Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 11: Optimalizační úlohy- Optimalizační úlohy: součet druhých mocnin
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 2)
- Optimalizační úlohy: zisk továrny
- Optimalizační úlohy: cena materiálů
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)
- Optimalizační úlohy: extrémní normála ke křivce y=x²
- Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení
Optimalizační úlohy: zisk továrny
Kdoví, možná se jednou staneš vedoucím továrny na výrobu bot. Nemuselo by tedy být úplně k zahození vědět, jak mít co největší zisk. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Otevřeli jste továrnu na výrobu
obuvi a snažíte se zjistit, kolik tisíc párů bot máte vyrobit,
abyste optimalizovali svůj zisk. Zvolme si ‚x‘ jako hledaný počet
tisíců párů vyrobených bot. Nyní se zamysleme,
kolik peněz vyděláte za jeden pár, nebo spíše jaký
bude váš výnos, tedy za kolik peněz
prodáte jeden pár bot. Napišme si sem tedy funkci r(x) udávající
výnos ‚r‘ jako funkci proměnné x. Znáte jeden velkoobchod, který je
ochotný zaplatit 10 dolarů za pár a koupit tolik párů,
kolik mu nabídnete. Váš výnos jako funkce proměnné x
se tedy bude rovnat 10 krát x. Protože ‚x‘ udává počet
tisíců vyrobených párů, tak když je
x rovno 1, znamená to 1 000 vyrobených
párů krát 10, což je výnos 10 000 dolarů. Tady vám ale
vyjde jen 10, takže jde o výnos
v tisících dolarů. Když je x rovno 1, tak to znamená
1 000 vyrobených párů. 10 krát 1 říká, že výnos ‚r‛ je roven 10,
ale doopravdy to znamená 10 000 dolarů. Bylo by to jistě krásné podnikání,
kdybyste měli jen výnosy a žádné náklady, jenže vy
máte náklady. Musíte mít materiál,
museli jste postavit továrnu, musíte zaplatit zaměstnancům,
musíte zaplatit za elektřinu. Najali jste tedy
několik poradců, aby vám řekli, jaké jsou vaše náklady
vyjádřené jako funkce c(x) proměnné x, a oni přišli
s nějakou funkcí. Říkají, že je to počet vyrobených
párů v tisících umocněný na třetí minus 6 krát (počet vyrobených párů
v tisících umocněný na druhou) plus 15 krát počet
vyrobených párů v tisících. Tohle bude také
v tisících dolarů. Když už máme funkci r(x)
pro výnosy a c(x) pro náklady, jak vyjádříme zisk
jakožto funkci proměnné x? Váš zisk jako funkce p(x) proměnné x se
rovná vašim výnosům jako funkci proměnné x minus vaše náklady
jako funkce proměnné x. Pokud vyrobíte určité množství,
jehož prodej vám vynese 10 000 dolarů, a náklady na výrobu
těchto bot jsou 5 000 dolarů, tak máte
zisk 5 000 dolarů. Tato čísla z těchto rovnic nedostanete,
jen je uvádím jako příklad. Toto chcete
optimalizovat. Chcete optimalizovat zisk ‚p‛
vyjádřený jako funkce proměnné x. Jak tato
funkce vypadá? Vyjádřil jsem ji
tu obecně, ale my víme,
čemu je rovno r(x) a c(x). Bude to 10 krát x
minus celý tento výraz, takže to bude minus (x na třetí) plus
6 krát (x na druhou) minus 15 krát x. Jenom jsem nejprve
odečetl x na třetí, potom −6 krát (x na druhou),
takže tam bude plus, a nakonec jsem odečetl 15 krát x,
tudíž tam je −15 krát x. Tohle můžeme
zjednodušit na... Máme tu minus (x na třetí)
plus 6 krát (x na druhou) minus 15 krát x plus 10 krát x,
což je −5 krát x. Pokud bychom tuto funkci udávající zisk
chtěli optimalizovat analyticky, nejjednodušší by bylo najít
stacionární body této funkce a podívat se, zda jsou některé z nich
bodem lokálního minima nebo maxima. A pokud některý z nich je bodem
maxima, pak můžeme říct, že tolik bychom
měli vyrábět. Bude to... Tímto optimalizujeme... Tímto zjistíme množství, které potřebujeme
vyrobit, abychom optimalizovali náš zisk. Abychom našli stacionární body,
musíme naši funkci zderivovat a zjistit, kdy je tato derivace rovna 0
nebo kdy derivace není definovaná. Tak zní definice
stacionárních bodů. p(x) s čárkou se rovná: −3 krát (x na druhou)
plus 12 krát x minus 5. Tato funkce je
definovaná pro všechna x, takže jediné stacionární body,
které dostaneme, jsou body, ve kterých je tato
první derivace rovna 0. −3 krát (x na druhou) plus 12 krát x
minus 5 se tedy musí rovnat 0, aby ‚x‘ bylo
stacionárním bodem. Nyní z rovnice
spočítáme x. V zásadě řešíme
kvadratickou rovnici. Abych tam neměl tolik záporných znamének,
tak vynásobím obě strany −1. Rád bych měl
hezký první koeficient. Když obě strany
vynásobíme −1, dostaneme, že 3 krát (x na druhou)
minus 12 krát x plus 5 je rovno 0. ‚x‘ nyní spočítáme pomocí vzorečku
pro kořeny kvadratické rovnice. ‚x‘ se rovná −b, což je 12,
plus minus odmocnina… Vždycky potřebuji pořádně
dlouhou odmocninu. ...odmocnina z b na druhou,
což je 144, minus 4 krát a, které se rovná 3,
krát c, tedy krát 5, to celé lomeno
2 krát a. 2 krát 3 je 6. ‚x‘ je tedy rovno
12 plus minus odmocnina z... 4 krát 3 je 12,
12 krát 5 je 60. 144 minus 60 je 84. To celé
lomeno 6. ‚x‘ se tak rovná 12 plus
odmocnina z 84, to celé děleno 6, nebo se ‚x‘ rovná 12 minus
odmocnina z 84, to celé děleno 6. Spočítejme, čemu se
tyto dva výrazy rovnají. Použiji na
to kalkulačku. Dostaneme, že... 12 plus odmocnina z 84, to celé děleno 6,
vychází jako 3,5... Řekněme, že
je to 3,53. Je to tedy přibližně
3 celá... Raději přidám ještě jedno desetinné místo,
protože ‚x‘ je v tisících. Řekněme 3,528. Tohle je tedy 3 528 párů bot,
protože ‚x‘ je v tisících párů bot. Teď pojďme na případ,
kdy odmocninu odečítáme. Vlastně stačí najít naše předchozí
zadání a změnit sčítání na odčítání. Zde to změním
na odčítání. A je to. Dostaneme 0,4725. Zkusím si to
zapamatovat. 0,4725. Toto se přibližně
rovná 0,4725. Mám hroznou paměť, takže se
raději podívám, zda jsem napsal totéž. 4725,
v pořádku. Zatím o těchto bodech víme jen to,
že jsou to stacionární body. Jsou to body, ve kterých
je derivace rovna 0. Nevíme ale, zda to
jsou body minima... Zda to jsou body, ve kterých funkce nabývá
minimální hodnotu, maximální hodnotu, nebo ani
jedno z toho. Abych to zjistil, použiji
druhou derivaci, díky níž určím, zda je naše funkce v těchto bodech
konvexní, konkávní, nebo ani jedno z toho. Podívejme se tedy
na druhou derivaci. p(x) se dvěma čárkami
se rovná −6 krát x plus 12. Když se podíváme… Radši si udělám
trochu víc místa. ...když se podíváme na
‚p‘ se dvěma čárkami v bodě 3,528… Zamyslím se. Je to něco
mezi 3 a 4. Pokud vezmeme nižší hodnotu,
tak 3 krát −6 je −18, k čemuž přičítáme 12,
takže to bude méně než 0. Pokud by ‚x‘ bylo 4,
bude to ještě víc záporné, tudíž toto
je menší než 0. Ani nemusím použít svou
kalkulačku, abych to spočítal. A co tenhle bod,
0,47? 0,47 je zhruba 0,5. −6 krát 0,5 je −3. Tohle rozhodně
nebude záporné. Bude to
určitě kladné. ‚p‘ se dvěma čárkami v bodě 0,4725
je tedy větší než 0. To, že druhá derivace
je menší než 0, znamená, že derivace klesá... První derivace klesá,
když je ‚x‘ rovno této hodnotě, což znamená, že naše funkce
je v tomto bodě konkávní. Konkávní znamená,
že její graf vypadá nějak takto. Můžete vidět, že když graf vypadá takto,
tak sklon funkce neustále klesá. Když máte interval,
na kterém sklon klesá, a znáte v něm bod,
ve kterém je sklon přesně 0, což je bod se souřadnicí
x rovno 3,528, tak to musí
být lokální maximum. Maximální hodnotu tedy nabydeme
pro x rovno 3,528. Naopak zde vidíme,
že funkce je konvexní. Graf bude v tomto případě
vypadat nějak takto. Pokud je sklon roven 0
a graf vypadá takto, tak vidíme, že zde
je lokální minimum. Tohle určitě
nechceme. Kdybychom vyrobili
472 a půl párů, tak bychom minimalizovali náš zisk
a maximalizovali naši ztrátu, a to opravdu
nechceme. Podívejme se teď ale na to,
jaký bude náš zisk, když vyrobíme
3,528 tisíců párů bot, tedy 3 528 párů bot. Abychom to zjistili, musíme toto číslo
dosadit do naší funkce udávající zisk. Tak pojďme na to. Vyndám na to
svou kalkulačku. Moje původní funkce
udávající zisk je tady. Chtěl bych vidět
tohle a také toto. Bude to minus (3,528 na třetí) plus 6 krát
(3,528 na druhou) minus 5 krát 3,528, což je... Teď bychom si
zasloužili fanfáru. ...což je zisk 13,128. Napíšu to. Zisk, když vyrobíme 3 528
párů bot, se přibližně rovná... Vlastně se to bude přesně rovnat,
pokud vyrobíme právě tolik bot. ...se rovná 13,128. Vlastně to je jen přibližně,
protože zaokrouhluji. 13,128. Pokud za dané období
vyrobíme 3 528 párů bot, budeme mít
zisk 13 128 dolarů. Nezapomeňme,
že tohle je v tisících, takže toto je zisk
13,128 tisíců dolarů, což je 13 128 dolarů. Teď už budeme
bohatí výrobci obuvi.