If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Co jsou pohybové rovnice?

Zde jsou hlavní rovnice vhodné k analýze situací s konstantním zrychlením.

Co jsou to pohybové rovnice?

Pohybové rovnice jsou sada vzorečků vztahujících se k následujícím pěti kinematickým veličinám:
delta, x, start text, P, o, s, u, n, u, t, ı, with, \', on top, end text
t, start text, C, with, \v, on top, a, s, o, v, y, with, \', on top, space, i, n, t, e, r, v, a, l, end text, space
v, start subscript, 0, end subscript, space, space, start text, P, o, c, with, \v, on top, a, with, \', on top, t, e, c, with, \v, on top, n, ı, with, \', on top, space, r, y, c, h, l, o, s, t, end text, space
v, space, space, space, start text, K, o, n, c, o, v, a, with, \', on top, space, r, y, c, h, l, o, s, t, end text, space
a, space, space, start text, space, K, o, n, s, t, a, n, t, n, ı, with, \', on top, space, z, r, y, c, h, l, e, n, ı, with, \', on top, end text, space
Známe-li tři z těchto pěti kinematických veličin — delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a — u tělesa, na které působí konstantní zrychlení, můžeme jednu z neznámých proměnných vypočítat pomocí jedné z pohybových rovnic níže.
Pohybové rovnice se často zapisují v podobě následujících čtyř vzorečků.
1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t
2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t
3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared
4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x
Protože jsou pohybové rovnice použitelné pouze za předpokladu konstantního zrychlení v daném časovém intervalu, musíme si dávat pozor, abychom je nepoužívali, když se zrychlení mění. Dalším předpokladem je, že všechny veličiny se týkají jednoho směru: vodorovného x, svislého y, atd.

Co je to volně padající těleso?

Zdálo by se, že omezení pohybových rovnic na časové intervaly s konstantním zrychlením omezí jejich použitelnost. Jedna z nejběžnějších forem pohybu, volný pád, se však odehrává při konstantním zrychlení.
Všechna volně padající tělesa, mezi která patří i tělesa vržená (někdy zvaná projektily), padají bez ohledu na svou hmotnost k povrchu Země s konstantním, dolů směřujícím zrychlením g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.
g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, V, e, l, i, k, o, s, t, space, t, ı, with, \', on top, h, o, v, e, with, \', on top, h, o, space, z, r, y, c, h, l, e, n, ı, with, \', on top, space, v, space, b, l, ı, with, \', on top, z, k, o, s, t, i, space, p, o, v, r, c, h, u, space, Z, e, m, e, with, \v, on top, point, right parenthesis, end text
Volně padající těleso je urychlováno pouze tíhovým zrychlením. Běžně předpokládáme, že odpor vzduchu lze zanedbat, jakékoli upuštěné či vržené těleso tedy padá volně s dolů směřujícím zrychlením o velikosti g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.
Když se nad tím zamyslíme, máme vlastně štěstí, i když je to zvláštní. Zvláštní je to v tom, že velký kámen bude padat se stejným zrychlením jako drobný oblázek, a pokud padají ze stejné výšky, dopadnou ve stejný čas.
Máme štěstí, že při řešení pohybových rovnic nemusíme znát hmotnost volně padajícího tělesa, protože všechna mají stejně velké tíhové zrychlení g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, ať už mají jakoukoli hmotnost — dokud můžeme zanedbat odpor vzduchu.
Uvědom si, že g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction je pouze velikost tíhového zrychlení. Pokud je směr vzhůru vybrán za kladný, tíhové zrychlení musí být u volně padajícího tělesa v pohybových rovnicích záporné a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.
Upozornění: Opomenutí záporného znaménka je jeden z nejčastějších zdrojů chyb při používání pohybových rovnic.

Jak vybrat a použít pohybovou rovnici?

Pohybovou rovnici vybíráme tak, aby obsahovala obojí — jak neznámou veličinu, kterou chceme vypočítat, tak tři další kinematické veličiny, které už známe. Tak můžeme vypočítat neznámou veličinu, kterou chceme určit, a která bude jedinou neznámou ve vzorci.
Řekněme například, že jsme kopli do penálu na zemi počáteční rychlostí v, start subscript, 0, end subscript, equals, 5, start text, space, m, slash, s, end text a během časového intervalu t, equals, 3, start text, space, s, end text se penál posunul o delta, x, equals, 8, start text, space, m, end text. Můžeme použít pohybovou rovnici delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, abychom algebraicky vypočítali zrychlení a penálu — za předpokladu, že je konstantní — protože známe hodnotu každé další veličiny v rovnici kromě adelta, x, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, t.
Tip: Všimni si, že v každé pohybové rovnici schází jedna z pěti kinematických veličin — delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a.
1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, V, space, t, e, with, \', on top, t, o, space, r, o, v, n, i, c, i, space, s, c, h, a, with, \', on top, z, ı, with, \', on top, space, delta, x, point, right parenthesis, end text
2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, V, space, t, e, with, \', on top, t, o, space, r, o, v, n, i, c, i, space, s, c, h, a, with, \', on top, z, ı, with, \', on top, space, a, point, right parenthesis, end text
3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, start text, left parenthesis, V, space, t, e, with, \', on top, t, o, space, r, o, v, n, i, c, i, space, s, c, h, a, with, \', on top, z, ı, with, \', on top, space, v, point, right parenthesis, end text
4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, start text, left parenthesis, V, space, t, e, with, \', on top, t, o, space, r, o, v, n, i, c, i, space, s, c, h, a, with, \', on top, z, ı, with, \', on top, space, t, point, right parenthesis, end text
Klíčem ke správné volbě rovnice k řešení tvé úlohy je určit, kterou veličinu ti úloha nezadala ani se na ni neptá. Například v úloze výše jsme neměli zadanou veličinu v, ani jsme ji neměli zjistit, proto jsme použili rovnici, která v vůbec neobsahuje. V pohybové rovnici delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared není obsaženo v, takže je v tomto případě nejlepší volbou k výpočtu zrychlení a.

Jak odvodit první pohybovou rovnici, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t?

Tuto pohybovou rovnici je snad nejsnazší odvodit, protože jde vlastně jen o jiné uspořádání definice zrychlení. Můžeme začít definicí zrychlení,
a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction \quad
Nyní nahradíme delta, v definicí změny rychlosti v, minus, v, start subscript, 0, end subscript.
a, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, delta, t, end fraction
Nakonec vyjádříme v a získáme
v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, delta, t
Pokud místo delta, t použijeme jen t, máme první pohybovou rovnici.
v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Jak odvodit druhou pohybovou rovnici, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Hezký způsob, jak odvodit tuto pohybovou rovnici pomocí obrázku, je pomocí grafu rychlosti rovnoměrně zrychlujícího tělesa — jinými slovy stoupající či klesající přímky — a začíná počáteční rychlostí v, start subscript, 0, end subscript, kterou vidíš na obrázku níže.
Obsah plochy pod libovolnou křivkou grafu závislosti rychlosti na čase odpovídá posunutí tělesa delta, x. Obsah plochy pod křivkou tohoto grafu bude posunutí tělesa delta, x.
delta, x, equals, start text, space, c, e, l, k, o, v, y, with, \', on top, space, o, b, s, a, h, space, p, l, o, c, h, y, end text
Zmíněnou plochu můžeme snadno rozložit na modrý obdélník a červený trojúhelník, které vidíš na obrázku nahoře.
Výška modrého obdélníku je v, start subscript, 0, end subscript a šířka t, jeho obsah je tedy v, start subscript, 0, end subscript, t.
Základna červeného trojúhelníku je t a výška je v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, jeho obsah tedy vychází start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Celkový obsah plochy bude součtem obsahů modrého obdélníku a červeného trojúhelníku.
delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Pokud roznásobíme závorku činitelem start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, dostaneme
delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t
Sečteme členy obsahující v, start subscript, 0, end subscript a získáme
delta, x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t
Konečně můžeme přepsat pravou stranu a získat druhou pohybovou rovnici.
delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t
Tato rovnice je zajímavá, protože když vydělíš obě strany t, vyjde ti start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. To ukazuje, že průměrná rychlost start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction se rovná aritmetickému průměru počáteční a koncové rychlosti start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction. To ovšem platí pouze pro pohyb s konstantním zrychlením, protože jsme tento vzoreček odvodili z grafu rychlosti se stálým sklonem.

Jak odvodit třetí pohybovou rovnici, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Existuje několik způsobů, jak odvodit rovnici delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared. Existuje hezké geometrické odvození a trochu méně vzrušující dosazovací odvození. To hezké geometrické si ukážeme jako první.
Mějme těleso, které začne s rychlostí v, start subscript, 0, end subscript a udržuje si konstantní zrychlení až dosáhne koncové rychlosti v, jak je znázorněno v grafu níže.
Jelikož obsah plochy pod grafem závislosti rychlosti na čase odpovídá posunutí delta, x, každý člen na pravé straně rovnice delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared představuje jednu z ploch grafu výše.
Člen v, start subscript, 0, end subscript, t odpovídá ploše modrého obdélníku, protože A, start subscript, o, b, d, e, with, acute, on top, l, n, ı, with, acute, on top, k, end subscript, equals, v, y, with, acute, on top, s, with, \check, on top, k, a, space, k, r, a, with, acute, on top, t, space, s, with, \check, on top, ı, with, acute, on top, r, with, \check, on top, k, a.
Člen start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared odpovídá ploše červeného trojúhelníku, protože A, start subscript, t, r, o, j, u, with, acute, on top, h, e, l, n, ı, with, acute, on top, k, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, z, a, with, acute, on top, k, l, a, d, n, a, space, k, r, a, with, acute, on top, t, space, v, y, with, acute, on top, s, with, \check, on top, k, a.
Toť vše. Rovnice delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared musí platit, protože posunutí musí odpovídat obsahu plochy pod křivkou. Předpokládali jsme ale, že graf rychlosti byl stoupající přímka, takže tato pohybová rovnice — stejně jako všechny ostatní — platí pouze za předpokladu konstantního zrychlení.

Zde je alternativní dosazovací odvození. Třetí pohybovou rovnici můžeme získat dosazením první pohybové rovnice, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, do druhé pohybové rovnice, start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction.
Začneme-li druhou pohybovou rovnicí
start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction
a za v dosadíme v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, získáme
start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction
Úpravou pravé strany získáme
start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction
Sečtením členů start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction na pravé straně dostaneme
start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction
A konečně vynásobením obou stran časem t dostaneme třetí pohybovou rovnici.
delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared
I zde jsme použili ostatní pohybové rovnice, které předpokládají konstantní zrychlení. Tím pádem i třetí pohybová rovnice platí pouze, je-li zrychlení konstantní.

Jak odvodit čtvrtou pohybovou rovnici, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?

K odvození čtvrté pohybové rovnice si do začátku vezmeme druhou pohybovou rovnici:
delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t
Z této rovnice chceme vyloučit čas t. K tomu nejprve vyjádříme čas z první pohybové rovnice, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t a získáme t, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction. Dosazením tohoto výrazu za čas t do druhé pohybové rovnice získáme
delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Vynásobení zlomků na pravé straně nám dá
delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, squared, minus, v, start subscript, 0, end subscript, squared, divided by, 2, a, end fraction, right parenthesis
Nyní vyjádřením v, squared získáme čtvrtou pohybovou rovnici.
v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Čím pohybové rovnice lidi nejvíc matou?

Lidé často zapomínají, že pohybové rovnice platí pouze za předpokladu konstantního zrychlení během daného časového intervalu.
Někdy není známá hodnota veličiny zadaná přímo, ale je zašifrovaná v textu. Například „začíná v klidu“ znamená v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, „upuštěno“ často znamená v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 a „zastaví“ znamená v, equals, 0. Velikost tíhového zrychlení pro všechna volně padající tělesa bývá g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, takže úlohy často tuto hodnotu neobsahují, jen zmiňují volný pád nebo tíhové zrychlení v blízkosti povrchu Země.
Lidé často zapomínají, že všechny kinematické veličiny, kromě t, — delta, x, comma, v, start subscript, o, end subscript, comma, v, comma, a — mohou být záporné. Chybějící záporné znaménko je častým zdrojem chyb. Je-li směr vzhůru považován za kladný, tíhové zrychlení volně padajícího tělesa musí být záporné: a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.
Třetí pohybová rovnice, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, může ke svému vyřešení vyžadovat výpočet kvadratického vzorce, viz řešený příklad 3 níže.
Lidé zapomínají, že i když za předpokladu konstantního zrychlení mohou časový interval zvolit libovolně, kinematické veličiny, které do rovnice dosazují, musí tomu intervalu odpovídat. Počáteční rychlost v, start subscript, 0, end subscript musí být rychlostí tělesa v počáteční poloze a na počátku časového intervalu t. Stejně tak koncová rychlost v musí být rychlostí v koncové poloze a na konci časového intervalu t, který zkoumají.

Jak vypadají řešené příklady na pohybové rovnice?

Příklad 1: První pohybová rovnice, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Ze střechy mrakodrapu upustíme nafukovací balonek naplněný limonádou.
Jaké rychlosti dosáhne balonek poté, co padá po dobu t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text?
Za předpokladu, že směr vzhůru je kladný, známe hodnoty těchto veličin:
v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 (Protože byl balonek upuštěn, začíná v klidu.)
t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text (Toto je časový interval, na jehož konci zjišťujeme rychlost.)
a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction(To vyplývá z kontextu, že balonek padá volným pádem.)
V této úloze řešíme pohyb ve svislém směru, takže místo polohové veličiny x budeme používat y. Na symbolu, který vybereme, nezáleží, budeme-li se jej držet, nicméně většina lidí značí svislý směr y.
Jelikož neznáme posunutí delta, y ani nemáme delta, y určit, použijeme první pohybovou rovnici v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, ve které delta, y schází.
v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, P, o, u, z, with, \v, on top, i, j, e, m, e, space, p, r, v, n, ı, with, \', on top, space, p, o, h, y, b, o, v, o, u, space, r, o, v, n, i, c, i, comma, space, p, r, o, t, o, z, with, \v, on top, e, space, v, space, n, ı, with, \', on top, space, s, c, h, a, with, \', on top, z, ı, with, \', on top, space, delta, y, point, right parenthesis, end text
v, equals, 0, start text, space, m, slash, s, end text, plus, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 35, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, D, o, s, a, d, ı, with, \', on top, m, e, space, z, n, a, with, \', on top, m, e, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, y, point, right parenthesis, end text
v, equals, minus, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, V, y, c, with, \v, on top, ı, with, \', on top, s, l, ı, with, \', on top, m, e, space, a, space, o, s, l, a, v, ı, with, \', on top, m, e, !, right parenthesis, end text
Poznámka: Koncová rychlost je záporná, protože balonek míří směrem dolů.

Příklad 2: Druhá pohybová rovnice, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Levhart uhání rychlostí 6,20 m/s. Když spatří přelud v podobě zmrzlinové dodávky, zrychlí v čase 3,3 s na 23,1 m/s.
Jakou vzdálenost levhart urazil, zatímco zrychloval z 6,20 m/s na 23,1 m/s?
Za předpokladu, že původní směr pohybu je kladný směr, známe hodnoty těchto veličin:
v, start subscript, 0, end subscript, equals, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text (Počáteční rychlost levharta.)
v, equals, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text (Koncová rychlost levharta.)
t, equals, 3, comma, 30, start text, space, s, end text (Čas, po který levhart zrychloval.)
Jelikož neznáme zrychlení a, ani ho nemáme vypočítat, použijeme druhou pohybovou rovnici delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, ve které a schází.
delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, P, o, u, z, with, \v, on top, i, j, e, m, e, space, d, r, u, h, o, u, space, k, i, n, e, m, a, t, i, c, k, o, u, space, r, o, v, n, i, c, i, comma, space, v, e, space, k, t, e, r, e, with, \', on top, space, s, c, h, a, with, \', on top, z, ı, with, \', on top, space, a, point, right parenthesis, end text
delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, 30, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, D, o, s, a, d, ı, with, \', on top, m, e, space, z, n, a, with, \', on top, m, e, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, y, point, right parenthesis, end text
delta, x, equals, 48, comma, 3, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, V, y, c, with, \v, on top, ı, with, \', on top, s, l, ı, with, \', on top, m, e, space, a, space, o, s, l, a, v, ı, with, \', on top, m, e, !, right parenthesis, end text

Příklad 3: Třetí pohybová rovnice, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Studentka má plné zuby domácích úkolů z fyziky a hodí svou propisku přímo do stropu rychlostí 18,3 m/s.
Za jak dlouho propiska vystoupá do bodu o 12,2 metrů výš, než odkud byla hozena?
Za předpokladu, že směr vzhůru je kladný, známe hodnoty těchto veličin:
v, start subscript, 0, end subscript, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text (Počáteční rychlost propisky směrem vzhůru.)
delta, y, equals, 12, comma, 2, start text, space, m, end text (Chceme vědět, v jakých časech propiska dosáhne tohoto posunutí.)
a, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (Propiska je volně padající těleso.)
Jelikož neznáme koncovou rychlost v, ani ji nemáme zjistit, použijeme třetí pohybovou rovnici pro svislý pohyb delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, ve které v schází.
delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, Z, a, c, with, \v, on top, n, e, m, e, space, t, r, with, \v, on top, e, t, ı, with, \', on top, space, p, o, h, y, b, o, v, o, u, space, r, o, v, n, i, c, ı, with, \', on top, point, right parenthesis, end text
Za běžných okolností bychom rovnici vyřešili algebraicky, ale v tomto případě, jsou-li členy nenulové a člen t je neznámá, se tato rovnice stává kvadratickou. Lépe to uvidíme, když dosadíme hodnoty známých veličin.
12, comma, 2, start text, space, m, end text, equals, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, D, o, s, a, d, ı, with, \', on top, m, e, space, z, n, a, with, \', on top, m, e, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, y, point, right parenthesis, end text
Abychom rovnici lépe vyřešili, přesuneme vše na jednu stranu rovnice. Odečtením 12,2 m od obou stran získáme
0, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, plus, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, U, s, p, o, r, with, \v, on top, a, with, \', on top, d, a, with, \', on top, n, o, space, d, o, space, p, o, d, o, b, y, space, k, v, a, d, r, a, t, i, c, k, e, with, \', on top, space, r, o, v, n, i, c, e, point, right parenthesis, end text
Nyní můžeme z kvadratické rovnice vyřešit čas t. Kořeny kvadratické rovnice a, t, squared, plus, b, t, plus, c, equals, 0 najdeme použitím kvadratického vzorce t, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction. Pro naši kvadratickou rovnici jsou a, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, b, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, a nakonec c, equals, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text.
Dosazením do kvadratického vzorce získáme
t, equals, start fraction, minus, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, plus minus, square root of, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, 4, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, close bracket, end square root, divided by, 2, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, close bracket, end fraction
Protože je ve vzorci kladné a záporné znaménko, vyjdou nám pro čas t dvě odpovědi: jedna pro znaménko plus a druhá pro znaménko minus. Vyřešením kvadratické rovnice získáme tyto dva časy:
t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text a také t, equals, 2, comma, 86, start text, space, s, end text
Toto jsou dvě možná řešení, protože čas, kdy byla propiska ve výšce 12,2 metrů, nastal dvakrát. Menší čas je ten, po který propisce trvalo do výšky 12,2 m vystoupat. Větší čas počítá s tím, že stoupala vzhůru, prošla 12,2 metry, dosáhla své maximální výšky a pak spadla znovu do výšky 12,2 m.
Abychom tedy odpověděli na otázku „za jak dlouho propiska vystoupá do bodu o 12,2 metrů výš, než odkud byla hozena?“ zvolíme menší čas t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text.

Příklad 4: Čtvrtá pohybová rovnice, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Motorkář jede rychlostí 23,4 m/s. Když před sebou zahlédne křižovatku, zpomalí na dráze 50,2 m konstantním zrychlením o velikosti 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction. Předpokládej, že motorka se po celou dobu pohybuje dopředu.
Jaká je rychlost motorky poté, co motorkář na dráze 50,2 m zpomaloval?
Za předpokladu, že původní směr pohybu je kladný směr, známe hodnoty těchto veličin:
v, start subscript, 0, end subscript, equals, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text (Počáteční rychlost motorky směrem dopředu.)
a, equals, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (Zrychlení je záporné, protože motorka zpomaluje a směr dopředu je kladný.)
delta, x, equals, 50, comma, 2, start text, space, m, end text (Chceme znát rychlost motorky poté, co urazí tuto dráhu.)
Protože neznáme čas t, ani jej nechceme zjistit, použijeme čtvrtou pohybovou rovnici v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, ve které t schází.
v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, start text, left parenthesis, Z, a, c, with, \v, on top, n, e, m, e, space, c, with, \v, on top, t, v, r, t, o, u, space, p, o, h, y, b, o, v, o, u, space, r, o, v, n, i, c, ı, with, \', on top, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, plus minus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root, start text, left parenthesis, A, l, g, e, b, r, a, i, c, k, y, space, v, y, j, a, with, \', on top, d, r, with, \v, on top, ı, with, \', on top, m, e, space, r, y, c, h, l, o, s, t, point, right parenthesis, end text
Všimni si, že z odmocniny můžeme dostat kladnou i zápornou odpověď. Protože náš motorkář pojede pořád stejným směrem, který byl kladný, zvolíme kladnou odpověď v, start subscript, x, end subscript, equals, plus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root.
Dosadíme hodnoty a získáme
v, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, left parenthesis, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, 2, left parenthesis, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 50, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, end square root, start text, left parenthesis, D, o, s, a, d, ı, with, \', on top, m, e, space, z, n, a, with, \', on top, m, e, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, y, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, 15, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, V, y, c, with, \v, on top, ı, with, \', on top, s, l, ı, with, \', on top, m, e, space, a, space, o, s, l, a, v, ı, with, \', on top, m, e, !, right parenthesis, end text

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.