Substituce: definice proměnné u

V tomto videu si vyzkoušíme, jak se dělá první krok v substituci v integrálu, což dělá studentům často největší problém. Kdy se hodí substituci použít a jak správně definovat pomocnou proměnnou u. Začneme příkladem. Hledáme neurčitý integrál z (2x plus 1) krát odmocnina z (x na druhou plus x) dx. Hodí se zde použít substituci a pokud ano, tak jak musíme definovat proměnnou u? Pozastavte video a zkuste se nad tím sami zamyslet. Stačí si vzpomenout, že substituce je vlastně jen obrácené pravidlo o derivaci složené funkce. Připomeneme si, jak vypadá pravidlo o derivaci složené funkce. Pokud máme složenou funkci, například f(g(x)), a chceme to zderivovat podle x, tak to bude rovno derivaci vnější funkce podle vnitřní funkce, takže f s čárkou v g(x), krát derivace vnitřní funkce. Pro použití substituce musíme v integrálu vidět podobný vzor. Máme v integrálu možnou vnitřní funkci, g(x), jejíž derivace by byla v součinu? To vidíme zde, když se podíváme na x na druhou plus x. Když takto definuji u, tak jak bude vypadat derivace? Derivace x na druhou plus x je 2 krát x plus 1, takže bychom to tak měli zasubstituovat. Když položíme "u" rovno x na druhou plus x, tak získáme, že du/dx… Derivace "u" podle x je rovna 2 krát x plus 1, když se k diferenciálům chováme jako k proměnným, tak můžeme obě strany vynásobit dx, což je tedy trochu mávání kouzelnou hůlkou, ale zde se to hodí udělat, abychom získali, že x plus 1 krát dx je du. A zajímavé je, že máme definovanou proměnnou "u" a také máme 2 krát x plus 1 dx. Většinou se integrál nepřepisuje tak, jak ho nyní přepíšu, ale stejně do udělám. Integrál můžu přepsat… Měli byste vidět, že toto je vlastně součin tří výrazů. Často lidé koukají na dx jako na něco, co je součástí integrálního operátoru. Ale my to můžeme přeskupit, tohle je naprosto legitimní. Můžeme to zapsat jako integrál z odmocniny z (x na druhou plus x) krát (2 krát x plus 1) dx. A pokud si chceme opravdu být jistí, tak to můžeme takto dát do závorek. Toto je naše u, a toto je du. Takže to můžeme přepsat jako integrál z odmocniny z "u", protože x na druhou plus x je "u", krát du, což už je mnohem jednodušší spočítat. Pokud vás to pořád trochu mate, tak to možná lépe uvidíte, když to přepíšu takto na "u" na jednu polovinu. Nyní stačí použít obrácené pravidlo pro derivaci mocniny. A po získání primitivní funkce už musíme jen udělat zpětnou substituci, abychom řešení získali vzhledem k proměnné x.