu kalkulačku a vypočítám to, udělám to samé pro vodorovnou složku. Víme, že tato strana je přilehlá úhlu. Známe velikost přepony. Přilehlou stranu a přeponu řeší kosinus. Takže kosinus 36,899 se rovná… Kosinus je přilehlá ku přeponě. Takže se rovná velikosti složky x, dělené přeponou. Přepona má velikost, tedy délku 5. Znovu vynásobíme obě strany 5 a máme 5 krát kosinus 36,899 stupňů, což se rovná velikosti naší složky x. Pojďme je vypočítat. Vezmu si kalkulačku. Ujistím se, že je v režimu stupňů. Ano, je v režimu stupňů (DEG). Nechtěl bych… Nechci být v režimu radiánů. Tak, vyjedeme z toho. Máme svislou složku rovnou 5 krát sinus 36,899 stupňů, což je po zaokrouhlení přibližně 3. Takže toto se rovná… Velikost svislé složky je 3. Teď to samé pro vodorovnou složku. Máme 5 krát cosinus 36,899 stupňů, což je, pokud zase zaokrouhlíme na setiny, 4. Takže jsme v situaci, kdy máme klasický 3-4-5 pythagorejský trojúhelník. Velikost vodorovné složky je 4. Velikost svislé složky je 3. Opět můžeš říct: „Sale, proč to vůbec musím řešit?“ To uvidíme v dalším videu, protože když mluvíme o rychlosti 5 metrů za sekundu v tomto směru, můžeme ji rozložit na dvě složky: nahoru rychlostí 3 metry za sekundu a zároveň 4 metry za sekundu vodorovně. Umožňuje nám to rozložit úlohu na dvě jednodušší části, na dvě jednorozměrné úlohy místo větší dvourozměrné.