If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Integrální počet

Kurz: Integrální počet > Kapitola 2

Lekce 1: Integrace pomocí substituce
Matematika
Integrální počet
Integrační metody
Integrace pomocí substituce
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Substituce

Učebna Google
Substituce je vlastně inverzní operace k derivaci složené funkce. Jinak řečeno nám pomáhá integrovat složenou funkci.
Při hledání primitivní funkce vlastně děláme opačnou derivaci. Některé příklady jsou docela jasné. Například víme, že derivace start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54 je start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, takže integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. Stejně se můžeme kouknout na funkce sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction, atd.
V jiných případech to ale nemusí být tak jednoduché. Například kolik je integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? Nápověda: není to sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. Zkus to zderivovat a uvidíš proč.
Jedna velmi užitečná metoda je substituce, což je v podstatě obrácené pravidlo pro derivaci složené funkce.

Použití substituce v neurčitém integrálu

Představ si, že chceme najít integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Všimni si, že start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab je derivace start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, což je vnitřní funkce složené funkce start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10. Jinak řečeno, pokud start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 a start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, pak máme:
start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10
To naznačuje, že se hodí použít substituci.
Nejdřív zderivujeme rovnici start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 podle x, u bereme jako implicitní funkci x.
u=x2ddx[u]=ddx[x2]dudx=2xdu=2x dx\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}
Na posledním řádku jsme vynásobili rovnici d, x, takže máme vyjádřeno d, u. To je trochu netradiční, ale dobrý trik. Takže máme start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 a start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Teď to můžeme dosadit do integrálu:
=∫2xcos⁡(x2) dx=∫cos⁡(x2⏟u)2x dx⏟duUpravenıˊ.=∫cos⁡(u) duSubstituce.\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{Upravení.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{Substituce.}} \end{aligned}
Po substituci nám k integrování zbyl výraz start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 s proměnnou u. To se celkem hodí! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis je základní funkce a její primitivní funkci umíme najít celkem snadno. Jenom pak musíme funkci zase zapsat pomocí neznámé x:
=∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)+C=sin⁡(x2)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\sin(\greenD u)+C \\\\ &=\sin(\greenD{x^2})+C \end{aligned}
Zjistili jsme, že integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x je sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Výsledek sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C můžeme zderivovat, a ověřit si tak správnost výpočtu.
Ponaučení číslo 1: substituce je vlastně jenom obrácené pravidlo pro derivaci složené funkce
  • Podle pravidla pro derivaci složené funkce je derivace start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 rovna start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
  • V substituci vezmeme výraz tvaru start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab a najdeme jeho primitivní funkci start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.
Ponaučení číslo 2: substituce nám pomáhá vzít ošklivý výraz a zjednodušit ho tak, že na vnitřní funkci budeme koukat jako na proměnnou
Příklad 1.A
  • Současný
V rámci příkladu 1 projedeme všechny kroky výpočtu integrálu pomocí substituce.
integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark
Jak bychom měli definovat u?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: špatně zvolené u nebo d, u

Pokud špatně zvolíme u, tak výsledek bude taky špatně. Například v příkladu 1 musí být u rovno 2, x, cubed, plus, 5. Položení u rovno 6, x, squared, nebo left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript by nefungovalo.
Pamatuj: Abychom mohli použít substituci, tak musíme napsat integrand jako start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab. Pak u musí být vnitřní funkce složené funkce.
Dalším zásadním krokem v tomto procesu je nalezení d, u. Ujisti se, že derivuješ u správně, protože špatně spočítané d, u bude vést ke špatné odpovědi.
Příklad 2
Tom měl spočítat integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x. Zde je jeho výsledek:
integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, sine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C
Počítal Tom správně? Pokud ne, tak jakou chybu udělal?
Vyber 1 odpověď:

Častá chyba: nepoužití substituce

Pamatuj: Když integruješ složenou funkci, tak nemůžeš prostě vzít primitivní funkci vnější funkce. Musíš použít substituci.
W bude v našem případě primitivní funkce w, chybu pak můžeme zapsat takto:
integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

Další častá chyba: prohození vnitřní funkce a její derivace

Představ si, že chceš vypočítat integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x. Možná si řekneš "jelikož 2, x je derivace x, squared, tak můžeme použít substituci". Ve skutečnosti pro substituci musíme mít derivaci vnitřní funkce, x, squared by muselo být derivací 2, x, aby substituce fungovala. Jelikož tomu tak není, tak v tomto příkladu nejde použít substituce.

Někdy musíme násobit/dělit integrál konstantou

Představ si, že musíme spočítat integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Všimni si, že máme složenou funkci start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, není ničím násobená. To vypadá divně, ale koukněme se, co se z toho vyklube.
Položme start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, pak start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab. Dosadíme u do integrálu, ale ještě před tím uděláme chytrý trik:
integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab
Vidíš, co jsme tam udělali? Abychom měli start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab v integrandu, tak jsme vynásobili celý integrál start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Díky tomu můžeme použít substituci a integrál nezmění svoji hodnotu.
Pokračujme ve výpočtu:
=13∫sin⁡(3x+5⏟u)3 dx⏟du=13∫sin⁡(u) du=−13cos⁡(u)+C=−13cos⁡(3x+5)+C\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}
Ponaučení: Někdy musíme celý integrál násobit nebo dělit konstantou, abychom mohli použít substituci a zároveň abychom nezměnili hodnotu integrálu.
Příklad 3
integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark
Vyber 1 odpověď:

Chteš víc trénovat? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.