Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 11: Optimalizační úlohy- Optimalizační úlohy: součet druhých mocnin
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 2)
- Optimalizační úlohy: zisk továrny
- Optimalizační úlohy: cena materiálů
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)
- Optimalizační úlohy: extrémní normála ke křivce y=x²
- Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení
Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)
V tomto videu chceme vytvořit rovnostranný trojúhelník a čtverec, přičemž součet jejich obvodů je 100 metrů. Jak to udělat, aby byl součet jejich obsahů co nejmenší? Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tento 100 metrů
dlouhý drát. Je 100 metrů dlouhý. Tento drát někde rozříznu,
řekněme že to bude tady. Z levé části drátu… Drát je teď
rozříznutý na dvě části. ...z levé části udělám
rovnostranný trojúhelník, zatímco z pravé části
udělám čtverec. A otázka je, kde bychom
měli udělat tento řez, aby byl součet obsahů trojúhelníku
a čtverce co nejmenší? Zkusme zjistit... Zadefinujme si proměnnou,
kterou chceme minimalizovat, nebo můžeme říct, že zbytek
budeme podle ní optimalizovat. Řekněme, že proměnná x je počet
metrů, které máme odříznuté vlevo. Když si to tak označíme, tak na konstrukci
trojúhelníku budeme mít x metrů drátu, zatímco na konstrukci
čtverce budeme mít… Pokud má levá strana délku x, tak
pravá strana bude mít délku 100 minus x. Jaké jsou tedy rozměry
trojúhelníku a čtverce? Strany trojúhelníku budou x lomeno 3,
x lomeno 3 a x lomeno 3, jde totiž o
rovnostranný trojúhelník. Čtverec bude (100 minus x) lomeno 4
na (100 minus x) lomeno 4. Nyní je lehké najít výraz pro obsah
čtverce v závislosti na x, ale jak vyjádříme obsah rovnostranného
trojúhelníku jako funkci délky jeho stran? Vypočítám si to stranou. Řekněme, že máme tento
rovnostranný trojúhelník a že jeho strany mají
délku s, s a s. Víme, že obsah trojúhelníku je
jedna polovina krát základna krát výška. V našem případě bude
výška tato úsečka. Délka této
úsečky je výška. Zde bude kolmá
na základnu. Obsah se tedy rovná jedna polovina
krát základna, což je s… jedna polovina krát s krát výška,
ať už je to, kolik chce. Můžeme vyjádřit výšku
h jako funkci proměnné s? Abychom to udělali, musíme si uvědomit,
že toto je pravoúhlý trojúhelník. Jde o levou polovinu našeho
rovnostranného trojúhelníku. Víme, jak je dlouhá tato dolní
strana našeho pravoúhlého trojúhelníku. Tato kolmice rozdělí spodní
stranu přesně na dva poloviny, takže tohle má
délku s lomeno 2. K výpočtu h teď můžeme
použít Pythagorovu větu. (h na druhou) plus (s lomeno 2)
na druhou je přepona na druhou, což je s na druhou. Dostaneme, že (h na druhou) plus (s na
druhou) lomeno 4 je rovno s na druhou. Od obou stran odečteme
(s na druhou) lomeno 4 a dostaneme, že (h na druhou) je rovno (s na druhou)
minus (s na druhou) lomeno 4. Z tohohle můžu udělat
4 krát (s na druhou) lomeno 4, abych měl společného
jmenovatele. (4 krát s na druhou minus s na druhou)
lomeno 4 se rovná (3 krát s na druhou)
lomeno 4. Dostaneme tedy, že h na druhou
je rovno (3 krát s na druhou) lomeno 4. Teď můžeme
obě strany odmocnit a dostaneme, že h je rovno
(odmocnina ze 3 krát s) lomeno 2. Teď to dosadíme sem
a získáme obsah. Obsah se rovná jedna
polovina krát s krát h. h jsme si
vyjádřili takto, takže to je
‚s‘ krát tohle. Je to tedy jedna polovina krát s krát
(odmocnina ze 3 krát s) lomeno 2, což je rovno… s krát s je
s na druhou, takže tohle bude (odmocnina ze 3 krát s na
druhou) lomeno 2 krát 2, tedy lomeno 4. Tohle je tedy obsah rovnostranného
trojúhelníku jako funkce délky strany. Kolik tak bude
tento obsah? Obsah našeho
rovnostranného trojúhelníku… Napíšu sem
už celkový obsah. Udělám to neutrální barvou,
takže třeba bílou. Celkový obsah, který označím A_c,
se tak rovná obsah trojúhelníku, tedy A_t, plus obsah čtverce. Už víme, čemu se rovná
obsah našeho trojúhelníku. Je to (odmocnina ze 3 krát délka
strany na druhou) lomeno 4. Takže to je
odmocnina ze 3… Udělám to stejnou
žlutou barvou. ...je to (odmocnina ze 3) lomeno 4,
tohle krát délka strany na druhou, takže krát
(x lomeno 3) na druhou. Jen jsem dosadil, že délka
strany je x lomeno 3. Už víme, že obsah je odmocnina ze 3
vydělená 4 krát délka strany na druhou. Obsah tohoto čtverce je
((100 minus x) lomeno 4) na druhou. Takže celkový obsah jako funkce toho,
kde uděláme řez, je celý tento výraz. A toto potřebujeme
minimalizovat. To vám ukážu
v dalším videu.