Grafy posunutí, zrychlení a rychlosti vržených těles

V tomto videu bych rád, když už máme posunutí definované jako funkci času s předpokladem konstantního zrychlení a počáteční rychlosti, chtěl bych do grafu vynést posunutí, konečnou rychlost a zrychlení, vše jako funkce času. Jen abychom opravdu porozuměli, co se děje, když míček letí nahoru a zase dolů. Takže víme, že toto je posunutí jako funkce času. Víme, jakou budeme mít konečnou rychlost v závislosti na čase. O tom jsme mluvili posledně. Konečná rychlost bude rovna počáteční rychlosti plus zrychlení násobenému změnou času. Začneme s počáteční rychlostí, vynásobíme zrychlení časem. Tato část nám říká, o kolik rychleji nebo pomaleji pojedeš oproti počáteční rychlosti. To bude, dalo by se říct, „současná rychlost“ nebo konečná rychlost v tom daném časovém okamžiku. Samozřejmě známe zrychlení. Zrychlení je celkem jasné. Zrychlení dané gravitací je prostě -9,8 metrů za sekundu na druhou. Připomínám, minus je dané dohodou, že vektor směřuje dolů. Původní rychlost bude směrem vzhůru, 19,6 metrů za sekundu. Nakresleme si to tedy. V prvním grafu budu chtít závislost posunutí na čase. Tato osa bude označovat čas, mohl bych ji nazvat osou změny času. Říkejme jí prostě časová osa. Tato druhá osa pak bude osou označující posunutí. Dejme sem nějaké dílky. Řekněme, že toto je 5, 10, 15 a 20 metrů. Pak čas, toto je 0, 1, 2, 3, 4 sekundy. Čas je v sekundách. Posunutí v metrech. 5, 10, 15, 20. Toto je posunutí. Graf posunutí. Zároveň s tím chci dělat graf rychlosti. Tady si nakreslím graf rychlosti. Udělám ho trochu jinak. Rychlost totiž bude růst a klesat. Musíme tu tedy mít kladné i záporné hodnoty. Čas bude jenom kladný. Opět mě zajímají 1, 2, 3 a 4 sekundy. Toto bude osa označující rychlost. Zde bude 10 metrů za sekundu. Toto je 20 metrů za sekundu. Zde je -10 metrů za sekundu. Toto -20 metrů za sekundu. Všechno je to v metrech za sekundu. Toto je osa rychlosti. Tato osa je čas. To je tedy graf rychlosti. Proč nepřidat i graf zrychlení? I když ten je svým způsobem ze všech nejjednodušší. Tady je graf zrychlení. Mohu ho nakreslit hned, protože uvažujeme konstantní zrychlení. Tady vyneseme 1,2, 3 a 4 sekundy. Zde bude -10. Všechno je to v metrech za sekundu na druhou. Víme, že naše zrychlení je -9,8 metrů za sekundu na druhou. Zrychlení je po celou dobu, po celé 4 sekundy, pořád na hodnotě -9,8. Po celou dobu bude zrychlení konstantní. Podívejme se na posunutí a rychlost. Nakreslím si tady menší tabulku. Do jednoho sloupečku dám změnu času. Někdy bych psal jenom čas. Zjistěme, jaká bude konečná rychlost, měl bych říct současná rychlost, rychlost v daném čase. V tomto sloupečku vypočítám posunutí. Udělám to v časech 0, 1, 2, 3, 4. Nebo změnách času. Když uplynulo 0 sekund, po 1 sekundě, 2 sekundách, po 3 sekundách a po 4 sekundách. Nakonec tomu budu říkat osa změny času, protože říká, kolik sekund uplynulo. Je to osa změny času. Ujasněme si, že tento graf… Neoznačil jsem ho… Toto je graf zrychlení. A jsem mimo obrazovku. Dobrá. Pojďme to vyplnit. Jaká je naše rychlost v čase 0? Pokud použijeme tento výraz, Δt je rovno 0. Tento výraz bude 0. Bude to rovno počáteční rychlosti. V minulém videu jsme nastavili počáteční rychlost na 19,6 metrů za sekundu. Bude to tedy 19,6 metrů za sekundu. Vynesu to sem. V čase 0 sekund to bude 19,6 metrů za sekundu. Jaké je počáteční posunutí po uplynutí 0 sekund? Podívej se nahoru. Δt je 0, tento výraz tedy bude roven 0 a tento bude také 0. Ještě se neodehrálo žádné posunutí, když neuběhl žádný čas. Nemáme žádné posunutí. Jsme přímo tady. Co se stane po uplynutí 1 sekundy? Jaká je rychlost teď? Počáteční rychlost je 19,6. 19,6 metrů za sekundu, to bylo zadáno. Zrychlení je -9,8 metrů za sekundu na druhou. Tady je minus. Pak to vždy násobíš Δt. Tentokrát budeme násobit 1, protože Δt je 1. Dostaneme 19,6 minus 9,8. To je přesně 9,8 metrů za sekundu. Jednotky sedí, když toto násobíš sekundami, vyjdou metry za sekundu. 19,6 metrů za sekundu minus 9,8 metrů za sekundu… Jedna z těch sekund zmizí, když ji vynásobíš tou druhou. Dá to 9,8 metrů za sekundu. Po 1 sekundě je rychlost oproti té původní poloviční. Teď letíme rychlostí 9,8 metrů za sekundu. Nakreslím sem čáru. 9,8 metrů za sekundu. Jaké je posunutí? Podívej se nahoru. Přepíšeme tento vzorec posunutí a dosadíme známé informace. Víme, že posunutí bude rovno: Počáteční rychlosti, což je 19,6… Jednotky sem psát nebudu. …krát změna času… Udělám to stejnou barvou, aby bylo vidět, co je co. …plus 1/2… Tady pozor, 1/2 krát -9,8 metrů za sekundu na druhou. 1/2 krát zrychlení bude vlastně… Přepíšu to sem… Toto bude -9,8 metrů za sekundu na druhou, takže vyjde -4,9. Jen jsem vynásobil 1/2 a -9,8. 1/2 krát -9,8. Toto je důležité, tady záleží na tom, že jde o vektory. Kdybychom sem dali kladné číslo, těleso by při stoupání nezpomalovalo, naopak by ho gravitace nějak urychlovala. Ve skutečnosti jej však zpomaluje. Urychluje ho směrem dolů. Proto tady musí být minus. To byla naše úmluva už od předchozího videa. Směr nahoru je kladný. Směr dolů je záporný. Soustřeďme se. …-4,9 metry za sekundu na druhou krát „Δt na druhou“. To nám usnadní práci, i když stále… Vezmu si kalkulačku. Po uplynutí jedné sekundy… Vezmu si moji věrnou TI-85. Po uplynutí 1 sekundy je posunutí rovno 19,6 krát 1… To je 19,6. …minus 4,9 krát '1 na druhou'. To je minus 4,9. Výsledek je 14,7 metrů. Po uplynutí 1 sekundy uletěl míček 14,7 metrů. To je přibližně zde. Co se stane po 2 sekundách? Udělám to fialově. Po 2 sekundách bude rychlost 19,6 minus 9,8 krát 2. Uplynuly 2 sekundy. 9,8 metrů za sekundu na druhou krát 2 sekundy dá 19,6 metrů za sekundu. Toto se tedy prostě vyruší. Rychlost je teď 0. Po 2 sekundách je rychlost 0. Toto by mělo vypadat jako přímka. Rychlost po 2 sekundách je 0. Jaké je posunutí? Jsme doslova v místě, kde míček nemá žádnou rychlost. Přesně ve 2 sekundách. Vyletěl trochu nahoru a přesně v ten okamžik stojí na místě. Co se děje tady v našem posunutí? Máme 19,6… Na to si vezmu kalkulačku… Zvládnul bych to ručně, ale toto je rychlejší. 19,6 krát 2 sekundy minus 4,9 krát 2 sekundy na druhou. Toto jsou 2 sekundy na druhou. …krát 2 sekundy na druhou, takže to je krát 4. To nám dává 19,6 metrů. Udělám to fialově. Jsme v 19,6 metrech. Po 2 sekundách jsme 19,6 metrů ve vzduchu. Pojďme na 3 sekundy. Po 3 sekundách je rychlost… 19,6 metrů za sekundu minus 9,8 krát 3. To zvládneme v hlavě, ale abych to ověřil, vezmu si na to kalkulačku. Je to 19,6 minus 9,8 krát 3. To nám dává -9,8 metrů za sekundu. Po 3 sekundách je rychlost -9,8 metrů za sekundu. Co to znamená? Teď to letí směrem dolů, rychlostí 9,8 metrů za sekundu. Toto je graf rychlosti. Jaké je teď posunutí? Vezměme na to kalkulačku. Pokud to začínáš zvládat samostatně, zkus si pozastavit video a dopočítat to. Dívám se na posunutí, které jsem tu napsal. Posunutí, kde Δt jsou 3 sekundy: 19,6 krát 3 minus 4,9 krát… Toto je Δt, tedy 3 sekundy. Δt, změna času, jsou 3 sekundy. To na druhou. …krát 9. To nám dá 14,7 metrů. Po 3 sekundách jsme zase ve 14,7 metrech. Jsme ve stejné poloze jako v 1 sekundě, akorát se pohybujeme dolů. Tady jsme se pohybovali nahoru. Konečně, co se stane po 4 sekundách? Jaká je rychlost? Opět vezmu kalkulačku, i když to jde spočítat z hlavy. Rychlost bude 19,6 minus 9,8 krát 4. Což je -19,6 metrů za sekundu. Velikost rychlosti je stejná, jako když jsme míčkem hodili, ale jde opačným směrem. Teď směřuje dolů. Jaké je posunutí? Kalkulačka. Máme 19,6 krát 4, uplynuly 4 sekundy, minus 4,9 krát '4 na druhou', což je 16, takže krát 16. To se rovná 0. Posunutí je 0. Jsme zpátky na zemi. Kdybychom zanesli posunutí do grafu, dostali bychom parabolu. Parabolu směřující dolů, která vypadá nějak takto. Snažím se ji nakreslit hezky. Vlastně to dokážu lépe. Udělám ji čárkovaně. Čárkované čáry se snadněji upravují uprostřed tahu. Pokud uděláš graf závislosti posunutí na čase, vypadá nějak takto. Rychlost je klesající přímka a zrychlení je konstantní. Celý důvod, proč jsem to chtěl dělat, je ten, že jsem chtěl ukázat, jak se rychlost po celou dobu konstantně snižuje. To dává smysl, neboť míra změny rychlosti je vyjádřena zrychlením. Zrychlení jde podle naší domluvy dolů. Proto rychlost klesá. Má záporný sklon. Záporný sklon -9,8 metrů za sekundu na druhou. Abychom se zamysleli nad tím, co se s tím míčkem děje… Vím, že video je dlouhé… …jak letí vzduchem, nakreslím vektory rychlosti. Udělám je oranžově. Nebo ne, raději modře. Rychlost v modré. Hned na začátku mám kladnou rychlost s velikostí 19,6 metrů za sekundu. Nakreslím tento velký vektor. 19,6 metrů za sekundu, to je rychlost. Po 1 sekundě máme 9,8 metrů za sekundu. To je polovina tohoto. Možná by to vypadalo nějak takto, 9,8 metrů za sekundu. V tomto vrcholu má rychlost 0. Ve 3 sekundách je velikost rychlosti zase 9,8 metrů za sekundu. Ale teď směřuje dolů. Směřuje dolů, vypadá tedy takto. Konečně, když dopadne na zem, těsně před dopadem na zem, má rychlost -19,6 metrů za sekundu. Vypadal by tedy nějak takto. Použiji stejné měřítko jako tady. Ale jaké bylo po celou dobu zrychlení? Zrychlení bylo po celou dobu záporné. Bylo -9,8 metrů za sekundu na druhou. Udělám ho oranžově. Takže zrychlení tady, minus… Ne, to má být oranžové… Zrychlení bylo -9,8 metrů za sekundu na druhou. Zrychlení, -9,8 metrů za sekundu na druhou. -9,8 metrů za sekundu na druhou. Zrychlení je po celou dobu stejné. Poslední je -9,8 metrů za sekundu na druhou. Nezávisí na tom, kde na křivce se zrovna nacházíš, dokud jsi poblíž povrchu Země. To snad vysvětluje nějaké věci a dává ti představu o tom, co se děje, když házíš tělesa vzhůru.