Optimalizační úlohy: zisk továrny

Otevřeli jste továrnu na výrobu obuvi a snažíte se zjistit, kolik tisíc párů bot máte vyrobit, abyste optimalizovali svůj zisk. Zvolme si ‚x‘ jako hledaný počet tisíců párů vyrobených bot. Nyní se zamysleme, kolik peněz vyděláte za jeden pár, nebo spíše jaký bude váš výnos, tedy za kolik peněz prodáte jeden pár bot. Napišme si sem tedy funkci r(x) udávající výnos ‚r‘ jako funkci proměnné x. Znáte jeden velkoobchod, který je ochotný zaplatit 10 dolarů za pár a koupit tolik párů, kolik mu nabídnete. Váš výnos jako funkce proměnné x se tedy bude rovnat 10 krát x. Protože ‚x‘ udává počet tisíců vyrobených párů, tak když je x rovno 1, znamená to 1 000 vyrobených párů krát 10, což je výnos 10 000 dolarů. Tady vám ale vyjde jen 10, takže jde o výnos v tisících dolarů. Když je x rovno 1, tak to znamená 1 000 vyrobených párů. 10 krát 1 říká, že výnos ‚r‛ je roven 10, ale doopravdy to znamená 10 000 dolarů. Bylo by to jistě krásné podnikání, kdybyste měli jen výnosy a žádné náklady, jenže vy máte náklady. Musíte mít materiál, museli jste postavit továrnu, musíte zaplatit zaměstnancům, musíte zaplatit za elektřinu. Najali jste tedy několik poradců, aby vám řekli, jaké jsou vaše náklady vyjádřené jako funkce c(x) proměnné x, a oni přišli s nějakou funkcí. Říkají, že je to počet vyrobených párů v tisících umocněný na třetí minus 6 krát (počet vyrobených párů v tisících umocněný na druhou) plus 15 krát počet vyrobených párů v tisících. Tohle bude také v tisících dolarů. Když už máme funkci r(x) pro výnosy a c(x) pro náklady, jak vyjádříme zisk jakožto funkci proměnné x? Váš zisk jako funkce p(x) proměnné x se rovná vašim výnosům jako funkci proměnné x minus vaše náklady jako funkce proměnné x. Pokud vyrobíte určité množství, jehož prodej vám vynese 10 000 dolarů, a náklady na výrobu těchto bot jsou 5 000 dolarů, tak máte zisk 5 000 dolarů. Tato čísla z těchto rovnic nedostanete, jen je uvádím jako příklad. Toto chcete optimalizovat. Chcete optimalizovat zisk ‚p‛ vyjádřený jako funkce proměnné x. Jak tato funkce vypadá? Vyjádřil jsem ji tu obecně, ale my víme, čemu je rovno r(x) a c(x). Bude to 10 krát x minus celý tento výraz, takže to bude minus (x na třetí) plus 6 krát (x na druhou) minus 15 krát x. Jenom jsem nejprve odečetl x na třetí, potom −6 krát (x na druhou), takže tam bude plus, a nakonec jsem odečetl 15 krát x, tudíž tam je −15 krát x. Tohle můžeme zjednodušit na... Máme tu minus (x na třetí) plus 6 krát (x na druhou) minus 15 krát x plus 10 krát x, což je −5 krát x. Pokud bychom tuto funkci udávající zisk chtěli optimalizovat analyticky, nejjednodušší by bylo najít stacionární body této funkce a podívat se, zda jsou některé z nich bodem lokálního minima nebo maxima. A pokud některý z nich je bodem maxima, pak můžeme říct, že tolik bychom měli vyrábět. Bude to... Tímto optimalizujeme... Tímto zjistíme množství, které potřebujeme vyrobit, abychom optimalizovali náš zisk. Abychom našli stacionární body, musíme naši funkci zderivovat a zjistit, kdy je tato derivace rovna 0 nebo kdy derivace není definovaná. Tak zní definice stacionárních bodů. p(x) s čárkou se rovná: −3 krát (x na druhou) plus 12 krát x minus 5. Tato funkce je definovaná pro všechna x, takže jediné stacionární body, které dostaneme, jsou body, ve kterých je tato první derivace rovna 0. −3 krát (x na druhou) plus 12 krát x minus 5 se tedy musí rovnat 0, aby ‚x‘ bylo stacionárním bodem. Nyní z rovnice spočítáme x. V zásadě řešíme kvadratickou rovnici. Abych tam neměl tolik záporných znamének, tak vynásobím obě strany −1. Rád bych měl hezký první koeficient. Když obě strany vynásobíme −1, dostaneme, že 3 krát (x na druhou) minus 12 krát x plus 5 je rovno 0. ‚x‘ nyní spočítáme pomocí vzorečku pro kořeny kvadratické rovnice. ‚x‘ se rovná −b, což je 12, plus minus odmocnina… Vždycky potřebuji pořádně dlouhou odmocninu. ...odmocnina z b na druhou, což je 144, minus 4 krát a, které se rovná 3, krát c, tedy krát 5, to celé lomeno 2 krát a. 2 krát 3 je 6. ‚x‘ je tedy rovno 12 plus minus odmocnina z... 4 krát 3 je 12, 12 krát 5 je 60. 144 minus 60 je 84. To celé lomeno 6. ‚x‘ se tak rovná 12 plus odmocnina z 84, to celé děleno 6, nebo se ‚x‘ rovná 12 minus odmocnina z 84, to celé děleno 6. Spočítejme, čemu se tyto dva výrazy rovnají. Použiji na to kalkulačku. Dostaneme, že... 12 plus odmocnina z 84, to celé děleno 6, vychází jako 3,5... Řekněme, že je to 3,53. Je to tedy přibližně 3 celá... Raději přidám ještě jedno desetinné místo, protože ‚x‘ je v tisících. Řekněme 3,528. Tohle je tedy 3 528 párů bot, protože ‚x‘ je v tisících párů bot. Teď pojďme na případ, kdy odmocninu odečítáme. Vlastně stačí najít naše předchozí zadání a změnit sčítání na odčítání. Zde to změním na odčítání. A je to. Dostaneme 0,4725. Zkusím si to zapamatovat. 0,4725. Toto se přibližně rovná 0,4725. Mám hroznou paměť, takže se raději podívám, zda jsem napsal totéž. 4725, v pořádku. Zatím o těchto bodech víme jen to, že jsou to stacionární body. Jsou to body, ve kterých je derivace rovna 0. Nevíme ale, zda to jsou body minima... Zda to jsou body, ve kterých funkce nabývá minimální hodnotu, maximální hodnotu, nebo ani jedno z toho. Abych to zjistil, použiji druhou derivaci, díky níž určím, zda je naše funkce v těchto bodech konvexní, konkávní, nebo ani jedno z toho. Podívejme se tedy na druhou derivaci. p(x) se dvěma čárkami se rovná −6 krát x plus 12. Když se podíváme… Radši si udělám trochu víc místa. ...když se podíváme na ‚p‘ se dvěma čárkami v bodě 3,528… Zamyslím se. Je to něco mezi 3 a 4. Pokud vezmeme nižší hodnotu, tak 3 krát −6 je −18, k čemuž přičítáme 12, takže to bude méně než 0. Pokud by ‚x‘ bylo 4, bude to ještě víc záporné, tudíž toto je menší než 0. Ani nemusím použít svou kalkulačku, abych to spočítal. A co tenhle bod, 0,47? 0,47 je zhruba 0,5. −6 krát 0,5 je −3. Tohle rozhodně nebude záporné. Bude to určitě kladné. ‚p‘ se dvěma čárkami v bodě 0,4725 je tedy větší než 0. To, že druhá derivace je menší než 0, znamená, že derivace klesá... První derivace klesá, když je ‚x‘ rovno této hodnotě, což znamená, že naše funkce je v tomto bodě konkávní. Konkávní znamená, že její graf vypadá nějak takto. Můžete vidět, že když graf vypadá takto, tak sklon funkce neustále klesá. Když máte interval, na kterém sklon klesá, a znáte v něm bod, ve kterém je sklon přesně 0, což je bod se souřadnicí x rovno 3,528, tak to musí být lokální maximum. Maximální hodnotu tedy nabydeme pro x rovno 3,528. Naopak zde vidíme, že funkce je konvexní. Graf bude v tomto případě vypadat nějak takto. Pokud je sklon roven 0 a graf vypadá takto, tak vidíme, že zde je lokální minimum. Tohle určitě nechceme. Kdybychom vyrobili 472 a půl párů, tak bychom minimalizovali náš zisk a maximalizovali naši ztrátu, a to opravdu nechceme. Podívejme se teď ale na to, jaký bude náš zisk, když vyrobíme 3,528 tisíců párů bot, tedy 3 528 párů bot. Abychom to zjistili, musíme toto číslo dosadit do naší funkce udávající zisk. Tak pojďme na to. Vyndám na to svou kalkulačku. Moje původní funkce udávající zisk je tady. Chtěl bych vidět tohle a také toto. Bude to minus (3,528 na třetí) plus 6 krát (3,528 na druhou) minus 5 krát 3,528, což je... Teď bychom si zasloužili fanfáru. ...což je zisk 13,128. Napíšu to. Zisk, když vyrobíme 3 528 párů bot, se přibližně rovná... Vlastně se to bude přesně rovnat, pokud vyrobíme právě tolik bot. ...se rovná 13,128. Vlastně to je jen přibližně, protože zaokrouhluji. 13,128. Pokud za dané období vyrobíme 3 528 párů bot, budeme mít zisk 13 128 dolarů. Nezapomeňme, že tohle je v tisících, takže toto je zisk 13,128 tisíců dolarů, což je 13 128 dolarů. Teď už budeme bohatí výrobci obuvi.