Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 11: Optimalizační úlohy- Optimalizační úlohy: součet druhých mocnin
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 2)
- Optimalizační úlohy: zisk továrny
- Optimalizační úlohy: cena materiálů
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)
- Optimalizační úlohy: extrémní normála ke křivce y=x²
- Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení
Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)
V tomto videu chceme vytvořit rovnostranný trojúhelník a čtverec, přičemž součet jejich obvodů je 100 metrů. Jak to udělat, aby byl součet jejich obsahů co nejmenší? Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V minulém videu
jsme skončili tím, že jsme celkový obsah
vyjádřili jako funkci proměnné x, tedy toho,
kde uděláme řez. A teď potřebujeme zjistit, kde tato
funkce nabývá minimální hodnoty. Abychom to zjistili, musíme
udělat derivaci celého tohohle výrazu, poté zjistit, kde je derivace
nedefinovaná nebo rovna 0, pak se ujistit, že se skutečně jedná
o minimální hodnotu, a budeme mít hotovo. Nyní si
to přepíšu. Celkový obsah jako
funkce proměnné x… Jen to upravím, aby se
nám to lépe derivovalo. Toto je (odmocnina ze 3) krát
x na druhou, to celé lomeno… Tohle je 4 krát 9, protože toto
je x na druhou lomeno 9. 4 krát 9 je 36. Výraz nahoře napsaný modře bude plus
(100 minus x) na druhou lomeno 16. Teď to zderivujeme. ‚A‘ s čárkou, tedy derivace celkového
obsahu jako funkce x, bude rovna… Derivace tohoto podle x
je (odmocnina ze 3 krát x) lomeno 18. Derivace tohohle
podle x bude… Je to derivace (něčeho na druhou)
lomeno 16 podle toho něčeho, takže to bude to něco na prvou
krát (2 lomeno 16), tedy lomeno 8, a pak podle derivace složené funkce
krát derivace toho něčeho podle x. Derivace (100 minus x) podle x
je rovna −1, takže krát −1. Toto vynásobíme −1. Tohle celé tedy můžeme přepsat jako
(odmocnina ze 3 vydělená 18) krát x plus… Tohle můžu napsat
jako x lomeno 8, takže sem můžu napsat
(1 lomeno 8) krát x, protože −1 krát −x je x
a ještě lomeno 8, a pak −100 lomeno 8,
což je −12,5. A my chceme znát x,
pro které je tento obsah nejmenší. Tato derivace je definovaná
pro libovolné x, takže nemáme žádné stacionární body,
ve kterých derivace není definovaná, ale můžeme najít stacionární
body, ve kterých je derivace rovna 0. Musíme zjistit, pro která x
bude hodnota derivace nulová, neboli kdy má naše původní
funkce sklon rovný 0. Pak už jen potřebujeme ověřit,
že se skutečně jedná o minimum, pokud nalezneme x,
pro které je derivace rovna 0. Vyřešme tuto
rovnici pro x. Když k oběma stranám přičteme 12,5,
dostaneme, že 12,5 se rovná... Když sečteme členy s x, dostaneme
(odmocninu ze 3 dělenou 18) plus (1 lomeno 8)
a celý výraz krát x. Abychom osamostatnili x,
obě strany vydělíme tímto výrazem. Dostaneme, že x je rovno 12,5
děleno výrazem (odmocnina ze 3 dělená 18)
plus (1 lomeno 8). A máme hotovo. Pro toto x je
derivace rovna 0. Ještě jsem neměl říkat,
že máme hotovo. Nevíme, jestli je
tohle bod minima. Abychom zjistili, zda
jde o bod minima, musíme zjistit, jestli je pro toto x
naše funkce konvexní nebo konkávní. Abychom na to přišli,
použijeme druhou derivaci. Takže druhá derivace... Napíšu si tedy druhou derivaci
celého tohoto výrazu. Tohle je stejná
funkce jako tahle. Takže to přepíšu. ‚A‘ s čárkou, tedy derivace
celkového obsahu, se rovná (odmocnina ze 3 dělená 18) krát x
plus (1 lomeno 8) krát x minus 12,5. Druhá derivace je (odmocnina ze 3
dělená 18) plus (1 lomeno 8). Tento výraz je větší než 0, což znamená,
že funkce je konvexní pro všechna x. Konvexní pro všechna x. Máme tedy nějakou
takovou situaci. Když tedy nalezneme x,
ve kterém je sklon rovný 0, tak to bude na intervalu, kde je funkce
konvexní, protože to platí pro všechna x, tudíž půjde skutečně
bod minima. Sklon je zde
rovný 0. Zde bude
bod minima. Tohle je tedy bod,
ve kterém nastává minimum. Pokud bychom skutečně měli
100 metrů dlouhý drát, tak tento výraz
není tak užitečný. Chtěli bychom dostat nějaké desetinné
číslo, abychom věděli, kde řez udělat. Tak na to teď
použijeme kalkulačku. Máme 12,5 děleno výrazem (odmocnina ze 3
dělená 18 plus 1 lomeno 8), což nám vyjde
jako 56,5. Toto je tedy
zhruba 56,5 metrů. Náš řez tak musíme udělat zhruba
56,5 metrů od levého konce drátu, pak bude celkový obsah
těchto dvou obrazců nejmenší možný.