Odvození posunutí jako funkce času, zrychlení a počáteční rychlosti

V tomto videu bych se chtěl zamyslet nad tím, co se stane, když vyhodím nějaké těleso, například míč nebo kámen, vzhůru nad sebe. Rád bych vytvořil graf závislosti vzdálenosti na čase toho tělesa. Je pár věcí, které řeknu o tom, jak házím kámen do vzduchu. Kámen bude mít počáteční rychlost 19,6 metrů za sekundu. Počáteční rychlost jsem zvolil takto, protože to o něco zjednoduší výpočty. Také známe zrychlení blízko povrchu Země. Gravitační síla u zemského povrchu je rovna hmotnosti tělesa krát zrychlení. Gravitační síla tedy bude hmotnost tělesa krát „g“. …krát gravitační zrychlení na povrchu Země. „g“ má hodnotu 9,8 metrů za sekundu na druhou. Pokud chceme znát zrychlení na Zemi, prostě vydělíme sílu hmotností, protože máme obecný vztah: Síla je rovna hmotnosti krát zrychlení. K nalezení zrychlení, vyděl obě strany hmotností, takže získáš: Síla lomeno hmotnost. Vydělíme to tedy hmotností. Pokud vydělíš obě strany rovnice hmotností, na levé straně získáš zrychlení a na pravé straně získáš veličinu „g“. Udělal jsem to abych ukázal, že „g“ souvisí s gravitačním zákonem. Na „g“ se můžeš dívat jako na míru gravitačního pole poblíž povrchu Země, která, po vynásobení hmotností, dá sílu. Použijeme druhý Newtonův zákon, „F se rovná m krát a“, abychom získali „g“, což je vlastně zrychlení. Toto zrychlení směřuje do středu Země. Další věc, kterou bych chtěl zdůraznit: Pokud mluvíme o gravitační síle, obecně se gravitační síla rovná velké „G“, což je něco jiného než malé „g“, krát součin hmotností dvou těles, dělený druhou mocninou vzdálenosti mezi těmi tělěsy. Teď si asi říkáš: „Počkat, je jasné že gravitační síla závisí na vzdálenosti, ale když něco vyhodím do vzduchu, nezmění se vzdálenost?“ Vlastně máš pravdu! To je teoreticky správně, ale v reálném případě, pokud vyhodíš něco vzhůru, je změna vzdálenosti tělesa od povrchu v porovnání s poloměrem Země tak malá, že lze výpočty zjednodušit tím, že pokud jsme v blízkosti povrchu Země (včetně atmosféry) můžeme vzdálenost považovat za konstantní. „g“ zde odpovídá všem těmto členům dohromady. Pokud bychom předpokládali, že hmotnost 1 je hmotnost Země, „r“ je vzdálenost od středu k povrchu, tedy poloměr Země, máš pravdu, že se to celé trochu změní. Gravitační síla se maličko změní, ale pro případ házení věcí do vzduchu můžeme předpokládat, že je konstantní. Pokud bychom „g“ spočítali, vyšlo by 9,8 metrů za sekundu na druhou, zaokrouhleno na desetiny. Podotýkám, že jde o vektorové veličiny. Hážeme-li věci do vzduchu, je zvykem, že co se pohybuje nahoru dostane kladnou hodnotu, zatímco věci pohybující se dolů mají hodnotu zápornou. Každé volně padající těleso je gravitací urychlováno dolů, gravitační síla směřuje dolů. Chceme-li „g“ dát směr, je záporný. „g“ je -9,8 metrů za sekundu na druhou. Máme zrychlení vlivem gravitace. Zrychlení vlivem gravitace je -9,8 metrů za sekundu na druhou. Teď chci stanovit závislost dráhy na čase. Zamysleme se nad tím, jak sestavit vzoreček, odvodit vzoreček, ze kterého, pokud zadáme čas jako proměnnou, dostaneme dráhu. Můžeme používat tyto hodnoty. Já vlastně chci stanovit posunutí v čase, protože to bude zajímavější. Víme, že posunutí je to samé co průměrná rychlost násobená změnou času. Teď máme vzorec obsahující čas, vzdálenost a průměrnou rychlost, ale žádnou počáteční rychlost ani zrychlení. Víme, že průměrná rychlost je počáteční plus konečná rychlost, to celé děleno 2. Za předpokladu, že zrychlení je konstantní. Toto můžeme udělat za předpokladu konstantního zrychlení. Opakuji, pokud se zabýváme tělesy poblíž povrchu Země, můžeme konstantní zrychlení předpokládat. Předpokládáme tedy konstantní zrychlení. Takže toto… Opakuji, neznáme konečnou rychlost. Musíme se nad tím ještě trochu zamyslet. Můžeme konečnou rychlost vyjádřit pomocí počáteční rychlosti a času. Teď řešíme jen tuto část, průměrnou rychlost. Tento výraz můžeme přepsat na původní rychlost plus něco, lomeno 2. Jaká je konečná rychlost? Konečná rychlost bude odpovídat původní rychlosti plus zrychlení krát změna času. Pokud začínáš na 10 metrech za sekundu a zrychluješ o 1 metr za sekundu na druhou, pak po 1 sekundě pojedeš o 1 metr za sekundu rychleji. Toto je tvá konečná rychlost. Ujistím se, že všechno jsou vektorové veličiny… Toto všechno jsou vektorové veličiny. Snad víš, že jsou to všechno vektorové veličiny a záleží na směru. Podívejme se, co půjde zjednodušit. Například tyto dva členy… Pamatuj si, že pracujeme s průměrnou rychlostí… Pokud tyto dva členy sečteme, dostaneme 2 krát „v“ s dolním indexem „i“, dvojnásobek počáteční rychlosti, pak to vydělíme 2. Plus všechno toto děleno 2. Plus naše zrychlení krát změna času, to celé děleno 2. To všechno je jen jiný způsob, jak zapsat průměrnou rychlost. Dělám to z toho důvodu, že neznáme konečnou rychlost, ale známe zrychlení a změnu času použijeme jako nezávislou proměnnou. Pořád ještě musíme násobit změnou času tady. Násobit toto všechno zelenou změnou času. Z tohoto všeho bude posunutí. Toto je posunutí. Můžeme vynásobit změnu času krát toto všechno… Tyto 2 se vykrátí… Dostaneme… Budu pokračovat tady… Dostaneme: Posunutí je rovno počáteční rychlost krát změna času… Někteří učitelé nebo učebnice uvádějí čas, ale je to vlastně změna času. Čas není úplně špatně, ale změna času je přesnější… Plus 1/2 krát… Což je to samé jako dělení 2… Plus 1/2 krát zrychlení… Máme Δt krát Δt… Změna času krát změna času. Trojúhelník Δ (delta) znamená změnu. Změna času krát změna času je změna času na druhou. Někde to uvidíte psané jako: „d“ se rovná „v_i“ krát „t“ plus 1/2 krát „a“ krát „t na druhou“. To je úplně to samé. Píšou „d“ jako posunutí a „t“ místo „Δt“. Smyslem tohoto videa je uvědomit si, jak je to snadné na odvození. Možná by se ti hodilo umět tento vzorec vysypat z rukávu i pod tlakem, ale důležité je si pamatovat, až ti bude 30, 40, 50 let, nebo až budeš posílat raketu do vesmíru a nebudeš mít po ruce učebnici fyziky, že to vše pochází ze základního vzroce posunutí je rychlost krát změna času, za předpokladu konstantního zrychlení. Ten zbytek si můžeš odvodit. Tady bych video ukončil. Tuto část tady smažu. Tady to nechám. V dalším videu tento vzoreček, který jsme odvodili, použijeme. Použijeme ho, abychom vynesli změnu polohy v čase do grafu, protože to je zajímavé a budeme přemýšlet, co se stane s rychlostí a zrychlením, jak se posouváme v čase.