Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 11: Optimalizační úlohy- Optimalizační úlohy: součet druhých mocnin
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 2)
- Optimalizační úlohy: zisk továrny
- Optimalizační úlohy: cena materiálů
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)
- Optimalizační úlohy: extrémní normála ke křivce y=x²
- Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení
Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)
Jak z kusu kartonu udělat krabici tak, aby měla co největší objem? Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Řekněme, že máme desku kartonu
o rozměrech 20 krát 30 palců. Pokusím se ji
co nejlépe nakreslit. Mohla by
vypadat nějak takto. Toto je moje
kartonová deska. Abychom nezapomněli její rozměry,
tak sem napíšu 20 a 30 palců. Nyní odřežeme
rohy této desky. Všechny odříznuté
rohy budou čtverce. Z každého rohu odřízneme
čtverec o straně x. Jakmile tyto rohy uřežeme,
můžeme přeložit přečnívající části. Nakreslím je. Představte si, že to přeložíme
zde, zde a zde, čímž vytvoříme
krabici. V podstatě krabici bez dna,
nebo krabici bez víka. Jakmile všechno přeložíme,
dostaneme takovouto krabici. Zkusím to nakreslit
co nejlépe. Bude to
vypadat takto. Toto je jedna přeložená
přečnívající část. Jde o tuto
přečnívající část. Když ji takto přeložím nahoru,
bude to vypadat nějak takto. Výška přečnívající
části je x. Tato vzdálenost
je tedy x. Když přeložím
tuto část... Nakreslím to
trochu lépe. ...když přeložím nahoru i tuto část,
bude to vypadat nějak takto. Snažím se to
nakreslit co nejlépe. Vypadalo by to
nějak takto. Potom bych nahoru
přeložil tuto zadní část. Zadní část by tedy
vypadala nějak takto. To by byla
zadní část. Bude vypadat
nějak takhle. A když nahoru přeložím tuto část,
bude to vypadat nějak takto. Samozřejmě tu mám
i podstavu celé krabice. Celá tato část bude dnem krabice,
kterou se snažím vyrobit. A tuhle krabici chci vyrobit tak,
aby měla co největší možný objem. Chci maximalizovat to,
kolik se toho do ní vejde, a chci toho dosáhnout tak,
že vhodně zvolím x. Zamysleme se, čemu se objem krabice
rovná jakožto funkce proměnné x. Abychom to zvládli, musíme všechny rozměry
krabice vyjádřit jako funkci proměnné x. Už víme, že tento roh,
který vznikne složením těchto dvou částí, bude mít stejnou výšku
jako všechny ostatní rohy. Výška této
krabice bude x. Ale jaká
bude šířka? Jaká bude šířka
této krabice? Šířka krabice bude
tato vzdálenost. Tato vzdálenost bude
20 palců minus 2 krát x. Toto tedy bude
20 minus 2 krát x. Vidíte to zde. Tato celá
vzdálenost je 20, od ní odečteme
jedno x i druhé x, čímž dostaneme
tuto vzdálenost. Je to tedy
20 minus 2 krát x. Když nyní použijeme stejnou logiku,
čemu se rovná hloubka krabice? Jaká je tato
vzdálenost? To odpovídá
této vzdálenosti. Víme, že tato celá
vzdálenost je 30 palců. Když odečteme toto x a také tohle x,
dostaneme vzdálenost, kterou hledáme. Tohle tedy bude
30 minus 2 krát x. Nyní už známe
všechny rozměry, takže jak vyjádříme objem
jako funkci proměnné x? Objem vyjádřený jako
funkce x se rovná výška, což je x, krát šířka, která je
20 minus x... Pardon, 20 minus 2 krát x. ...krát hloubka,
a ta je 30 minus 2 krát x. Pro které hodnoty x
dostaneme smysluplný objem? x nemůže být
menší než 0. Nemůžeme uříznout
zápornou délku. To by znamenalo nějak
přidat další kus kartonu. Víme tedy, že x musí být
větší nebo rovno 0. Napíšu si to. x je větší
nebo rovno 0. Zároveň ale musí být
menší než co? Nejvíce mohu odříznout… Vidíme, že tato růžová
délka je 20 minus 2 krát x. Toto musí být
také větší než 0. Bude to vždy menší
než 30 minus 2 krát x, ale 20 minus 2 krát x
musí být větší nebo rovno 0. Nemůžeme uřezat více kartonu,
než kolik ho máme. Jinými slovy 20 musí být
větší nebo rovno 2 krát x, tedy 10 musí být
větší nebo rovno x, což je jinými slovy řečeno,
že x musí být menší nebo rovno 10. To je jiný
odstín žluté. x musí být menší
nebo rovno 10. x tedy musí být
mezi 0 a 10. Jinak bychom uřízli více, než kolik máme
k dispozici, nebo bychom naopak přidali. Nejprve se podívejme na objem pro krajní
body našeho de facto definičního oboru, tedy čísel, kterých x může
nabývat, aby měl objem smysl. Když je x rovno 0,
čemu se rovná objem? Máme 0 krát všechno ostatní,
takže to je jasné. Nebudeme mít žádnou výšku,
takže nebudeme mít ani žádný objem. Objem tedy
bude nulový. A co objem
když je x rovno 10? Když je x rovno 10, tak je šířka krabice,
kterou jsem nakreslil růžově, nulová, takže bychom opět
neměli žádný objem. Algebraicky to zdůvodníme tak, že tento
výraz je roven 0, takže i to celé je 0. Někde mezi body x rovno 0
a x rovno 10 je tedy bod, ve kterém dosáhneme
maximálního objemu. Než to uděláme analyticky
pomocí diferenciálního počtu, udělejme to graficky. Využiji k tomu svou
kalkulačku TI-85. Nejdříve nastavím meze
definičního oboru a oboru hodnot, ještě než
udělám graf. Sem zadám
svoji funkci. Nyní zadám
meze pro x a y. Nejmenší hodnota x bude 0, protože
víme, že x nemůže být menší než 0. Největší hodnota x
bude 10. Nejmenší hodnota y,
přičemž y je v podstatě objem... Určitě nebudu mít záporný objem,
takže to nastavím jako 0. Největší hodnota y… Co by bylo rozumné? Vyberu nějaké náhodné x a uvidíme,
jaký objem dostanu. Pokud by x bylo 5, objem by byl
5 krát (20 minus 10), což je 5 krát 10. Bylo by to… Mám to správně? Ano, 20 minus (2 krát 5), to je 10,
a pak krát 30 minus (2 krát 5), což je 20. Bylo by to tedy 5 krát 10 krát 20,
což je objem 1000 kubických palců. Číslo 5 jsem jen
tak náhodně vybral. Největší hodnotu y tedy zvolím trochu
vyšší, kdyby nešlo o maximální objem. Největší hodnotu y zvolím jako 1500
a pokud by to z nějakého důvodu nestačilo, tak největší hodnotu y
ještě navýším. Toto by měly
být dobré meze. Nyní zadejme
funkci samotnou. Objem je roven x krát (20 minus 2 krát x)
krát (30 minus 2 krát x). To se zdá být v pořádku, takže myslím, že
to můžeme vykreslit. Zvolím si možnost
vykreslit graf. Zdá se, že meze
jsme trefili. Toto je tedy objem jako funkce
proměnné x pro x mezi 0 a 10 a vypadá to, že zhruba někde
tady dosáhneme maxima. Teď využiji možnosti kalkulačky,
abych zjistil, kde zhruba je bod maxima. Tak já to zkusím. Ještě mohu jít výše. Tady mám
objem 1055,5. Pak 1056. Potom tady
mám 1056,20, tady je 1056,24, a potom už mám
zase 1055. Na základě toho, co říká kalkulačka,
je tohle docela dobrý odhad maxima. Zdá se, že maximum je přibližně 1056
a nastává někde okolo bodu x rovno 3,89. V bodě x rovno 3,89 je objem přibližně
roven 1056 palců krychlových. Nebo můžeme říci, že maxima
dosáhneme pro x rovno přibližně 3,89. Zatím jsme si tedy připravili naši úlohu
a zkusili se na ni podívat graficky. V dalším videu se to pokusíme vyřešit
analyticky pomocí diferenciálního počtu.