Hlavní obsah

Substituce pro určitý integrál

Když používáme substituci pro určitý integrál, postup je skoro stejný jako u neurčitého integrálu, jen je v něm krok navíc: dosazení mezí do integrálu. Ukážeme si, co to znamená u výpočtu

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x

Všimni si, že

2 x

je derivace

x^{2} + 1

, takže se hodí substituce. Do substituce tedy dáme

u = x^{2} + 1

, protože pak

d u = 2 x d x

. Nyní to dosadíme:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} (u)^{3} d u

Počkej chvilku! Meze integrálu platily pro

x

, ne pro

u

. Představ si to na grafu. Chceme obsah plochy pod křivkou

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

mezi

x = 1

x = 2

Teď jsme změnili křivku na

y = u^{3}

, proč by meze měly zůstat stejné?

Vskutku, hranice by neměly zůstat stejné. Abychom našli nové hranice, tak musíme najít hodnoty

u

, které odpovídají

x^{2} + 1

pro

x = 1

x = 2

Dolní hranice: $(1)^{2} + 1 = 2$ ‍
Horní hranice: $(2)^{2} + 1 = 5$ ‍

Nyní můžeme provést substituci správně:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{2}^{5} (u)^{3} d u

y = u^{3}

je nakresleno s označenou plochou od

u = 2

u = 5

. Teď vidíme, že plochy vypadají zhruba stejně (ve skutečnosti mají přesně stejnou velikost, ale to na pohled nepoznáme).

A teď už můžeme vyřešit integrál s proměnnou

u

\begin{aligned} \int_{2}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{2}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152, 25 \end{aligned}

Pamatuj si: Když použijeme substituci pro určitý integrál, tak musíme vždy přepočítat hranice integrálu.

Příklad 1

Eliška měla vypočítat

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x

. Toto je její postup:

Krok 1: Zavedení substituce

u = x^{2} + x

Krok 2:

d u = (2 x + 1) d x

Krok 3:

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x = \int_{1}^{5} u^{3} d u

Krok 4:

\begin{aligned} \int_{1}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} \\ = 156 \end{aligned}

Je její postup správně? Pokud ne, tak jakou chybu udělala?

Příklad 2

\int_{1}^{2} 15 x^{2} (x^{3} - 7)^{4} d x = ?

Chceš si to víc procvičit? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Integrální počet

Kurz: Integrální počet > Kapitola 2

Chceš se zapojit do diskuze?