Odvození maximální délky vrhu v daném čase

Chci navázat na předchozí video, kdy jsme házeli míčky a viděli, jak dlouho zůstanou ve vzduchu. To jsme využili k výpočtu, jak rychle jsme ty míčky vyhodili a jak vysoko vystoupaly do vzduchu. V minulém videu jsme použili konkrétní čísla, v tomto videu bych chtěl odvodit zajímavé vzorečky, abychom mohli dělat rychlé výpočty v hlavě, když si hrajeme na nějakém hřišti a nemusíme mít k dispozici papír. Řekněme, že míček je ve vzduchu po čas „Δt“. „Δt“ je čas strávený ve vzduchu. Dále víme, že čas stoupání bude polovina tohoto času, to samé platí pro čas klesání. Čas stoupání bude roven „Δt“… Udělám to stejnou barvou. …bude roven času strávenému ve vzduchu děleno dvěma. Jaká je počáteční rychlost? Vše, co potřebujeme, je vzpomenout si na rozdíl v rychlosti. Rozdíl v rychlosti, který je roven konečné rychlosti minus počáteční. Konečná rychlost… Mluvili jsme o polovině trasy míčku. Ve chvíli, kdy ho vypustíme, má nejvyšší rychlost. Poté se postupně zpomaluje, až je na chvíli nehybný, pak se vrací zpět dolů. Opět si vzpomeň, že zrychlení míří celou dobu směrem dolů. Co je konečná rychlost, pokud uvažujeme jen polovinu času? Rychlost zde je nula, bude to nula minus počáteční rychlost, počáteční rychlost, kdy jsme ho vypustili. Toto je rozdíl rychlostí. Ten se bude rovnat tíhovému zrychlení… -9,81 metrů za sekundu na druhou, neboli zrychlení v důsledku gravitace pro volně padající objekt, abychom byli technicky přesní. …krát čas, po který jde nahoru, krát „Δt směrem nahoru“, to je to samé jako… „Δt směrem nahoru“ je to samé jako celková doba ve vzduchu děleno 2. Dostaneme, že záporně vzatá počáteční rychlost je rovna tomuto děleno 2, což bude 4,9 metrů za sekundu na druhou… Na začátku máme stále minus. …krát Δt. Pozor! Zde je celkový čas, ne jen čas stoupání. Je to celkový čas ve vzduchu. Pak vynásobíme obě strany minusem a získáme počáteční rychlost, ta bude 4,9 metrů za sekundu na druhou krát celkový čas strávený ve vzduchu. Mohli bychom říct, že je to 9,81 metrů za sekundu na druhou krát polovina času stráveného ve vzduchu. Z obou formulací dostaneme to samé. Pojďme vypočítat celkovou vzdálenost, tedy vzdálenost, kterou urazíme za čas stoupání, tedy maximální vzdálenost. Pamatuj, že vzdálenost… Nebo bych měl v této situaci říkat dráha? Dráha je rovna průměrné rychlosti krát změna času. Pro nás významná změna času je čas stoupání, tedy „Δt děleno 2“. Tedy polovina celkového času. To je náš čas směrem nahoru. Jaká je průměrná rychlost? Pokud předpokládáme konstantní zrychlení, je to počáteční plus konečná rychlost děleno dvěma, tedy průměr těchto rychlostí. Víme, jaká je počáteční rychlost, ta je zde. Konečná rychlost – o té jsme již mluvili. V první polovině času míček stoupá nahoru, konečná rychlost je tedy nula. Bude to v okamžiku, kdy je míček na vrcholu, dělali jsme to před dvěma videi, je to právě ten vrchol. Průměrná rychlost bude toto děleno dvěma. Bude to 4,9 metrů za sekundu na druhou krát „Δt děleno dvěma“. To je naše průměrná rychlost. Průměrná rychlost. Dosaďme to zpět. Maximální dráha bude průměrná rychlost, 4,9 metrů za sekundu na druhou krát „Δt děleno dvěma“, poté to opět vynásobíme celkovým časem děleno dvěma, je to to samé. Pak to můžeme upravovat. Maximální dráha je rovna 4,91 metrů za sekundu na druhou krát „Δt na druhou“, to celé děleno čtyřmi. Můžeme vydělit 4,9 čtyřmi, to je 1,25, snad… Vytáhnu si kalkulačku. Nechci to počítat z hlavy a pak dál dělat chyby. 4,9 děleno 4 je 1,225. Maximální dráha bude 1,225 krát „celkový čas ve vzduchu na druhou“, to je docela jednoduchý výpočet. Toto je maximální dráha, říká, jak daleko se dostaneme, když se míček nehýbe, když má nulovou celkovou rychlost, krátce předtím, než začne zrychlovat směrem dolů. Pokud je míček ve vzduchu 5 sekund, můžeme ověřit náš výpočet z minula. Maximální dráha bude 1,225 krát pět na druhou, to je 25, dostaneme 30,625, to samé, co v minulém videu. Pokud je míček ve vzduchu například po dobu 2,3 sekundy, pak je to 1,225 krát „2,3 na druhou“ a dostal se 6,48 metrů do vzduchu. Chtěl jsem jen odvodit jednoduchý vzorec, k výpočtu maximální vzdálenosti od země, při zanedbání odporu vzduchu, jako funkci celkového času ve vzduchu. Mně to přijde docela fajn, je to zajímavá hra.