Optimalizační úlohy: extrémní normála ke křivce y=x²

Dostal jsem tento příklad a je docela vydatný. Je o dost těžší, než co byste normálně našli v učebnicích. Tak jsem si říkal, že by docela pomohlo jej vypočítat. Je to jeden z těch příkladů, ze kterých se vám nejdříve motá hlava, ale když si v klidu uvědomíte, co po vás chtějí, tak už to není tak hrozné. Máme křivku, konkrétně parabolu s předpisem y je rovno x na druhou. Tato křivka je graf funkce y rovno x na druhou. Zadefinujme normálu jako přímku, která protíná parabolu v prvním kvadrantu kolmo, je kolmá na parabolu. Zde máme první kvadrant. V zadání říkají, že normála je přímka, jež protíná parabolu v prvním kvadrantu kolmo. Když bych tady nakreslil tečnu, tak normála na ni bude kolmá. To je vše, co tím myslí. Zde máme normálu. Máme zde nakresleno 5 různých normál. 1, 2, 3, 4, 5. Dobrá. Všechny vypadají kolmě na parabolu v prvním kvadrantu, takže to dává smysl. Chvíli se x-ová souřadnice průsečíku normály v druhém kvadrantu zmenšuje, jak se x-ová souřadnice průsečíku v prvním kvadrantu zmenšuje. Koukněme se, co se stane, když se x-ová souřadnice prvního průsečíku zmenšuje. Zde jsem skončil v zadání. Když začnu v tomto bodě, tak x-ová souřadnice vypadá nějak takto. Půjdu dolů. x-ová souřadnice je přesně tady. A jak se blížím k menší x-ové souřadnici, například k této, tak co se stane normále? Nebo asi je důležitější vědět, co se stane průsečíku normály v druhém kvadrantu? Toto je druhý kvadrant. Když zde mám větší x-ové hodnoty, tak normála protíná tady, v druhém kvadrantu. Když jsem zmenšil x-ovou hodnotu, x-ovou hodnotu tady, protože to je další bod zde, tak x-ová hodnota průsečíku je… Vlastně jejich zápis je špatně. Říkají, že průsečík v druhém kvadrantu se zmenší. Ale vlastně on se nezmenšuje. Je méně záporný. Můžeme se zmenšovat s absolutní hodnotou, ale pravdou je, že to je méně záporné. Hýbe se to sem, ale to znamená, že to vlastně bude větší číslo, ne? Je to méně záporné, takže větší. Asi tady berou absolutní hodnotu, ta se bude zmenšovat. Jak jsme se posunuli z tohoto bodu, z bodu průsečíku v prvním kvadrantu, tak průsečík v druhém kvadrantu se taky posunul, od této přímky k této. Dobrá. Ale nakonec se průsečík normály v druhém kvadrantu zmenší. Pokud tedy budeme zmenšovat x-ové hodnoty v první kvadrantu, tak budeme tahat v první kvadrantu, až se dostaneme k tomuto bodu. A pak tento bod protne druhý kvadrant. A když půjdeme ještě k menším x-ovým hodnotám v prvním kvadrantu, normála bude protínat v druhém kvadrantu ve více záporných číslech. Na toto se můžete koukat jako na největší hodnotu, nebo nejmenší absolutní hodnotu, ve které normála může protínat druhý kvadrant. Ujasněme si to. Zde jsme protínali osu, když x-ová hodnota průsečíku v první kvadrantu byla velká a byla velmi záporná v druhém kvadrantu. A když zmenšujeme x-ové hodnoty tady, tak máme menší záporné hodnoty. Až sem do tohoto bodu, na který se můžeme koukat jako na nejméně záporný možný, a když bychom posouvali x-ové hodnoty ještě dále, tak normály se začnou v druhém kvadrantu zase zvedat. Myslím si, že mluví o tomto. Ta extrémní normála je namalována tlustě v tomto obrázku. Dobře, toto je extrémní normála. Tato velmi tlustá. Po tomto bodě, když posuneme x-ové hodnoty ještě více, tak průsečík v druhém kvadrantu začne stoupat. A můžeme si představit extrémní případ, když bychom nakreslili normálu tady, tak průsečík v druhém kvadrantu bude až tady, i když to vypadá spíš jako asymptota. Ale nevím, dočtěme zbytek zadání. Jakmile normála projde touto extrémní normálou, tak x-ová hodnota průsečíku v druhém kvadrantu se začne zvětšovat. A když říkají, že se začne zvětšovat, tak tím vlastně myslí, že bude více záporná. Jejich popis je špatný. Měl bych toto změnit na více záporné. Záporná čísla budou zápornější. Protože jakmile se dostaneme pod toto, tak najednou x-ový průsečík bude více v druhém kvadrantu. Obrázek ukazuje dva páry normál. Tyto dva páry normál mají stejný průsečík v druhém kvadrantu, ale jeden je nad extrémní normálou v první kvadrantu, druhý je pod ní. Dobře. Například tato přímka pro větší x-ové hodnoty. Protíná se v druhém kvadrantu přímo tady. Pak když dostatečně zmenšíme x-ovou hodnotu, tak protneme extrémní normálu a dostaneme se sem. Do tohoto bodu… Protíná to v tomto bodě. Pokud tedy dost změníme x-ovou hodnotu, tak to protneme znovu ve stejném bodě v druhém kvadrantu. Snad vám to dává smysl, jen se snažím co nejlépe vysvětlit tento příklad. Co chtějí dál? A asi mám čas jen na první část. Možná udělám druhou část v jiném videu. Najdi rovnici extrémní normály. To nám nejdřív přijde jako úplná záhada, ale když budeme přemýšlet o derivacích a co pomocí nich víme o rovnicích přímek, tak to snad zvládneme vyřešit. Jaká je směrnice tečny v jakémkoli bodě na této křivce? Vezmeme derivaci funkce y je rovno x na druhou, to je y s čárkou a je rovna 2x. Toto je sklon tečny v bodě x. Pokud chci sklon tečny v nějakém bodě x_0, v nějakém daném x, tak je to prostě 2 krát x_0. Napíšu f s čárkou v x_0 je 2x_0. Toto je sklon tečny v daném x_0. Směrnice normály je kolmá k tomuto. Tedy kolmá přímka… To tady nebudu podrobně vysvětlovat. Směrnice kolmé přímky bude záporná převrácená hodnota této směrnice. Tedy směrnice normály v x_0 bude záporná převrácená hodnota tohoto, protože toto je směrnice tečny v x_0. Tedy toto bude rovno −1 lomeno 2x_0. Jaká je rovnice normály v bodě x_0? Jaká je rovnice normály zde? No můžeme použít směrnicový tvar přímky. Tento bod bude na normále. A to je x_0 na druhou. Protože toto je graf funkce y je rovno x na druhou. Tedy na normále bude ležet i tento bod. Takže můžeme říci, že rovnice normály… Toto je směrnicový tvar přímky. Je to y minus y-ová hodnota, což je x_0 na druhou, je rovno směrnici normály, což je −1 lomeno 2x_0, krát x minus x-ová hodnota. Minus x_0. Toto je rovnice normály. A nás zajímají x_0, která jsou větší než 0, je to tak? Zajímá nás normála, když jsme v prvním kvadrantu, tedy v těchto hodnotách. Toto je rovnice normály. A vyřešme ji vzhledem k ‚x‘. y je funkce x. Pokud přičteme x_0 na druhou k oběma stranám, tak dostaneme, že y je rovno… Vlastně vynásobme to tímto. Dostanu −1 lomeno (2x_0) krát x plus… Protože mám minus krát minus. ...plus 1/2. x_0 a lomeno x_0 se vykrátí. A pak musím přičíst x_0 k oběma stranám. Takže jsem zatím udělal toto. A pak musím toto přičíst k oběma stranám, takže mám plus x_0 na druhou. Toto je rovnice normály ve směrnicovém tvaru. Toto je směrnice, tedy m, a toto je y-ový průsečík. To je b. A co zajímá nás? Zajímá nás, kdy se tyto dvě věci protnou. Zajímá nás, kdy protne parabolu. A parabola, to je celkem jasné, je prostě y rovno x na druhou. Takže abychom zjistili, kdy se protnou, musím položit tyto dvě y si rovny. Tedy se protínají… x-ová hodnota jejich průsečíku… Toto y se musí rovnat tomuto y. Nebo bychom toto mohli dosadit za y. Tedy máme x na druhou je rovno −1 lomeno 2x_0 krát x plus 1/2 plus x_0 na druhou. Dobrá. To upravíme tak, abychom mohli použít kvadratickou rovnici. Tak všechny tyto věci dejme na levou stranu. Máme x na druhou plus 1 lomeno 2x_0 krát x minus 1/2 plus x_0 na druhou je rovno 0. Jen jsem všechno tohle dal na levou stranu rovnice. Toto je klasická kvadratická rovnice, takže můžeme nalézt její kořeny x. A tyto x-ové hodnoty nám řeknou, kde se normála a parabola protínají. Tak aplikujme vzorec pro diskriminant kvadratické rovnice. Máme x je rovno −b… Jen používám vzorec. Tedy −b je −1 lomeno 2x_0 plus minus odmocnina z b na druhou… Takže toto na druhou. Je to 1 lomeno 4(x_0 na druhou) minus 4ac. Takže 4 minus 1 krát minus tato věc. Máme tu minus krát minus, to je plus, tedy 4 krát toto, protože to tam bylo. Tedy plus 4 krát toto. 4 krát toto je 2 plus 4 krát (x_0 na druhou). To jsem jen spočítal 4ac. Vlastně −4ac. Minus a minus se vyruší, takže máme plus. Je to 1. Tedy 4 krát c je prostě 2 plus 4(x na druhou). Tohle vynásobím 2, a samozřejmě to je celé lomeno 2 krát a‚ a je 2. Zkusím to zjednodušit. Pamatujte, co děláme. Zjišťujeme průsečík normály a paraboly. Co teď dostaneme? To vypadá docela neupraveně. Pokusím se to trochu zjednodušit. Vytknu toto a přepíšu to. Vše můžu vydělit 1/2, takže toto −1 lomeno 4x_0 vydělím 2, plus nebo minus 1/2, to je prostě 1/2 krát odmocnina… Kouknu se, co jde zjednodušit tady. Když vytknu 4 lomeno x_0, tak co dostanu? Toto se stane x na čtvrtou, tedy x_0 na čtvrtou, plus… Co je tento člen? Tento člen je 1/2 krát x_0 na druhou. A jen pro ověření, násobením 4 a 1/2 dostaneme 2 a pak se x_0 zkrátí. Takže přepišme tento člen, že bude roven 2, a získali jsme… Teď vytkneme 4 a x_0 na druhou, tedy plus 1/16… Udělám si tady místo. A můžete si ověřit, že to takto vyjde. Když byste to roznásobili, tak dostanete toto. Už jsme skoro doma, toto by mělo jít vytknout celkem hezky. Takže čemu se toto rovna? Průsečík normály a paraboly je roven tomuto. −1 lomeno 4x_0 plus minus 1/2 krát odmocnina z tohoto. A odmocnina je… Toto je 4 lomeno (x_0 na druhou). Kolik to je? Tohle je naštěstí dobře odmocnitelné. Nepůjdu do detailů, protože už tak je toto video moc dlouhé, ale myslím si, že vidíte, že to je x_0 na druhou plus 1/4. Pokud mi nevěříte, tak si to umocněte a dostanete tento výraz. Naštěstí můžeme tento výraz jednoduše odmocnit. A takže dostaneme bod, kde se protínají normála a parabola a je to docela nepěkná úloha. Bod průsečíku je −1 lomeno 4x_0 plus minus 1/2 krát odmocnina z tohoto. Odmocnina je 2 lomeno x_0 krát odmocnina z tohoto, což je x_0 na druhou plus 1/4. Pokud bych to měl přepsat, tak dostanu −1 lomeno 4x_0 plus… 1/2 a 2 se zkrátí. Takže toto se zkrátí. Tedy plus, nebo minus (1 lomeno x_0) krát x_0 na druhou. Takže mám 1 lomeno x_0… Aha, pardon, musíme tu být opatrní. x_0 na druhou lomeno x_0 je prostě x_0. Udělám to žlutou, abychom si to oddělili od ostatních věcí. Tento člen krát tento člen je prostě x_0, a pak máme plus 1 lomeno 4x_0. A tady jsou závorky. Takže toto jsou dva body, ve kterých se protíná křivka s normálou. V tomto je třeba mít jasno. Tyto dva body jsou, pokud je toto moje x_0, přesně tady. Je to tento bod a tento bod. A zde máme plus, nebo minus, takže toto je plus verze a toto je minus verze. Vlastně tato plus verze by se měla zjednodušit na x_0. Koukněme se, jestli to je pravda. Jestli se skutečně verze s plus zjednoduší na x_0. Toto jsou naše dva body. Když zde vezmu plus, tak to by měl být bod v prvním kvadrantu. Tedy x je rovno −1 lomeno 4x_0 plus x_0 plus 1 lomeno 4x_0. Skutečně se to odečte. Tedy x_0 je jeden z bodů průsečíků, což dává smysl. Protože to je to, jak jsme tuto úlohu zadefinovali. Tohle je tedy průsečík v prvním kvadrantu. Průsečík v druhém kvadrantu bude ten, když zde vezmu minus. Nazvu to průsečík v druhém kvadrantu. Je to rovno −1 lomeno 4x_0 minus toto. Takže minus x_0 minus 1 lomeno 4x_0. Co tu teď máme? Máme −1 lomeno 4x_0 minus 1 lomeno 4x_0. Takže to je −x_0 minus x_0 minus 1 lomeno 2x_0. Když vezmu −1 lomeno 4 plus −1 lomeno 4, tak dostanu −1 lomeno 2. Tedy průsečík v druhém kvadrantu získám touto úpravou. Doufám jen, že mi nedojde místo. Průsečík v druhém kvadrantu normály a paraboly je −x_0 minus 1 lomeno 2x_0. To je samo o sobě docela hezký výsledek, ale bohužel nejsme s naší úlohou hotovi. V zadání totiž stojí, že máme najít maximální bod, který je průsečíkem. Nazývají to extrémní normálou. Extrémní normála je taková, že průsečík v druhém kvadrantu nabývá maximální hodnoty. Oni to nazývají nejmenší bod, ale je to nejmenší záporné číslo, tedy maximum. Jak tedy najdeme maximální bod? Máme průsečík v druhém kvadrantu jako funkci x-ové hodnoty v prvním kvadrantu. Můžu to přepsat takto: průsečík v druhém kvadrantu je funkce x_0 a je rovna −x minus 1 lomeno 2x_0. Toto nabude maximální nebo minimální hodnoty, když je derivace rovna 0. Tohle je netradiční zápis a to je možná to nejtěžší na této úloze. Proto vezměme derivaci podle x_0. Derivace průsečíku v druhém kvadrantu podle x_0 je rovna… Toto je celkem přímočaré. Je to rovno −1 a pak mám −1/2 krát… Toto je stejné jako x na −1. Je to −1 krát x_0 na −2. Můžu to také napsat jako −1/2 krát x_0 na −1. Takže vyndám ven exponent a zmenším jej o jedna. Tohle je tedy derivace podle x-ové souřadnici v prvním kvadrantu. Zjednodušme to. Derivace průsečíku v druhém kvadrantu podle průsečíku v prvním je rovna −1… −1/2 a −1 dají dohromady plus, proto plus 1 lomeno 2(x_0 na druhou). Tohle nabude maxima nebo minima, pokud to je rovno 0. Zjistěme, kdy to je rovno 0 a vyřešme toto zadání. K oběma stranám přičteme 1. Dostaneme 1 lomeno 2 krát (x_0 na druhou) je rovno 1. Nebo to můžeme napsat jako 2x_0 na druhou je rovno 1, když obě strany rovnice převrátíme. Nebo že x_0 na druhou rovno 1/2. Vezmeme odmocninu z obou stran a dostaneme, že x_0 je rovno 1 lomeno odmocnina z 2. Teď už jsem skutečně blízko. Zrovna jsme zjistili hodnotu x_0, při které máme extrémní normálu. Tuto hodnotu. Udělám to hezčí barvou. Tato hodnota nám udává extrémní normálu, to je x_0 rovno 1 lomeno odmocnina z 2. Nyní po nás chtějí rovnici extrémní normály. Rovnici extrémní normály už tady máme napsanou. Je to toto. Rovnice normály přímo zde. Pokud chceme rovnici normály v tomto extrémním bodě, tak prostě dosadíme 1 lomeno odmocnina z 2 za x_0. Co dostaneme? Už jsme opravdu na konci, vím, že tohle je pekelný příklad. y minus x_0 na druhou. x_0 na druhou je 1/2. (1 lomeno odmocnina z 2) na druhou je 1/2. Je to rovno −1 lomeno 2x_0. Musíme tu být opatrní. Takže −1/2 krát 1 lomeno x_0. 1 lomeno x_0 je odmocnina ze 2. A to vynásobíme x minus x_0. Takže 1 lomeno odmocnina z 2. x_0 je 1 lomeno odmocnina z 2. Trochu to upravme. Rovnice naší normály, pokud jsem neudělal někde chybu, je rovno y minus 1/2 rovno… Zkusme to upravit. Pokud vynásobíme toto minus odmocninu ze 2 lomeno 2x a když vynásobím tuhle odmocninu z 2 lomenou tímto, tak dostanu toto. Pak máme minus a minus a to nám dá 1/2. Myslím si, že to je dobře. 1/2, tohle krát tohle krát tohle je rovno 1/2. A teď už jsme doma! Přičteme 1/2 k oběma stranám rovnice a dostaneme rovnici extrémní normály, což je y je rovno minus odmocnině z 2 lomeno 2x. Když přičteme 1/2 k oběma stranám rovnice, tak dostaneme 1. A tady to máte. To je rovnice této přímky, pokud jsem neudělal nějaké chyby v počtech. Kdybych je udělal, tak přesto doufám, že jste pochopili myšlenku, jak na tuto úlohu, která nebyla vůbec lehká.