If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Substituce pro určitý integrál

Když používáme substituci pro určitý integrál, postup je skoro stejný jako u neurčitého integrálu, jen je v něm krok navíc: dosazení mezí do integrálu. Ukážeme si, co to znamená u výpočtuintegral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab.
Všimni si, že start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab je derivace start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, takže se hodí substituce. Do substituce tedy dáme start color #1fab54, u, equals, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, protože pak start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Nyní to dosadíme:
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
Počkej chvilku! Meze integrálu platily pro x, ne pro u. Představ si to na grafu. Chceme obsah plochy pod křivkou start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd mezi x, equals, 1 a x, equals, 2.
Nakreslená funkce y = 2 x levá závorka x na druhou plus 1 pravá závorka na třetí. X-ová osa jde z 0 do 3. Graf je křivka. Křivka začíná v druhém kvadrantu, pokračuje nahoru od x-ové osy do bodu [2; 500]. Plocha mezi křivkou a x-ovou osou mezi x=1 a x=2 je vybarvená.
Teď jsme změnili křivku na start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff, proč by meze měly zůstat stejné?
Grafy funkcí y = 2x levá závorka x na druhou plus 1 pravá závorka na třetí a y rovno u na třetí. Graf funkce y rovno u na třetí začíná v druhém kvadrantu, jde nahoru od osy x a končí v bodě [3;27].
Obě funkce start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd a start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff jsou nakreslené. Vidíš, že plochy pod křivkou mezi x, equals, 1 a x, equals, 2 (nebo u, equals, 1 a u, equals, 2) jsou různě velké.
Vskutku, hranice by neměly zůstat stejné. Abychom našli nové hranice, tak musíme najít hodnoty start color #1fab54, u, end color #1fab54, které odpovídají start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54 pro x, equals, start color #ca337c, 1, end color #ca337c a x, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c:
  • Dolní hranice: left parenthesis, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c
  • Horní hranice: left parenthesis, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c
Nyní můžeme provést substituci správně:
integral, start subscript, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end superscript, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, end superscript, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
Funkce y = 2x levá závorka x na druhou + 1 pravá závorka na třetí a y= u na druhou jsou zakreslené v grafu. X-ová osa jde z minus 1 do 6. Každá funkce se vzdaluje od x-ové osy. První funkce končí v bodě [2;500]. Plocha mezi křivkou a x-ovou osou mezi x=1 a x=2 je vybarvená. Druhý funkce končí v bodě [6;210]. Plocha mezi křivkou a x-vou osou mezi x=1 a x=5 je vybarvená. Obě plochy vypadají stejně velké.
start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff je nakresleno s označenou plochou od u, equals, 2 do u, equals, 5. Teď vidíme, že plochy vypadají zhruba stejně (ve skutečnosti mají přesně stejnou velikost, ale to na pohled nepoznáme).
A teď už můžeme vyřešit integrál s proměnnou u:
25u3du=[u44]25=544244=152,25\begin{aligned} \displaystyle\int_{2}^5 u^3\,du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_{2}^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{2^4}{4} \\\\ &=152{,}25 \end{aligned}
Pamatuj si: Když použijeme substituci pro určitý integrál, tak musíme vždy přepočítat hranice integrálu.
Příklad 1
Eliška měla vypočítat integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x. Toto je její postup:
Krok 1: Zavedení substituce u, equals, x, squared, plus, x
Krok 2: d, u, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, d, x
Krok 3:
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, u, cubed, d, u
Krok 4:
15u3du=[u44]15=544144=156\begin{aligned} \displaystyle\int_1^5 u^3du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{1^4}{4} \\\\ &=156 \end{aligned}
Je její postup správně? Pokud ne, tak jakou chybu udělala?
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, 15, x, squared, left parenthesis, x, cubed, minus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, d, x, equals, question mark
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Chceš si to víc procvičit? Zkus toto cvičení.