Hlavní obsah
Fyzika - mechanika
Kurz: Fyzika - mechanika > Kapitola 2
Lekce 4: Přímočarý pohyb- Zrychlení vzletu letadla
- Odvození posunutí jako funkce času, zrychlení a počáteční rychlosti
- Grafy posunutí, zrychlení a rychlosti vržených těles
- Výška vrženého tělesa v čase
- Odvození maximální délky vrhu v daném čase
- Rychlost dopadu z dané výšky
- Pohled na g jako na hodnotu tíhového pole Země při jejím povrchu
- Co jsou pohybové rovnice?
- Výběr pohybových rovnic
- Procvičování úloh s konstantním zrychlením
- Pohybové rovnice v jednom rozměru
Co jsou pohybové rovnice?
Zde jsou hlavní rovnice vhodné k analýze situací s konstantním zrychlením.
Co jsou to pohybové rovnice?
Pohybové rovnice jsou sada vzorečků vztahujících se k následujícím pěti kinematickým veličinám:
Známe-li tři z těchto pěti kinematických veličin — — u tělesa, na které působí konstantní zrychlení, můžeme jednu z neznámých proměnných vypočítat pomocí jedné z pohybových rovnic níže.
Pohybové rovnice se často zapisují v podobě následujících čtyř vzorečků.
Protože jsou pohybové rovnice použitelné pouze za předpokladu konstantního zrychlení v daném časovém intervalu, musíme si dávat pozor, abychom je nepoužívali, když se zrychlení mění. Dalším předpokladem je, že všechny veličiny se týkají jednoho směru: vodorovného , svislého , atd.
Co je to volně padající těleso?
Zdálo by se, že omezení pohybových rovnic na časové intervaly s konstantním zrychlením omezí jejich použitelnost. Jedna z nejběžnějších forem pohybu, volný pád, se však odehrává při konstantním zrychlení.
Všechna volně padající tělesa, mezi která patří i tělesa vržená (někdy zvaná projektily), padají bez ohledu na svou hmotnost k povrchu Země s konstantním, dolů směřujícím zrychlením .
Volně padající těleso je urychlováno pouze tíhovým zrychlením. Běžně předpokládáme, že odpor vzduchu lze zanedbat, jakékoli upuštěné či vržené těleso tedy padá volně s dolů směřujícím zrychlením o velikosti .
Když se nad tím zamyslíme, máme vlastně štěstí, i když je to zvláštní. Zvláštní je to v tom, že velký kámen bude padat se stejným zrychlením jako drobný oblázek, a pokud padají ze stejné výšky, dopadnou ve stejný čas.
Máme štěstí, že při řešení pohybových rovnic nemusíme znát hmotnost volně padajícího tělesa, protože všechna mají stejně velké tíhové zrychlení , ať už mají jakoukoli hmotnost — dokud můžeme zanedbat odpor vzduchu.
Uvědom si, že je pouze velikost tíhového zrychlení. Pokud je směr vzhůru vybrán za kladný, tíhové zrychlení musí být u volně padajícího tělesa v pohybových rovnicích záporné .
Upozornění: Opomenutí záporného znaménka je jeden z nejčastějších zdrojů chyb při používání pohybových rovnic.
Jak vybrat a použít pohybovou rovnici?
Pohybovou rovnici vybíráme tak, aby obsahovala obojí — jak neznámou veličinu, kterou chceme vypočítat, tak tři další kinematické veličiny, které už známe. Tak můžeme vypočítat neznámou veličinu, kterou chceme určit, a která bude jedinou neznámou ve vzorci.
Řekněme například, že jsme kopli do penálu na zemi počáteční rychlostí a během časového intervalu se penál posunul o . Můžeme použít pohybovou rovnici , abychom algebraicky vypočítali zrychlení penálu — za předpokladu, že je konstantní — protože známe hodnotu každé další veličiny v rovnici kromě — .
Tip: Všimni si, že v každé pohybové rovnici schází jedna z pěti kinematických veličin — .
Klíčem ke správné volbě rovnice k řešení tvé úlohy je určit, kterou veličinu ti úloha nezadala ani se na ni neptá. Například v úloze výše jsme neměli zadanou veličinu , ani jsme ji neměli zjistit, proto jsme použili rovnici, která vůbec neobsahuje. V pohybové rovnici není obsaženo , takže je v tomto případě nejlepší volbou k výpočtu zrychlení .
Jak odvodit první pohybovou rovnici, ?
Tuto pohybovou rovnici je snad nejsnazší odvodit, protože jde vlastně jen o jiné uspořádání definice zrychlení. Můžeme začít definicí zrychlení,
Nyní nahradíme definicí změny rychlosti .
Nakonec vyjádříme a získáme
Pokud místo použijeme jen , máme první pohybovou rovnici.
Jak odvodit druhou pohybovou rovnici, ?
Hezký způsob, jak odvodit tuto pohybovou rovnici pomocí obrázku, je pomocí grafu rychlosti rovnoměrně zrychlujícího tělesa — jinými slovy stoupající či klesající přímky — a začíná počáteční rychlostí , kterou vidíš na obrázku níže.
Obsah plochy pod libovolnou křivkou grafu závislosti rychlosti na čase odpovídá posunutí tělesa . Obsah plochy pod křivkou tohoto grafu bude posunutí tělesa .
Zmíněnou plochu můžeme snadno rozložit na modrý obdélník a červený trojúhelník, které vidíš na obrázku nahoře.
Výška modrého obdélníku je a šířka , jeho obsah je tedy .
Základna červeného trojúhelníku je a výška je , jeho obsah tedy vychází .
Základna červeného trojúhelníku je
Celkový obsah plochy bude součtem obsahů modrého obdélníku a červeného trojúhelníku.
Pokud roznásobíme závorku činitelem , dostaneme
Sečteme členy obsahující a získáme
Konečně můžeme přepsat pravou stranu a získat druhou pohybovou rovnici.
Tato rovnice je zajímavá, protože když vydělíš obě strany , vyjde ti . To ukazuje, že průměrná rychlost se rovná aritmetickému průměru počáteční a koncové rychlosti . To ovšem platí pouze pro pohyb s konstantním zrychlením, protože jsme tento vzoreček odvodili z grafu rychlosti se stálým sklonem.
Jak odvodit třetí pohybovou rovnici, ?
Existuje několik způsobů, jak odvodit rovnici . Existuje hezké geometrické odvození a trochu méně vzrušující dosazovací odvození. To hezké geometrické si ukážeme jako první.
Mějme těleso, které začne s rychlostí a udržuje si konstantní zrychlení až dosáhne koncové rychlosti , jak je znázorněno v grafu níže.
Jelikož obsah plochy pod grafem závislosti rychlosti na čase odpovídá posunutí , každý člen na pravé straně rovnice představuje jednu z ploch grafu výše.
Člen odpovídá ploše modrého obdélníku, protože .
Člen odpovídá ploše červeného trojúhelníku, protože .
Toť vše. Rovnice musí platit, protože posunutí musí odpovídat obsahu plochy pod křivkou. Předpokládali jsme ale, že graf rychlosti byl stoupající přímka, takže tato pohybová rovnice — stejně jako všechny ostatní — platí pouze za předpokladu konstantního zrychlení.
Zde je alternativní dosazovací odvození. Třetí pohybovou rovnici můžeme získat dosazením první pohybové rovnice, , do druhé pohybové rovnice, .
Začneme-li druhou pohybovou rovnicí
a za dosadíme , získáme
Úpravou pravé strany získáme
Sečtením členů na pravé straně dostaneme
A konečně vynásobením obou stran časem dostaneme třetí pohybovou rovnici.
I zde jsme použili ostatní pohybové rovnice, které předpokládají konstantní zrychlení. Tím pádem i třetí pohybová rovnice platí pouze, je-li zrychlení konstantní.
Jak odvodit čtvrtou pohybovou rovnici, ?
K odvození čtvrté pohybové rovnice si do začátku vezmeme druhou pohybovou rovnici:
Z této rovnice chceme vyloučit čas . K tomu nejprve vyjádříme čas z první pohybové rovnice, a získáme . Dosazením tohoto výrazu za čas do druhé pohybové rovnice získáme
Vynásobení zlomků na pravé straně nám dá
Nyní vyjádřením získáme čtvrtou pohybovou rovnici.
Čím pohybové rovnice lidi nejvíc matou?
Lidé často zapomínají, že pohybové rovnice platí pouze za předpokladu konstantního zrychlení během daného časového intervalu.
Někdy není známá hodnota veličiny zadaná přímo, ale je zašifrovaná v textu. Například „začíná v klidu“ znamená , „upuštěno“ často znamená a „zastaví“ znamená . Velikost tíhového zrychlení pro všechna volně padající tělesa bývá , takže úlohy často tuto hodnotu neobsahují, jen zmiňují volný pád nebo tíhové zrychlení v blízkosti povrchu Země.
Lidé často zapomínají, že všechny kinematické veličiny, kromě , — — mohou být záporné. Chybějící záporné znaménko je častým zdrojem chyb. Je-li směr vzhůru považován za kladný, tíhové zrychlení volně padajícího tělesa musí být záporné: .
Třetí pohybová rovnice, , může ke svému vyřešení vyžadovat výpočet kvadratického vzorce, viz řešený příklad 3 níže.
Lidé zapomínají, že i když za předpokladu konstantního zrychlení mohou časový interval zvolit libovolně, kinematické veličiny, které do rovnice dosazují, musí tomu intervalu odpovídat. Počáteční rychlost musí být rychlostí tělesa v počáteční poloze a na počátku časového intervalu . Stejně tak koncová rychlost musí být rychlostí v koncové poloze a na konci časového intervalu , který zkoumají.
Jak vypadají řešené příklady na pohybové rovnice?
Příklad 1: První pohybová rovnice,
Ze střechy mrakodrapu upustíme nafukovací balonek naplněný limonádou.
Jaké rychlosti dosáhne balonek poté, co padá po dobu ?
Za předpokladu, že směr vzhůru je kladný, známe hodnoty těchto veličin:
V této úloze řešíme pohyb ve svislém směru, takže místo polohové veličiny budeme používat . Na symbolu, který vybereme, nezáleží, budeme-li se jej držet, nicméně většina lidí značí svislý směr .
Jelikož neznáme posunutí ani nemáme určit, použijeme první pohybovou rovnici , ve které schází.
Poznámka: Koncová rychlost je záporná, protože balonek míří směrem dolů.
Příklad 2: Druhá pohybová rovnice,
Levhart uhání rychlostí 6,20 m/s. Když spatří přelud v podobě zmrzlinové dodávky, zrychlí v čase 3,3 s na 23,1 m/s.
Jakou vzdálenost levhart urazil, zatímco zrychloval z 6,20 m/s na 23,1 m/s?
Za předpokladu, že původní směr pohybu je kladný směr, známe hodnoty těchto veličin:
Jelikož neznáme zrychlení , ani ho nemáme vypočítat, použijeme druhou pohybovou rovnici , ve které schází.
Příklad 3: Třetí pohybová rovnice,
Studentka má plné zuby domácích úkolů z fyziky a hodí svou propisku přímo do stropu rychlostí 18,3 m/s.
Za jak dlouho propiska vystoupá do bodu o 12,2 metrů výš, než odkud byla hozena?
Za předpokladu, že směr vzhůru je kladný, známe hodnoty těchto veličin:
Jelikož neznáme koncovou rychlost , ani ji nemáme zjistit, použijeme třetí pohybovou rovnici pro svislý pohyb , ve které schází.
Za běžných okolností bychom rovnici vyřešili algebraicky, ale v tomto případě, jsou-li členy nenulové a člen je neznámá, se tato rovnice stává kvadratickou. Lépe to uvidíme, když dosadíme hodnoty známých veličin.
Abychom rovnici lépe vyřešili, přesuneme vše na jednu stranu rovnice. Odečtením 12,2 m od obou stran získáme
Nyní můžeme z kvadratické rovnice vyřešit čas . Kořeny kvadratické rovnice najdeme použitím kvadratického vzorce . Pro naši kvadratickou rovnici jsou , , a nakonec .
Dosazením do kvadratického vzorce získáme
Protože je ve vzorci kladné a záporné znaménko, vyjdou nám pro čas dvě odpovědi: jedna pro znaménko a druhá pro znaménko . Vyřešením kvadratické rovnice získáme tyto dva časy:
Toto jsou dvě možná řešení, protože čas, kdy byla propiska ve výšce 12,2 metrů, nastal dvakrát. Menší čas je ten, po který propisce trvalo do výšky 12,2 m vystoupat. Větší čas počítá s tím, že stoupala vzhůru, prošla 12,2 metry, dosáhla své maximální výšky a pak spadla znovu do výšky 12,2 m.
Abychom tedy odpověděli na otázku „za jak dlouho propiska vystoupá do bodu o 12,2 metrů výš, než odkud byla hozena?“ zvolíme menší čas .
Příklad 4: Čtvrtá pohybová rovnice,
Motorkář jede rychlostí 23,4 m/s. Když před sebou zahlédne křižovatku, zpomalí na dráze 50,2 m konstantním zrychlením o velikosti . Předpokládej, že motorka se po celou dobu pohybuje dopředu.
Jaká je rychlost motorky poté, co motorkář na dráze 50,2 m zpomaloval?
Za předpokladu, že původní směr pohybu je kladný směr, známe hodnoty těchto veličin:
Protože neznáme čas , ani jej nechceme zjistit, použijeme čtvrtou pohybovou rovnici , ve které schází.
Všimni si, že z odmocniny můžeme dostat kladnou i zápornou odpověď. Protože náš motorkář pojede pořád stejným směrem, který byl kladný, zvolíme kladnou odpověď .
Dosadíme hodnoty a získáme
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.