Hlavní obsah
Integrální počet
Kurz: Integrální počet > Kapitola 2
Lekce 1: Integrace pomocí substituce- Úvod do substituce
- Substituce: násobení konstantou
- Substituce: definice proměnné u
- Substituce: definovaná proměnné u (více příkladů)
- Substituce
- Substituce: definice proměnné u
- Substituce: racionální funkce
- Substituce: logaritmická funkce
- Použití substituce
- Substituce: neurčitý integrál
- Substituce: určitý integrál
- Substituce pro určitý integrál
- Substituce: určitý integrál
- Substituce: určitý integrál exponenciální funkce
- Substituce: zvláštní použití
- Substituce: dvojitá substituce
- Substituce: složená funkce
Substituce: definice proměnné u
Nejdůležitější část při substituci je správná definice proměnné u.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu si vyzkoušíme, jak se
dělá první krok v substituci v integrálu, což dělá studentům
často největší problém. Kdy se hodí substituci použít a jak
správně definovat pomocnou proměnnou u. Začneme příkladem. Hledáme neurčitý integrál z (2x plus 1)
krát odmocnina z (x na druhou plus x) dx. Hodí se zde použít substituci a pokud ano,
tak jak musíme definovat proměnnou u? Pozastavte video a zkuste se
nad tím sami zamyslet. Stačí si vzpomenout, že substituce je vlastně jen obrácené
pravidlo o derivaci složené funkce. Připomeneme si, jak vypadá
pravidlo o derivaci složené funkce. Pokud máme složenou
funkci, například f(g(x)), a chceme to zderivovat podle x, tak to bude rovno derivaci vnější
funkce podle vnitřní funkce, takže f s čárkou v g(x),
krát derivace vnitřní funkce. Pro použití substituce musíme
v integrálu vidět podobný vzor. Máme v integrálu možnou vnitřní funkci,
g(x), jejíž derivace by byla v součinu? To vidíme zde, když se podíváme
na x na druhou plus x. Když takto definuji u,
tak jak bude vypadat derivace? Derivace x na druhou plus x
je 2 krát x plus 1, takže bychom to tak
měli zasubstituovat. Když položíme "u" rovno
x na druhou plus x, tak získáme, že du/dx… Derivace "u" podle x je
rovna 2 krát x plus 1, když se k diferenciálům
chováme jako k proměnným, tak můžeme obě strany vynásobit dx, což
je tedy trochu mávání kouzelnou hůlkou, ale zde se to hodí udělat, abychom získali,
že x plus 1 krát dx je du. A zajímavé je, že máme
definovanou proměnnou "u" a také máme 2 krát x plus 1 dx. Většinou se integrál nepřepisuje tak,
jak ho nyní přepíšu, ale stejně do udělám. Integrál můžu přepsat… Měli byste vidět, že toto
je vlastně součin tří výrazů. Často lidé koukají na dx jako na něco,
co je součástí integrálního operátoru. Ale my to můžeme přeskupit,
tohle je naprosto legitimní. Můžeme to zapsat jako integrál
z odmocniny z (x na druhou plus x) krát (2 krát x plus 1) dx. A pokud si chceme opravdu být jistí,
tak to můžeme takto dát do závorek. Toto je naše u, a toto je du. Takže to můžeme přepsat
jako integrál z odmocniny z "u", protože x na druhou plus x je "u", krát du, což už je
mnohem jednodušší spočítat. Pokud vás to pořád trochu mate,
tak to možná lépe uvidíte, když to přepíšu takto
na "u" na jednu polovinu. Nyní stačí použít obrácené pravidlo
pro derivaci mocniny. A po získání primitivní funkce
už musíme jen udělat zpětnou substituci, abychom řešení získali
vzhledem k proměnné x.