Úvod do substituce

Máme zadaný neurčitý integrál z funkce (3 krát 'x na druhou' plus 2x)… …krát 'e na ('x na třetí' plus 'x na druhou')' krát dx. Jak bychom to řešili? Na první pohled to vypadá složitě. Máme polynom násobený exponenciálním výrazem, který je umocněn na jiný polynom. Zdá se to šílené. Na takový integrál využijeme techniku substituce. V momentě vám ukážu, jak jsem poznal, že použiji substituci. Po čase takovéto příklady budete počítat zpaměti. Substituce je v podstatě opak k řetězovému pravidlu. V jiném videu o tom budu mluvit do hloubky. V mocniteli mám tento polynom 'x na třetí' plus 'x na druhou', jehož derivace je 3 krát 'x na druhou' plus 2x. Derivace 'x na třetí' podle 'x' je 3 krát 'x na druhou', derivace 'x na druhou' je 2x, to je velká nápověda, abych použil substituci. Vidím-li tedy nějaký výraz, jež je násoben jeho derivací, označím jej jako 'u'. 'u' je tedy rovno 'x na třetí' plus 'x na druhou'. Co bude derivace 'u' podle 'x'? Dělali jsme to už několikrát. Bude to 3 krát 'x na druhou' plus 2x. Napišme to ve tvaru diferenciálu. du podle dx není ve skutečnosti zlomek diferenciál 'du' podle diferenciálu 'dx', je to jen zápis. Občas je užitečné předstírat, že jde o zlomek. Chceme-li tedy jen diferenciál 'du', můžeme to vynásobit 'dx'. Pokud tedy předstíráme, že jde o zlomek. Dostaneme tedy 'du' je rovno (3 krát 'x na druhou' plus 2x) krát dx. Proč jsem si s tím dával tu práci? Vidíme, že tu máme (3 krát 'x na druhou' plus 2x) a je to násobené 'dx'. Původní integrál mohu tedy přepsat. (3 krát 'x na druhou' plus 2x) krát dx krát 'e na ('x na třetí' plus 'x na druhou')'. Zajímavé na tom je, že toto fialové je vlastně rovno 'du'. Tento mocnitel je navíc to, co jsem označil za 'u'. Toto je rovno 'u'. Celý integrál tedy přepíšu… Možná už vidíte, že to vše zjednodušilo. …přepíšu to a změním pořadí. Celé toto 'du' napíšu na druhou stranu, aby to vypadalo tak, jak jsme zvyklí. Budeme tedy mít integrál z 'e na u' krát du. Jaká je primitivní funkce k této funkci podle proměnné 'u'? Derivace 'e na u' je 'e na u', tedy i primitivní funkce je 'e na u'. Bude to tedy rovno 'e na u' a je možné, že tu bude navíc nějaká konstanta. Napíšu tu tedy plus C. Abychom opět dostali funkci proměnné 'x', znovu dosadíme za 'u'. Víme, čemu se 'u' rovná. Bude to tedy rovno 'e na…' Místo 'u' napíšu… 'u' je ('x na třetí' plus 'x na druhou)' a nakonec plus C. A jsme hotovi! Našli jsme primitivní funkci. Vyzývám vás, zkuste spočítat derivaci. Zjistíte, že použijete řetězové pravidlo a vyjde vám přesně to, co máme zde.