Substituce: dvojitá substituce

Zkusme vyřešit integrál cos(5x) lomeno 'e na sin(5x)', krát dx. Za oknem mám vránu, snad se tedy budu soustředit. Bude vhodná substituce? Nejdříve vás asi napadne položit 'u' rovno sin(5x). Tady nahoře pak máme něco podobné 'du'. Ověřme si to. 'du podle dx' bude rovno… Derivace složené funkce. Derivace 5x je 5, krát derivace sin(5x), to je cos(5x). Ve tvaru diferenciálu: 'du' je rovno 5 krát cos(5x) krát 'dx'. Tady to není zcela úplně 'du', máme jen cos(5x) dx. Tady mi chybí 'dx'. Máme cos(5x) dx, ale potřebujeme 5 krát cos(5x) dx. Víme však, jak to vyřešit. Vynásobíme to 5 a vydělíme to 5. (1 lomeno 5) krát 5 je 1, nezměníme tedy hodnotu výrazu. Uděláme-li to tak, je zcela jasné, že máme 'u' i 'du'. Zakroužkuji to modře. 'du' je 5 krát cos(5x) dx. Celé to tedy přepíšeme. (1 lomeno 5) fialově… Snad neslyšíte tu vránu za oknem, začíná to být otravné. (1 lomeno 5) krát integrál (1 lomeno 'e na u') krát 'du'. Jak spočítáme tento integrál? Možná vás pokouší… Co byste udělali? Ještě to není úplně snadné. Mohu to přepsat na (1 lomeno 5) krát integrál 'e na -u' krát 'du'. Asi vás napadne provést další substituci. Už jsme použili písmeno 'u', nyní tedy použijeme 'w'. Možná jste schopni to spočítat v hlavě, ale rozepíšu to, aby to bylo jasné. Bylo by fajn, kdyby tu bylo 'e na u', neboť integrál 'e na u' je 'e na u'. Dostaňme to tedy do tvaru, kde nebude v mocniteli znaménko minus. Označme tedy 'w' jako '-u'. 'dw podle du' je tedy -1. Ve tvaru diferenciálu: 'dw' je -1 krát 'du', tedy '-du'. Toto je tedy 'w', ale máme tu někde 'dw'? Máme jen 'du', nemáme tu znaménko minus. Můžeme si ho tu však přidat, ale pak to musíme i venku vynásobit -1. -1 krát -1 je +1, nezměnili jsme hodnotu. Musíme to tak udělat, aby to dávalo smysl. Nebo takto, -1 sem a -1 také sem. Toto -1 krát 'du', což je vlastně '-du', je přesně tady. Bude to tedy rovno (-1 lomeno 5) krát integrál 'e na w' krát dw. Teď se vše zjednodušilo, víme, čemu je to rovno v proměnné 'w'. Je to (-1 lomeno 5) krát 'e na w' plus nějaké C. Teď jen dosadíme. 'w' je rovno '-u'. Je to tedy (-1 lomeno 5) krát 'e na -u' plus nějaké C. Ještě však nejsme hotovi. Víme, že 'u' je rovno sin(5x). Je to tedy (-1 lomeno 5) krát 'e na -sin(5x)' plus nějaké C. Bylo to možné spočítat jedinou substitucí, ale to bychom museli vidět o krok napřed. Nemusíte se cítit špatně, že jste to neviděli hned, ale mohli jsme to udělat i jinak. Tento integrál jsme mohli napsat jako cos(5x) krát 'e na -sin(5x)' krát 'dx'. V tomto případě jsme mohli za 'u' vzít -sin(5x), 'du' by pak bylo rovno -5 krát cos(5x) krát 'dx'. Nemáme zde -5, ale můžeme si to zde vytvořit. Celé to vynásobíme -5 krát (-1 lomeno 5). Okamžitě by to pak integrál zjednodušilo do tvaru (-1 lomeno 5) krát integrál… -5 krát cos(5x) dx, to je 'du', krát 'e na u'. Toto celé je teď v tomto případě 'u'. Kdybychom udělali tuto substituci, okamžitě bychom dostali náš výsledek. Zintegrujeme toto… (-1 lomeno 5) krát 'e na u' plus C. 'u' je rovno -sin(5x), je to tedy (-1 lomeno 5) krát 'e na -sin(5x)' plus C. A jsme hotovi! Toto je tedy rychlejší, jednodušší a po čase to zvládnete i zpaměti. Není to špatně, položit 'u' rovno sin(5x), jen musíte udělat jednu substituci navíc. Video jsem vytvořil navzdory vráně za oknem.