Hlavní obsah

Co jsou pohybové rovnice?

Zde jsou hlavní rovnice vhodné k analýze situací s konstantním zrychlením.

Co jsou to pohybové rovnice?

Pohybové rovnice jsou sada vzorečků vztahujících se k následujícím pěti kinematickým veličinám:

Δ x Posunutí

t Časový interval

v_{0} Počáteční rychlost

v Koncová rychlost

a Konstantní zrychlení

[Proč se časový interval najednou píše t?]

Známe-li tři z těchto pěti kinematických veličin —

Δ x, t, v_{0}, v, a

— u tělesa, na které působí konstantní zrychlení, můžeme jednu z neznámých proměnných vypočítat pomocí jedné z pohybových rovnic níže.

Pohybové rovnice se často zapisují v podobě následujících čtyř vzorečků.

[Odkud se tyto vzorečky vzaly?]

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Protože jsou pohybové rovnice použitelné pouze za předpokladu konstantního zrychlení v daném časovém intervalu, musíme si dávat pozor, abychom je nepoužívali, když se zrychlení mění. Dalším předpokladem je, že všechny veličiny se týkají jednoho směru: vodorovného

x

, svislého

y

, atd.

[Počkat, co?]

Co je to volně padající těleso?

Zdálo by se, že omezení pohybových rovnic na časové intervaly s konstantním zrychlením omezí jejich použitelnost. Jedna z nejběžnějších forem pohybu, volný pád, se však odehrává při konstantním zrychlení.

Všechna volně padající tělesa, mezi která patří i tělesa vržená (někdy zvaná projektily), padají bez ohledu na svou hmotnost k povrchu Země s konstantním, dolů směřujícím zrychlením

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} (Velikost tíhového zrychlení v blízkosti povrchu Země.)

Volně padající těleso je urychlováno pouze tíhovým zrychlením. Běžně předpokládáme, že odpor vzduchu lze zanedbat, jakékoli upuštěné či vržené těleso tedy padá volně s dolů směřujícím zrychlením o velikosti

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Když se nad tím zamyslíme, máme vlastně štěstí, i když je to zvláštní. Zvláštní je to v tom, že velký kámen bude padat se stejným zrychlením jako drobný oblázek, a pokud padají ze stejné výšky, dopadnou ve stejný čas.

[Proč tomu tak je?]

Máme štěstí, že při řešení pohybových rovnic nemusíme znát hmotnost volně padajícího tělesa, protože všechna mají stejně velké tíhové zrychlení

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, ať už mají jakoukoli hmotnost — dokud můžeme zanedbat odpor vzduchu.

Uvědom si, že

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

je pouze velikost tíhového zrychlení. Pokud je směr vzhůru vybrán za kladný, tíhové zrychlení musí být u volně padajícího tělesa v pohybových rovnicích záporné

a_{y} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Upozornění: Opomenutí záporného znaménka je jeden z nejčastějších zdrojů chyb při používání pohybových rovnic.

Jak vybrat a použít pohybovou rovnici?

Pohybovou rovnici vybíráme tak, aby obsahovala obojí — jak neznámou veličinu, kterou chceme vypočítat, tak tři další kinematické veličiny, které už známe. Tak můžeme vypočítat neznámou veličinu, kterou chceme určit, a která bude jedinou neznámou ve vzorci.

Řekněme například, že jsme kopli do penálu na zemi počáteční rychlostí

v_{0} = 5 m/s

a během časového intervalu

t = 3 s

se penál posunul o

Δ x = 8 m

. Můžeme použít pohybovou rovnici

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, abychom algebraicky vypočítali zrychlení

a

penálu — za předpokladu, že je konstantní — protože známe hodnotu každé další veličiny v rovnici kromě

a

—

Δ x, v_{0}, t

Tip: Všimni si, že v každé pohybové rovnici schází jedna z pěti kinematických veličin —

Δ x, t, v_{0}, v, a

1. v = v_{0} + a t (V této rovnici schází Δ x .)

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (V této rovnici schází a .)

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (V této rovnici schází v .)

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (V této rovnici schází t .)

Klíčem ke správné volbě rovnice k řešení tvé úlohy je určit, kterou veličinu ti úloha nezadala ani se na ni neptá. Například v úloze výše jsme neměli zadanou veličinu

v

, ani jsme ji neměli zjistit, proto jsme použili rovnici, která

v

vůbec neobsahuje. V pohybové rovnici

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

není obsaženo

v

, takže je v tomto případě nejlepší volbou k výpočtu zrychlení

a

[Neměla by existovat pátá kinematická rovnice, kde schází počáteční rychlost?]

Jak odvodit první pohybovou rovnici, $v = v_{0} + a t$ ‍?

Tuto pohybovou rovnici je snad nejsnazší odvodit, protože jde vlastně jen o jiné uspořádání definice zrychlení. Můžeme začít definicí zrychlení,

a = \frac{Δ v}{Δ t}

[Není toto průměrné zrychlení?]

Nyní nahradíme

Δ v

definicí změny rychlosti

v - v_{0}

a = \frac{v - v_{0}}{Δ t}

Nakonec vyjádříme

v

a získáme

v = v_{0} + a Δ t

Pokud místo

Δ t

použijeme jen

t

, máme první pohybovou rovnici.

v = v_{0} + a t

Jak odvodit druhou pohybovou rovnici, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Hezký způsob, jak odvodit tuto pohybovou rovnici pomocí obrázku, je pomocí grafu rychlosti rovnoměrně zrychlujícího tělesa — jinými slovy stoupající či klesající přímky — a začíná počáteční rychlostí

v_{0}

, kterou vidíš na obrázku níže.

Obsah plochy pod libovolnou křivkou grafu závislosti rychlosti na čase odpovídá posunutí tělesa $Δ x$ ‍. Obsah plochy pod křivkou tohoto grafu bude posunutí tělesa

Δ x

Δ x = celkový obsah plochy

Zmíněnou plochu můžeme snadno rozložit na modrý obdélník a červený trojúhelník, které vidíš na obrázku nahoře.

Výška modrého obdélníku je

v_{0}

a šířka

t

, jeho obsah je tedy

v_{0} t

.
Základna červeného trojúhelníku je

t

a výška je

v - v_{0}

, jeho obsah tedy vychází

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

Celkový obsah plochy bude součtem obsahů modrého obdélníku a červeného trojúhelníku.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

Pokud roznásobíme závorku činitelem

\frac{1}{2} t

, dostaneme

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

Sečteme členy obsahující

v_{0}

a získáme

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

Konečně můžeme přepsat pravou stranu a získat druhou pohybovou rovnici.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Tato rovnice je zajímavá, protože když vydělíš obě strany

t

, vyjde ti

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

. To ukazuje, že průměrná rychlost

\frac{Δ x}{t}

se rovná aritmetickému průměru počáteční a koncové rychlosti

\frac{v + v_{0}}{2}

. To ovšem platí pouze pro pohyb s konstantním zrychlením, protože jsme tento vzoreček odvodili z grafu rychlosti se stálým sklonem.

Jak odvodit třetí pohybovou rovnici, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Existuje několik způsobů, jak odvodit rovnici

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

. Existuje hezké geometrické odvození a trochu méně vzrušující dosazovací odvození. To hezké geometrické si ukážeme jako první.

Mějme těleso, které začne s rychlostí

v_{0}

a udržuje si konstantní zrychlení až dosáhne koncové rychlosti

v

, jak je znázorněno v grafu níže.

Jelikož obsah plochy pod grafem závislosti rychlosti na čase odpovídá posunutí

Δ x

, každý člen na pravé straně rovnice

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

představuje jednu z ploch grafu výše.

Člen

v_{0} t

odpovídá ploše modrého obdélníku, protože

A_{o b d é l n í k} = v ý š k a k r á t š í ř k a

Člen

\frac{1}{2} a t^{2}

odpovídá ploše červeného trojúhelníku, protože

A_{t r o j ú h e l n í k} = \frac{1}{2} z á k l a d n a k r á t v ý š k a

[Moment, jak?]

Toť vše. Rovnice

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

musí platit, protože posunutí musí odpovídat obsahu plochy pod křivkou. Předpokládali jsme ale, že graf rychlosti byl stoupající přímka, takže tato pohybová rovnice — stejně jako všechny ostatní — platí pouze za předpokladu konstantního zrychlení.

Zde je alternativní dosazovací odvození. Třetí pohybovou rovnici můžeme získat dosazením první pohybové rovnice,

v = v_{0} + a t

, do druhé pohybové rovnice,

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

Začneme-li druhou pohybovou rovnicí

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

a za

v

dosadíme

v = v_{0} + a t

, získáme

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

Úpravou pravé strany získáme

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

Sečtením členů

\frac{v_{0}}{2}

na pravé straně dostaneme

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

A konečně vynásobením obou stran časem

t

dostaneme třetí pohybovou rovnici.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

I zde jsme použili ostatní pohybové rovnice, které předpokládají konstantní zrychlení. Tím pádem i třetí pohybová rovnice platí pouze, je-li zrychlení konstantní.

Jak odvodit čtvrtou pohybovou rovnici, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

K odvození čtvrté pohybové rovnice si do začátku vezmeme druhou pohybovou rovnici:

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Z této rovnice chceme vyloučit čas

t

. K tomu nejprve vyjádříme čas z první pohybové rovnice,

v = v_{0} + a t

a získáme

t = \frac{v - v_{0}}{a}

. Dosazením tohoto výrazu za čas

t

do druhé pohybové rovnice získáme

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

Vynásobení zlomků na pravé straně nám dá

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

Nyní vyjádřením

v^{2}

získáme čtvrtou pohybovou rovnici.

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Čím pohybové rovnice lidi nejvíc matou?

Lidé často zapomínají, že pohybové rovnice platí pouze za předpokladu konstantního zrychlení během daného časového intervalu.

Někdy není známá hodnota veličiny zadaná přímo, ale je zašifrovaná v textu. Například „začíná v klidu“ znamená

v_{0} = 0

, „upuštěno“ často znamená

v_{0} = 0

a „zastaví“ znamená

v = 0

. Velikost tíhového zrychlení pro všechna volně padající tělesa bývá

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, takže úlohy často tuto hodnotu neobsahují, jen zmiňují volný pád nebo tíhové zrychlení v blízkosti povrchu Země.

Lidé často zapomínají, že všechny kinematické veličiny, kromě

t

, —

Δ x, v_{o}, v, a

— mohou být záporné. Chybějící záporné znaménko je častým zdrojem chyb. Je-li směr vzhůru považován za kladný, tíhové zrychlení volně padajícího tělesa musí být záporné:

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Třetí pohybová rovnice,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, může ke svému vyřešení vyžadovat výpočet kvadratického vzorce, viz řešený příklad 3 níže.

Lidé zapomínají, že i když za předpokladu konstantního zrychlení mohou časový interval zvolit libovolně, kinematické veličiny, které do rovnice dosazují, musí tomu intervalu odpovídat. Počáteční rychlost

v_{0}

musí být rychlostí tělesa v počáteční poloze a na počátku časového intervalu

t

. Stejně tak koncová rychlost

v

musí být rychlostí v koncové poloze a na konci časového intervalu

t

, který zkoumají.

Jak vypadají řešené příklady na pohybové rovnice?

Příklad 1: První pohybová rovnice, $v = v_{0} + a t$ ‍

Ze střechy mrakodrapu upustíme nafukovací balonek naplněný limonádou.

Jaké rychlosti dosáhne balonek poté, co padá po dobu $t = 2, 35 s$ ‍?

Za předpokladu, že směr vzhůru je kladný, známe hodnoty těchto veličin:

v_{0} = 0

(Protože byl balonek upuštěn, začíná v klidu.)

t = 2, 35 s

(Toto je časový interval, na jehož konci zjišťujeme rychlost.)

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(To vyplývá z kontextu, že balonek padá volným pádem.)

[Není koncová rychlost nulová, protože dopadne na zem?]

V této úloze řešíme pohyb ve svislém směru, takže místo polohové veličiny

x

budeme používat

y

. Na symbolu, který vybereme, nezáleží, budeme-li se jej držet, nicméně většina lidí značí svislý směr

y

Jelikož neznáme posunutí

Δ y

ani nemáme

Δ y

určit, použijeme první pohybovou rovnici

v = v_{0} + a t

, ve které

Δ y

schází.

v = v_{0} + a t (Použijeme první pohybovou rovnici, protože v ní schází Δ y .)

v = 0 m/s + (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (2, 35 s) (Dosadíme známé hodnoty.)

v = - 23, 1 m/s (Vyčíslíme a oslavíme!)

Poznámka: Koncová rychlost je záporná, protože balonek míří směrem dolů.

[Nemůže být směr dolů kladný?]

Příklad 2: Druhá pohybová rovnice, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Levhart uhání rychlostí 6,20 m/s. Když spatří přelud v podobě zmrzlinové dodávky, zrychlí v čase 3,3 s na 23,1 m/s.

Jakou vzdálenost levhart urazil, zatímco zrychloval z 6,20 m/s na 23,1 m/s?

Za předpokladu, že původní směr pohybu je kladný směr, známe hodnoty těchto veličin:

v_{0} = 6, 20 m/s

(Počáteční rychlost levharta.)

v = 23, 1 m/s

(Koncová rychlost levharta.)

t = 3, 30 s

(Čas, po který levhart zrychloval.)

Jelikož neznáme zrychlení

a

, ani ho nemáme vypočítat, použijeme druhou pohybovou rovnici

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

, ve které

a

schází.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Použijeme druhou kinematickou rovnici, ve které schází a .)

Δ x = (\frac{23, 1 m/s + 6, 20 m/s}{2}) (3, 30 s) (Dosadíme známé hodnoty.)

Δ x = 48, 3 m (Vyčíslíme a oslavíme!)

Příklad 3: Třetí pohybová rovnice, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Studentka má plné zuby domácích úkolů z fyziky a hodí svou propisku přímo do stropu rychlostí 18,3 m/s.

Za jak dlouho propiska vystoupá do bodu o 12,2 metrů výš, než odkud byla hozena?

Za předpokladu, že směr vzhůru je kladný, známe hodnoty těchto veličin:

v_{0} = 18, 3 m/s

(Počáteční rychlost propisky směrem vzhůru.)

Δ y = 12, 2 m

(Chceme vědět, v jakých časech propiska dosáhne tohoto posunutí.)

a = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(Propiska je volně padající těleso.)

Jelikož neznáme koncovou rychlost

v

, ani ji nemáme zjistit, použijeme třetí pohybovou rovnici pro svislý pohyb

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

, ve které

v

schází.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (Začneme třetí pohybovou rovnicí.)

Za běžných okolností bychom rovnici vyřešili algebraicky, ale v tomto případě, jsou-li členy nenulové a člen

t

je neznámá, se tato rovnice stává kvadratickou. Lépe to uvidíme, když dosadíme hodnoty známých veličin.

12, 2 m = (18, 3 m/s) t + \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} (Dosadíme známé hodnoty.)

Abychom rovnici lépe vyřešili, přesuneme vše na jednu stranu rovnice. Odečtením 12,2 m od obou stran získáme

0 = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} + (18, 3 m/s) t - 12, 2 m (Uspořádáno do podoby kvadratické rovnice.)

Nyní můžeme z kvadratické rovnice vyřešit čas

t

. Kořeny kvadratické rovnice

a t^{2} + b t + c = 0

najdeme použitím kvadratického vzorce

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

. Pro naši kvadratickou rovnici jsou

a = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})

b = 18, 3 m/s

, a nakonec

c = - 12, 2 m

Dosazením do kvadratického vzorce získáme

t = \frac{- 18, 3 m/s \pm \sqrt{(18, 3 m/s)^{2} - 4 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (- 12, 2 m)]}}{2 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})]}

Protože je ve vzorci kladné a záporné znaménko, vyjdou nám pro čas

t

dvě odpovědi: jedna pro znaménko

+

a druhá pro znaménko

-

. Vyřešením kvadratické rovnice získáme tyto dva časy:

t = 0,869 s

a také

t = 2, 86 s

Toto jsou dvě možná řešení, protože čas, kdy byla propiska ve výšce 12,2 metrů, nastal dvakrát. Menší čas je ten, po který propisce trvalo do výšky 12,2 m vystoupat. Větší čas počítá s tím, že stoupala vzhůru, prošla 12,2 metry, dosáhla své maximální výšky a pak spadla znovu do výšky 12,2 m.

Abychom tedy odpověděli na otázku „za jak dlouho propiska vystoupá do bodu o 12,2 metrů výš, než odkud byla hozena?“ zvolíme menší čas

t = 0,869 s

[Co když mi z kvadratického vzorce vyjde záporná hodnota?]

Příklad 4: Čtvrtá pohybová rovnice, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Motorkář jede rychlostí 23,4 m/s. Když před sebou zahlédne křižovatku, zpomalí na dráze 50,2 m konstantním zrychlením o velikosti

3, 20 \frac{m}{s^{2}}

. Předpokládej, že motorka se po celou dobu pohybuje dopředu.

Jaká je rychlost motorky poté, co motorkář na dráze 50,2 m zpomaloval?

Za předpokladu, že původní směr pohybu je kladný směr, známe hodnoty těchto veličin:

v_{0} = 23, 4 m/s

(Počáteční rychlost motorky směrem dopředu.)

a = - 3, 20 \frac{m}{s^{2}}

(Zrychlení je záporné, protože motorka zpomaluje a směr dopředu je kladný.)

Δ x = 50, 2 m

(Chceme znát rychlost motorky poté, co urazí tuto dráhu.)

Protože neznáme čas

t

, ani jej nechceme zjistit, použijeme čtvrtou pohybovou rovnici

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

, ve které

t

schází.

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (Začneme čtvrtou pohybovou rovnicí.)

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (Algebraicky vyjádříme rychlost.)

Všimni si, že z odmocniny můžeme dostat kladnou i zápornou odpověď. Protože náš motorkář pojede pořád stejným směrem, který byl kladný, zvolíme kladnou odpověď

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

Dosadíme hodnoty a získáme

v_{x} = \sqrt{(23, 4 m/s)^{2} + 2 (- 3, 20 \frac{m}{s^{2}}) (50, 2 m)} (Dosadíme známé hodnoty.)

v_{x} = 15, 0 m/s (Vyčíslíme a oslavíme!)

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Fyzika - mechanika

Kurz: Fyzika - mechanika > Kapitola 2

Co jsou pohybové rovnice?

Co jsou to pohybové rovnice?

Co je to volně padající těleso?

Jak vybrat a použít pohybovou rovnici?

Jak odvodit první pohybovou rovnici, $v = v_{0} + a t$ ‍?

Jak odvodit druhou pohybovou rovnici, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Jak odvodit třetí pohybovou rovnici, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Jak odvodit čtvrtou pohybovou rovnici, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Čím pohybové rovnice lidi nejvíc matou?

Jak vypadají řešené příklady na pohybové rovnice?

Příklad 1: První pohybová rovnice, $v = v_{0} + a t$ ‍

Příklad 2: Druhá pohybová rovnice, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Příklad 3: Třetí pohybová rovnice, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Příklad 4: Čtvrtá pohybová rovnice, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Chceš se zapojit do diskuze?

Fyzika - mechanika

Kurz: Fyzika - mechanika > Kapitola 2

Co jsou to pohybové rovnice?

Co je to volně padající těleso?

Jak vybrat a použít pohybovou rovnici?

Jak odvodit první pohybovou rovnici, v=v0+at‍ ?

Jak odvodit druhou pohybovou rovnici, Δx=(v+v02)t‍ ?

Jak odvodit třetí pohybovou rovnici, Δx=v0t+12at2‍ ?

Jak odvodit čtvrtou pohybovou rovnici, v2=v02+2aΔx‍ ?

Čím pohybové rovnice lidi nejvíc matou?

Jak vypadají řešené příklady na pohybové rovnice?

Příklad 1: První pohybová rovnice, v=v0+at‍

Příklad 2: Druhá pohybová rovnice, Δx=(v+v02)t‍

Příklad 3: Třetí pohybová rovnice, Δx=v0t+12at2‍

Příklad 4: Čtvrtá pohybová rovnice, v2=v02+2aΔx‍

Chceš se zapojit do diskuze?

Jak odvodit první pohybovou rovnici, $v = v_{0} + a t$ ‍?

Jak odvodit druhou pohybovou rovnici, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Jak odvodit třetí pohybovou rovnici, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Jak odvodit čtvrtou pohybovou rovnici, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Příklad 1: První pohybová rovnice, $v = v_{0} + a t$ ‍

Příklad 2: Druhá pohybová rovnice, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Příklad 3: Třetí pohybová rovnice, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Příklad 4: Čtvrtá pohybová rovnice, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍