Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)

Máme tento 100 metrů dlouhý drát. Je 100 metrů dlouhý. Tento drát někde rozříznu, řekněme že to bude tady. Z levé části drátu… Drát je teď rozříznutý na dvě části. ...z levé části udělám rovnostranný trojúhelník, zatímco z pravé části udělám čtverec. A otázka je, kde bychom měli udělat tento řez, aby byl součet obsahů trojúhelníku a čtverce co nejmenší? Zkusme zjistit... Zadefinujme si proměnnou, kterou chceme minimalizovat, nebo můžeme říct, že zbytek budeme podle ní optimalizovat. Řekněme, že proměnná x je počet metrů, které máme odříznuté vlevo. Když si to tak označíme, tak na konstrukci trojúhelníku budeme mít x metrů drátu, zatímco na konstrukci čtverce budeme mít… Pokud má levá strana délku x, tak pravá strana bude mít délku 100 minus x. Jaké jsou tedy rozměry trojúhelníku a čtverce? Strany trojúhelníku budou x lomeno 3, x lomeno 3 a x lomeno 3, jde totiž o rovnostranný trojúhelník. Čtverec bude (100 minus x) lomeno 4 na (100 minus x) lomeno 4. Nyní je lehké najít výraz pro obsah čtverce v závislosti na x, ale jak vyjádříme obsah rovnostranného trojúhelníku jako funkci délky jeho stran? Vypočítám si to stranou. Řekněme, že máme tento rovnostranný trojúhelník a že jeho strany mají délku s, s a s. Víme, že obsah trojúhelníku je jedna polovina krát základna krát výška. V našem případě bude výška tato úsečka. Délka této úsečky je výška. Zde bude kolmá na základnu. Obsah se tedy rovná jedna polovina krát základna, což je s… jedna polovina krát s krát výška, ať už je to, kolik chce. Můžeme vyjádřit výšku h jako funkci proměnné s? Abychom to udělali, musíme si uvědomit, že toto je pravoúhlý trojúhelník. Jde o levou polovinu našeho rovnostranného trojúhelníku. Víme, jak je dlouhá tato dolní strana našeho pravoúhlého trojúhelníku. Tato kolmice rozdělí spodní stranu přesně na dva poloviny, takže tohle má délku s lomeno 2. K výpočtu h teď můžeme použít Pythagorovu větu. (h na druhou) plus (s lomeno 2) na druhou je přepona na druhou, což je s na druhou. Dostaneme, že (h na druhou) plus (s na druhou) lomeno 4 je rovno s na druhou. Od obou stran odečteme (s na druhou) lomeno 4 a dostaneme, že (h na druhou) je rovno (s na druhou) minus (s na druhou) lomeno 4. Z tohohle můžu udělat 4 krát (s na druhou) lomeno 4, abych měl společného jmenovatele. (4 krát s na druhou minus s na druhou) lomeno 4 se rovná (3 krát s na druhou) lomeno 4. Dostaneme tedy, že h na druhou je rovno (3 krát s na druhou) lomeno 4. Teď můžeme obě strany odmocnit a dostaneme, že h je rovno (odmocnina ze 3 krát s) lomeno 2. Teď to dosadíme sem a získáme obsah. Obsah se rovná jedna polovina krát s krát h. h jsme si vyjádřili takto, takže to je ‚s‘ krát tohle. Je to tedy jedna polovina krát s krát (odmocnina ze 3 krát s) lomeno 2, což je rovno… s krát s je s na druhou, takže tohle bude (odmocnina ze 3 krát s na druhou) lomeno 2 krát 2, tedy lomeno 4. Tohle je tedy obsah rovnostranného trojúhelníku jako funkce délky strany. Kolik tak bude tento obsah? Obsah našeho rovnostranného trojúhelníku… Napíšu sem už celkový obsah. Udělám to neutrální barvou, takže třeba bílou. Celkový obsah, který označím A_c, se tak rovná obsah trojúhelníku, tedy A_t, plus obsah čtverce. Už víme, čemu se rovná obsah našeho trojúhelníku. Je to (odmocnina ze 3 krát délka strany na druhou) lomeno 4. Takže to je odmocnina ze 3… Udělám to stejnou žlutou barvou. ...je to (odmocnina ze 3) lomeno 4, tohle krát délka strany na druhou, takže krát (x lomeno 3) na druhou. Jen jsem dosadil, že délka strany je x lomeno 3. Už víme, že obsah je odmocnina ze 3 vydělená 4 krát délka strany na druhou. Obsah tohoto čtverce je ((100 minus x) lomeno 4) na druhou. Takže celkový obsah jako funkce toho, kde uděláme řez, je celý tento výraz. A toto potřebujeme minimalizovat. To vám ukážu v dalším videu.