Optimalizační úlohy: součet druhých mocnin

Máme zjistit, jaký je nejmenší... Tady je překlep. ...jaký je nejmenší možný součet druhých mocnin dvou čísel, jejichž součin je −16? Označme si tato dvě čísla jako x a y. Jak bude vypadat součet druhých mocnin těchto dvou čísel? Protože jde o součet, označím si ho jako S. Tento součet se rovná x na druhou plus y na druhou. Tohle chceme mít co nejmenší. Chceme nalézt co nejmenší možnou hodnotu S. S nyní máme vyjádřeno jako funkci dvou proměnných x a y, nevíme ale, jak minimalizovat výraz se dvěma proměnnými, takže toto musíme vyjádřit pomocí jedné proměnné. V zadání jsme naštěstí dostali ještě jednu informaci. Součin hledaných čísel je −16. x krát y se tedy rovná −16. Řekněme, že tento výraz budeme chtít napsat jen pomocí proměnné x. Potom už zjistíme, jak y vyjádřit pomocí x a pak to sem dosadíme. Napíšu to sem. Když obě strany vydělíme x, dostaneme, že y se rovná −16 lomeno x. Za y v tomto výrazu tedy dosaďme −16 lomeno x. Součet druhých mocnin vyjádřený jako funkce proměnné x se bude rovnat: x na druhou plus y na druhou, přičemž y se rovná −16 lomeno x, takže toto na druhou. Tohle se rovná x na druhou plus 256 lomeno x na druhou, což můžeme napsat jako 256 krát x na minus druhou. Tak vypadá součet druhých mocnin, který chceme mít co nejmenší. Při minimalizování tohohle nás budou zajímat stacionární body, což jsou body, v nichž je derivace nulová nebo není definovaná. Podíváme se, zda jsou některé z nich bodem maxima nebo minima, což sice nemusí, ale pokud v nějakém bodě nastává minimum nebo maximum, tak půjde o nějaký stacionární bod. Tak si to zderivujme. Derivace S... Udělám to jinou barvou. Derivace S v bodě x... Napíšu to raději sem. Derivace S(x) podle x se rovná 2 krát x plus −2 krát 56... 2 krát x plus 256 krát −2, což je −512, krát x na minus třetí. Tento výraz není definovaný pro x rovno 0, ale když je x rovno 0, tak ani y není definované a úloha nemá smysl, takže x rovno 0 není užitečný stacionární bod. Zkusme tedy najít jiné body. Výraz je všude jinde definovaný, takže zkusme zjistit, kdy je derivace nulová. Kdy se tento výraz rovná 0? Kdy se 2 krát x minus 512 krát x na minus třetí rovná 0? K oběma stranám můžeme přičíst 512 krát x na minus třetí, dostaneme, že 2 krát x se rovná 512 krát x na minus třetí. Obě strany nyní vynásobíme x na třetí, abychom se zbavili x na pravé straně. Vyjde nám, že 2 krát x na čtvrtou se rovná 512. Obě strany rovnice vydělíme 2 a dostaneme, že x na čtvrtou se rovná 256. Čemu se rovná čtvrtá odmocnina z 256? Můžeme si pomoct tím, že uděláme druhou odmocninu obou stran. Vyjde nám, že x na druhou se rovná... 256 je 16 na druhou, takže x na druhou se rovná 16, a tedy x se rovná 4. Jde o jediný stacionární bod, který máme, takže jde pravděpodobně o tu hodnotu x, pro kterou je náš součet nejmenší možný. Ověřme si ale, že jde skutečně o bod minima, a to pomocí druhé derivace. Spočítejme si druhou derivaci, tedy S s dvěma čárkami v bodě x, a zjistěme, zda je funkce v bodě x rovno 4 konvexní nebo konkávní. Druhá derivace S(x) se rovná 2 a pak tam bude −3 krát −512, což napíšu jako plus 1536... Je to správně? 3 krát 500 je 1500 a 3 krát 12 je 36, takže ano. ...krát x na minus čtvrtou. Tento výraz je kladný pro libovolné x. x na minus čtvrtou je kladné, i když je x záporné, a všude jinde je také kladné. Tento výraz je vždy kladný. V každém bodě je tedy naše funkce konvexní, což znamená, že její graf vypadá nějak takto. Vidíme, že druhá derivace nám odhalila konvexitu naší funkce proto, protože kladná druhá derivace znamená, že první derivace neustále roste. Tady je záporná, potom je méně záporná, ještě méně záporná... Udělám to jinou barvou. ...je záporná, potom méně záporná, ještě méně záporná, nulová, kladná, víc kladná, takže vidíme, že celou dobu roste. Když tedy máme stacionární bod, v němž je derivace rovna 0, neboli sklon se rovná 0, tak protože funkce je konvexní, tak vidíme, že jsme našli její minimum. Čemu se tedy rovná y? Abychom našli co nejmenší součet druhých mocnin, tak y vlastně ani nemusíme znát, stačí sem dosadit za x, ale vidíme, že y se rovná −16 lomeno x, takže y se rovná −4. Nyní už můžeme spočítat, čemu se rovná náš součet. Nejmenší možná hodnota našeho součtu druhých mocnin se rovná: 4 na druhou, což je 16, plus (−4) na druhou, což je opět 16, a to se rovná 32. Někteří si teď asi myslí: „Tohle jde udělat i bez derivací!“ „Mohli jsme prostě dosazovat čísla, jejichž součin je −16, brzo bychom zkusili i 4 a −4 a pak bychom přišli na to, že součet je menší, než kdybychom zkusili 2 a −8 nebo −2 a 8 nebo 1 a 16.“ Je pravda, že tohle byste nejspíš zvládli, ale pořád byste nemohli říct, že jste našli minimální hodnotu, protože byste nezkusili 4,01 nebo třeba 4,0011. Ve skutečnosti není možné zkusit všechny možné hodnoty. V zadání není, že jde pouze o celá čísla, jen nám to jako celá čísla zrovna vyšlo. Představte si, co by se stalo, kdyby součin čísel v příkladu nebyl −16. Co kdyby jejich součin byl −17? Nebo co kdyby jejich součin byl −16,5? Co kdyby jejich součin byl π na druhou? Potom už byste nemohli zkusit všechno dosadit a museli byste se uchýlit k tomu, co jsme dělali v tomto videu.