Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 5
Lekce 11: Optimalizační úlohy- Optimalizační úlohy: součet druhých mocnin
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)
- Optimalizační úlohy: objem krabice (část 2)
- Optimalizační úlohy: zisk továrny
- Optimalizační úlohy: cena materiálů
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 1)
- Optimalizační úlohy: obsah trojúhelníku a čtverce (část 2)
- Optimalizační úlohy: extrémní normála ke křivce y=x²
- Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení
Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení
Rychlost hmotného bodu, který se pohybuje po ose x, udává funkce v(t)=-t³+6t²+2t. V tomto videu se podíváme na to, v jakém čase dosahuje zrychlení hmotného bodu maximální hodnoty.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Hmotná částice
se pohybuje po ose x. Její rychlost v libovolném čase t větším
nebo rovno 0 je dána funkcí: v(t) rovná se minus (t na třetí) plus
6 krát (t na druhou) plus 2 krát t. Pro kterou hodnotu t
dosáhne částice největšího zrychlení? Chceme zjistit, kdy částice
dosáhne největšího zrychlení. Projděme si,
co známe. Známe rychlost částice,
která je zadána jako funkce času. Připomeňme si, že když máme
polohu danou jako funkci času... Řekněme, že x(t) je poloha částice
vyjádřená jako funkce času. Když tohle zderivujeme,
tedy spočítáme ‚x‘ s čárkou v bodě t, tak to bude rychlost změny
polohy vzhledem k času, tedy rychlost částice
vyjádřená jako funkce času. Když zderivujeme
rychlost, získáme rychlost změny rychlosti
vzhledem k času, což je zrychlení částice
vyjádřené jako funkce času. V zadání je rychlost a z rychlosti
už dokážeme určit zrychlení. Přepíšu si to. Víme, že v(t) se rovná minus (t na třetí)
plus 6 krát (t na druhou) plus 2 krát t. Z toho už určíme
zrychlení jako funkci času. Bude to derivace
rychlosti podle t. Několikrát použijeme pravidlo pro
derivaci mocniny a vyjde nám... Toto je na třetí… Bude to
−3 krát (t na druhou) plus… 2 krát 6 je 12,
tohle krát t na prvou, a ještě plus 2. Toto je tedy zrychlení
vyjádřené jako funkce času. My chceme zjistit,
kdy bude zrychlení největší. Při pohledu na tuto
funkci udávající zrychlení vidíme, že je to
kvadratická funkce. Jejím předpisem je
polynom druhého stupně. Vidíme, že u členu nejvyššího
stupně je záporný koeficient, tedy u členu
druhého stupně. Grafem tak bude
parabola otevřená dolů. Nakreslím to
stejnou barvou. Graf bude vypadat
nějak takhle. Zrychlení tedy skutečně nabude
nějakou maximální hodnotu. Jak tuto maximální
hodnotu najdeme? Maximální hodnotu nabudeme,
když hodnota zrychlení… Když bude směrnice
tečny rovna nule. Také bychom mohli ověřit,
že funkce je v tomto bodě konkávní, a to pomocí
druhé derivace. Stačí ukázat, že druhá derivace
je v tomto bodě záporná. Tak to udělejme. Podívejme se na první a druhou derivaci
naší funkce udávající zrychlení. Takže… Změním barvu, protože tahle
jde trochu špatně vidět. První derivace,
tedy rychlost změny zrychlení, bude rovna
−6 krát t plus 12. Teď se zamysleme,
kdy se tohle rovná nule. Když od obou stran odečteme 12,
dostaneme, že −6 krát t se rovná −12. Po vydělení obou stran −6
nám vyjde, že t se rovná 2. Takže pár věcí. Mohli bychom říct, že víme,
že grafem je dolů otevřená parabola, protože máme záporný koeficient
u členu druhého stupně. Dále víme, že směrnice tečny je nula,
pro případ kdy je t rovno 2, takže to bude
bod maxima. Nebo bychom mohli jít dál
a spočítat druhou derivaci. Tak to udělejme,
jen tak pro zábavu. Spočítejme druhou derivaci
naší funkce udávající zrychlení. Bude se to
rovnat −6. Derivace −6 krát t je −6
a derivace konstanty je 0. Druhá derivace
je tudíž vždy záporná, což znamená,
že funkce je všude konkávní. Když nyní použijeme test pomocí
druhé derivace v bodě t rovno 2, tak v bodě t rovno 2 je druhá derivace
funkce udávající zrychlení záporná, z čehož víme, že toto je
hledaná maximální hodnota, přesněji že maximum
nastává pro t rovno 2. Pro kterou hodnotu t tedy
částice dosáhne největšího zrychlení? Pro t rovno 2.