Optimalizační úlohy: objem krabice (část 2)

V minulém videu jsme získali celkem dobrou představu o tom, jaké x bychom při odřezávání rohů měli zvolit, abychom měli co největší objem. A dělali jsme to graficky. V tomto videu bych chtěl použít některé nástroje diferenciálního počtu, abychom viděli, zda dosáhneme stejného nebo lepšího výsledku. Abych to udělal, musím najít stacionární body našeho objemu jako funkce proměnné x. Nejprve potřebuji objem zderivovat, takže to teď udělám. Předtím, než to udělám, si výraz zjednoduším, abych pak nemusel derivovat součin a následně to upravovat. Všechno v tomto výrazu si roznásobím. Objem jakožto funkce proměnné x se rovná… Napíšu to žlutě. ...bude to x krát… Roznásobím nejprve tyto závorky. 20 krát 30 je 600. Pak mám 20 krát −2 krát x, což je −40 krát x. Potom −2 krát x krát 30, což je −60 krát x. A nakonec −2 krát x krát −2 krát x, což je 4 krát x na druhou. Tato část se zjednoduší, když změním pořadí členů, na 4 krát x na druhou minus 100 krát x plus 600. Jenom jsem změnil pořadí, ve kterém píšu členy. Objem teď mohu přepsat jako x krát tento výraz, což se... Napíšu to víc nahoru, abych měl dost místa. ...což se rovná 4 krát x na třetí minus 100 krát x na druhou plus 600 krát x. Tohle teď půjde docela přímočaře zderivovat. První derivace funkce V(x) se rovná... Jen několikrát použiju vzorec pro derivaci mocniny. ...4 krát 3 je 12, krát x na (3 minus 1), takže celkem 12 krát x na druhou, minus 200 krát x na prvou, což je jen 200 krát x, plus 600. Nyní zbývá zjistit, kdy se tento výraz rovná 0. Musíme tedy zjistit, kdy se 12 krát x na druhou minus 200 krát x plus 600 rovná 0, neboli pro které hodnoty x bude derivace rovna 0, neboli také kdy je sklon roven 0. Taky mohu hledat stacionární body, ve kterých derivace není definovaná, ale tato derivace je všude definovaná, tedy i pro ta x, která mě budou zajímat, což jsou hodnoty mezi 0 a 10. Mohl bych to teď zkusit rozložit na součin nebo trochu zjednodušit, ale raději rovnou použiju vzorec pro kořeny kvadratické rovnice. Kořeny této rovnice se rovnají −b, což je 200, protože minus −200 je 200, plus minus odmocnina z b na druhou, což je (−200) na druhou, takže to můžu napsat jako 200 na druhou. Je jedno, zda máme (−200) na druhou nebo 200 na druhou, vyjde totéž. Udělám si tady víc místa. (−200) na druhou se rovná 4 a za ní čtyři nuly, což je 40 000, minus 4 krát ‚a‘ krát ‚c‘, takže minus 4 krát 12 krát 600... Stejně jsem si nenechal dost místa. ...krát 600, a to celé děleno 2 krát ‚a‘, takže to celé děleno 24. Teď zase vytáhnu kalkulačku a zkusím to spočítat. Přepnu z grafického modu. Nejprve spočítám případ, kdy bude před odmocninou plus. Dostanu 200 plus odmocnina z 40 000... Mohl bych to napsat i jako 200 na druhou, ale může to být i takto. ...40 000 minus 4 krát 12 krát 600. Dostanu 305, což ještě musím vydělit 24, a to vyjde jako 12,74. Toto je první z možných x, rovná se 12,74. Nyní vyřeším případ, kdy budu odmocninu odčítat. Znovu si vezmu kalkulačku. Teď to bude 200... Asi bych to mohl udělat i efektivněji, ale tohle je taky v pořádku. ...minus odmocnina z (40 000 minus 4 krát 12 krát 600). Dostanu tento čitatel, který ještě vydělím 24, a vyjde mi 3,92. Mám to správně? 200 minus (40 000 minus 4 krát 12 krát 600), to celé děleno 24. Výsledek předchozího výpočtu děleno 24 mi dalo 3,92. Kořeny jsou tedy 12,74 a 3,92. Který z nich mohu použít? x rovno 12,74 je mimo náš interval přípustných hodnot pro x. Pokud by x bylo rovno 12,74, tak by se tyto délky x překrývaly. x tedy nemůže být 12,74. Stacionárním bodem je tedy jen bod x rovno 3,92. Teď se můžeme podívat na graf a říct si, že to vypadá jako maximální hodnota, ale kdybychom graf neměli k dispozici, mohli bychom použít druhou derivaci a ptát se: „Je křivka konvexní nebo konkávní, když je x rovno 3,92?" Nejprve musíme zjistit, jak vypadá druhá derivace. Takže pojďme na to. Druhá derivace funkce V(x) se rovná 24 krát x minus 200. Vidíme, že toto číslo je menší než 4, takže tento výraz bude menší než 100 a ještě od něho odečteme 200, takže můžeme napsat, že druhá derivace v bodě 3,92 je méně než 0. Můžete zjistit její přesnou hodnotu, jestli chcete. Protože je tohle menší než 0, funkce je zde konkávní. Jinými slovy to znamená, že sklon celou dobu klesá. Konkávní. Pokud sklon celou dobu klesá, tak má graf přibližně tento tvar. Sklon je nejdříve velký, pak klesá až je roven 0, potom je ještě menší a menší. To jsme dokonce viděli přímo v tomto grafu. Protože funkce je konkávní, tak to znamená, že náš stacionární bod, který leží v intervalu, na kterém je funkce konkávní, je bodem lokálního maxima. Toto je tedy hodnota x, pro kterou naše funkce dosahuje maxima. Čemu se tato maximální hodnota rovná? Dosadíme do našeho původního výrazu pro objem a zjistíme, kolik to je. Spočítejme tedy, jaký je objem pro x rovno 3,92. Jaký je náš největší možný objem? Zase si na to vytáhneme kalkulačku. Je to samozřejmě jen přibližně 3,92, mohl bych použít i tuhle přesnou hodnotu. Použiji ale číslo 3,92, takže dostanu přibližnou hodnotu maximálního objemu. Bude to 3,92... Použiji toto vyjádření objemu jako funkce proměnné x. 3,92 krát (20 minus 2 krát 3,92) krát (30 minus 2 krát 3,92) nám dá 1 056,3. 1 056,3, což je větší objem, než jaký nám vyšel, když jsme to řešili graficky. Možná jsme to tady mohli udělat trochu přesněji, kdybychom si to víc přiblížili, a tím pádem dostali lepší odpověď. Analyticky jsme byli schopni dostat dokonce lepší odpověď, než jakou jsme byli schopni získat při grafickém řešení.