Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 11: Optimalizační úlohy- Optimalizační úlohy: součet druhých mocnin
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 2)
- Optimalizační úlohy: zisk továrny
- Optimalizační úlohy: cena materiálů
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)
- Optimalizační úlohy: extrémní normála ke křivce y=x²
- Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení
Optimalizační úlohy: cena materiálů
Tvoje továrna na boty někde potřebuje skladovat materiály, takže bys určitě taky rád věděl/a, jak minimalizovat náklady na jejich skladování. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Obdélníkový skladový kontejner bez víka
má mít objem 10 metrů krychlových. Délka jeho podstavy je
dvakrát větší než její šířka. Materiál na výrobu podstavy
stojí 10 dolarů za metr čtverečný. Materiál na výrobu bočních stěn
stojí 6 dolarů za metr čtverečný. Zjistěte cenu materiálu na výrobu
nejlevnějšího možného kontejneru. Nakresleme si tedy nějaký skladový
obdélníkový kontejner bez víka. Bude otevřený. Nakreslím otevřenou vrchní
část, jak nejlépe umím. Nahoře bude
bez víka. Tohle je vrchní část
mého kontejneru. Teď nakreslím
boční stěny. Nějak takto. Bude to vypadat
asi takhle. Pak mohu
nakreslit… Protože nemá víko,
tak vidím i vnitřek kontejneru. Kontejner tedy bude
vypadat nějak takto. Co nám
o něm říkají? Říkají, že objem má být
10 metrů krychlových. Zapíšu to. Objem má být
10 metrů krychlových. Délka podstavy je
dvakrát větší než její šířka. Délku tedy
označme... Označme šířku
jako ‚x‘. Délka pak bude dvakrát tolik,
tedy 2 krát x. Tak to
říkají zde. Dále říkají, že cena materiálu na výrobu
podstavy je 10 dolarů za metr čtverečný. Podstava, což je
tato plocha... Kdybych to měl průhledné,
tak bych to vybarvil i zde. Materiál na výrobu téhle části
stojí 10 dolarů za metr čtverečný. Zapišme si k tomu tedy
10 dolarů za metr čtverečný. Materiál na výrobu bočních stěn
stojí 6 dolarů za metr čtverečný. Materiál na výrobu téhle části tedy
stojí 6 dolarů za metr čtverečný. Zkusme teď přijít
na hodnotu… Zkusme vyjádřit náklady na výrobu
tohoto kontejneru jako funkci proměnné x. ‚x‛ udává pouze rozměry podstavy, ale my
máme ještě třetí rozměr, a to výšku. Zatím tedy budeme hledat
funkci x a výšky. Výšku označme
jako ‚h‘. Jaké budou náklady na
výrobu tohoto kontejneru? Celkové náklady se rovnají
nákladům na výrobu podstavy... Náklady na výrobu podstavy
budou 10 dolarů krát... Napíšu jenom 10. ...10 krát obsah podstavy. Jaký je obsah
podstavy? Obsah je
šířka krát délka, takže dohromady to bude
10 krát x krát 2 krát x. Takové jsou náklady
na výrobu podstavy. Jaké budou náklady
na výrobu bočních stěn? Různé stěny budou
mít různé rozměry. Máme zde tuto stěnu a tuhle stěnu,
které mají stejné rozměry. Obě mají obsah
x krát h. Cena materiálu je
6 dolarů za metr čtverečný, takže 6 krát x krát h budou náklady na
výrobu jedné z těchto bočních stěn. Pro dvě stěny bychom to měli vynásobit 2,
takže tu bude plus 2 krát 6 krát x krát h. Pak zde máme
tyto dvě boční stěny. Tady je jedna boční stěna
a zde je druhá boční stěna. Obsah každé z nich
bude 2 krát x krát h. Zde tedy bude
2 krát x krát h. Cena materiálu je 6, takže náklady na
jednu boční stěnu jsou: 6 dolarů za metr čtverečný
krát 2 krát x krát h metrů čtverečných. My ale máme dvě
takové stěny. Tady je první
a zde je druhá. Musíme to tedy ještě
vynásobit 2. Dostaneme... Tohle jsou náklady
na výrobu bočních stěn. Zkusme to teď
nějak zjednodušit. Napíšu to všechno
bílou barvou. Tohle se rovná 10... 10 krát 2 je 20 a
x krát x je x na druhou. Pak tady máme 2 krát 6 krát x krát h,
takže tu bude plus 12 krát x krát h. Nakonec zde máme 2 krát 6, což je 12,
krát 2, což nám dá 24, a ještě krát x krát h. Plus 24 krát x krát h. To se rovná 20 krát (x na druhou)
plus 36 krát x krát h. Takové budou náklady, ale zatím
je neumíme optimalizovat. Nevíme, jak optimalizovat
vzhledem k dvěma proměnným. Víme, jak optimalizovat
vzhledem k jedné proměnné, a řekněme, že zde chceme
optimalizovat vzhledem k ‚x‛. Pokud však chceme
optimalizovat vzhledem k ‚x‛, musíme h vyjádřit jako
funkci proměnné x. Jak to uděláme? Jak vyjádříme h
jako funkci proměnné x? Víme, že objem musí
být 10 metrů čtverečných. Víme tedy, že šířka ‚x‘ krát délka 2x
krát výška ‚h‘ se má rovnat 10, neboli že 2 krát (x na druhou) krát h
se má rovnat 10. Když tedy chceme h
vyjádřit jako funkci x, tak obě strany vydělíme
výrazem 2 krát (x na druhou), čímž dostaneme, že h je rovno
10 lomeno výrazem 2 krát (x na druhou), což můžeme napsat také tak,
že h se rovná 5 lomeno (x na druhou). Tohle teď můžeme
dosadit sem. h se rovná
5 lomeno (x na druhou). Celý tento výraz
se tedy rovná: 20 krát (x na druhou) plus 36 krát x
krát 5 lomeno (x na druhou). Celkové náklady vyjádřené jako funkce x
tedy jsou 20 krát (x na druhou)... Kolik je 36 krát 5? 30 krát 5 je 150 a pak přičteme
dalších 30, takže to bude 180. ...plus 180 krát... Máme tu x krát (x na minus druhou),
takže to bude 180 krát (x na minus prvou). Konečně jsme náklady
vyjádřili jako funkci x a teď už můžeme
optimalizovat. K optimalizaci musíme nejdříve
najít stacionární body a zjistit, zda v těchto bodech funkce nabývá
minimální nebo maximální hodnotu. Tak to pojďme
udělat. Stacionární body určíme tak,
že funkci zderivujeme a zjistíme, kde derivace není definovaná
nebo kde je rovna 0, což budou kandidáti
na stacionární body. U stacionárních
bodů pak zjistíme, zda v nich funkce nabývá minimální
nebo maximální hodnotu. Derivace c, tedy našich nákladů,
podle x se rovná: 40 krát x minus 180 krát
(x na minus druhou). Vypadá to, že… Toto je definované pro všechna x
kromě x rovno 0. x rovno 0 nás ale jakožto
stacionární bod nezajímá, protože bychom
měli takový podivný... Kontejner by neměl
žádnou podstavu. Tento stacionární bod nás
tak nemusí zajímat. Neměli bychom žádný objem,
což by nefungovalo. Pokud by x bylo rovno 0,
tak by navíc výška nebyla definovaná. Tento výraz je tedy definovaný
pro všechna čísla kromě x rovno 0. Podívejme se nyní,
kdy je tato derivace rovna 0, abychom našli další
stacionární body. Kdy se... Udělám to zde. ...kdy se 40 krát x minus
180 krát (x na minus druhou) rovná 0? K oběma stranám můžeme přičíst
180 krát (x na minus druhou), čímž dostaneme,
že 40 krát x se rovná 180... Můžu to napsat
jako 180 lomeno (x na druhou). Obě strany rovnice teď můžeme
vynásobit výrazem x na druhou a dostaneme, že
40 krát (x na třetí) se rovná 180. Po vydělení obou stran
číslem 40 nám vyjde, že x na třetí se rovná
180 lomeno 40, což je totéž jako 18 lomeno 4
neboli 9 lomeno 2. My chceme spočítat x,
takže x se rovná… Vyjde nám stacionární bod
x rovná se (9 lomeno 2) na (1 lomeno 3), tedy třetí odmocnina
z (9 lomeno 2). Podívejme se,
kolik to přibližně je. Když vezmeme 9 lomeno 2,
tedy 9 děleno 2, což bychom taky
mohli napsat jako 4,5, a umocníme to
na (1 lomeno 3), tak nám
vyjde 1,65. Náš stacionární bod
je tudíž zhruba roven 1,65. Tato úloha tedy
byla zadána tak, že nám vyjde pouze jeden
použitelný stacionární bod. Nejspíš jde tedy o to x, pro které
dosáhneme minimální hodnoty, ale pro jistotu
použijme druhou derivaci, abychom bezpečně věděli,
že funkce je v tomto bodě konvexní, a tedy že toto je opravdu ten bod x,
ve kterém funkce nabývá minimální hodnotu. Druhá derivace... Spočítám ji zde. Druhá derivace funkce udávající náklady
je jen derivace tohoto výrazu, takže to bude
40 minus... 180 krát −2 je −360, takže zde bude
plus 360 lomeno (x na třetí). Derivace tohoto je −2 krát −180,
což je +360, krát (x na minus třetí), což je přesně
tento výraz. Když je x rovno 1,65,
tak toto bude kladné a tohle bude
taky kladné. Napíšu to. c se dvěma čárkami v bodě 1,65
je určitě větší než 0, takže v bodě x rovno 1,65
je funkce určitě konvexní. Funkce je konvexní, což znamená,
že její graf vypadá nějak takto. Tam, kde je
derivace rovna 0, k čemuž dochází
v tomhle bodě, tudíž funkce
nabývá minima. V tomto bodě
minimalizujeme naše náklady. Když se vrátíme k naší otázce,
tak už jen zbývá zjistit… Už známe hodnotu x, pro kterou
budou náklady minimální, a nyní musíme spočítat cenu materiálu na
výrobu nejlevnějšího možného kontejneru. Musíme tedy spočítat,
jaké budou naše náklady. Náklady už máme
vyjádřené jako funkci x, takže pouze dosadíme
1,65 do této rovnice, neboli spočítáme funkční
hodnotu v bodě 1,65. Tak pojďme na to. Vyjde nám... Naše náklady jsou
rovny 20 krát (1,65… Měl bych říct
„přibližně rovny“, protože používám přibližnou
hodnotu tohoto čísla. ...1,65 na druhou) plus
(180 děleno 1,65). Děleno 1,65 je totéž jako
vynásobit číslem 1,65 na minus prvou. ...děleno 1,65,
což se rovná 163... Řekněme 163,5 dolarů. Je to přibližná
hodnota. Celkové náklady,
když... Udělám to
novou barvou. Teď si zasloužíme
oslavnou fanfáru. ...celkové náklady, když je x rovno 1,65,
jsou přibližně rovny 163,54 dolarů. 163,54 dolarů neboli
163 dolarů a 54 centů. To je docela
drahý kontejner. Je to trochu
drahé. Jde o poměrně drahý materiál,
ačkoliv kontejner není zas tak malý. Má 1,65 metrů na šířku
a je dvakrát tak dlouhý. Mohli bychom také zjistit,
jaká bude jeho výška. Nebude asi
až tak vysoký. Výška je 5 děleno
(1,65 na druhou). Jeho výška bude
něco pod 2 metry. Je to vlastně docela velký kontejner
vyrobený z poměrně drahého materiálu. Minimální náklady na výrobu
tohoto kontejneru jsou 163,54 dolarů.