Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Substituce pro určitý integrál

Když používáme substituci pro určitý integrál, postup je skoro stejný jako u neurčitého integrálu, jen je v něm krok navíc: dosazení mezí do integrálu. Ukážeme si, co to znamená u výpočtu122x(x2+1)3dx.
Všimni si, že 2x je derivace x2+1, takže se hodí substituce. Do substituce tedy dáme u=x2+1, protože pak du=2xdx. Nyní to dosadíme:
122x(x2+1)3dx=12(u)3du
Počkej chvilku! Meze integrálu platily pro x, ne pro u. Představ si to na grafu. Chceme obsah plochy pod křivkou y=2x(x2+1)3 mezi x=1 a x=2.
Teď jsme změnili křivku na y=u3, proč by meze měly zůstat stejné?
Obě funkce y=2x(x2+1)3 a y=u3 jsou nakreslené. Vidíš, že plochy pod křivkou mezi x=1 a x=2 (nebo u=1 a u=2) jsou různě velké.
Vskutku, hranice by neměly zůstat stejné. Abychom našli nové hranice, tak musíme najít hodnoty u, které odpovídají x2+1 pro x=1 a x=2:
  • Dolní hranice: (1)2+1=2
  • Horní hranice: (2)2+1=5
Nyní můžeme provést substituci správně:
122x(x2+1)3dx=25(u)3du
y=u3 je nakresleno s označenou plochou od u=2 do u=5. Teď vidíme, že plochy vypadají zhruba stejně (ve skutečnosti mají přesně stejnou velikost, ale to na pohled nepoznáme).
A teď už můžeme vyřešit integrál s proměnnou u:
25u3du=[u44]25=544244=152,25
Pamatuj si: Když použijeme substituci pro určitý integrál, tak musíme vždy přepočítat hranice integrálu.
Příklad 1
Eliška měla vypočítat 15(2x+1)(x2+x)3dx. Toto je její postup:
Krok 1: Zavedení substituce u=x2+x
Krok 2: du=(2x+1)dx
Krok 3:
15(2x+1)(x2+x)3dx=15u3du
Krok 4:
15u3du=[u44]15=544144=156
Je její postup správně? Pokud ne, tak jakou chybu udělala?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2
1215x2(x37)4dx=?
Vyber 1 odpověď:

Chceš si to víc procvičit? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.