Substituce: násobení konstantou

Neurčitý integrál druhé odmocniny z (7x plus 9) dx. Má první otázka zní, lze použít substituci? Přirozeně by nás napadlo označit 7x plus 9 jako 'u', ale vidíme tu derivaci tohoto výrazu? Podívejme se, bude-li 'u' rovno 7x plus 9, jaká bude derivace 'u' podle 'x'? Derivace 'u' podle 'x' by byla 7. Derivace 7x je 7, derivace 9 je 0. Vidíme tu tedy někde 7? Nevidíme. Ale co můžeme udělat, abychom ji tu měli a zároveň nezměnili hodnotu integrálu? U integrálů je dobré to, že čísla se snadno dostávají z a do integrálů. Pro připomenutí, máme-li integrál 'a' krát f(x) dx, je to stejné jako 'a' krát integrál f(x) dx. Násobím-li integrand nějakým číslem, mohu to číslo „vytknout“ před integrál. Dám to tedy bokem. Víme-li to, můžeme to něčím vydělit a vynásobit tak, abychom tu dostali 7? Můžeme to vynásobit a vydělit 7. Přepišme tedy původní integrál. Nakreslím tu šipku, abychom to tu obešli. Integrál z (1 lomeno 7) krát 7 krát odmocnina z (7x plus 9) dx. (1 lomeno 7) tedy můžeme vytknout před integrál, chceme-li. (1 lomeno 7) krát integrál z 7 krát odmocnina (7x plus 9) dx. Pokud nyní bude 'u' rovno 7x plus 9, máme tu někde derivaci tohoto výrazu? Jistě! 7 máme přímo zde, víme, že 'du' ve tvaru diferenciálu… 'du' je rovno 7 krát dx. Tato část je rovna 'du'. 'u' bude 7x plus 9. Přepišme integrál do proměnných 'u'. Bude to (1 lomeno 7) krát integrál z… 7 dám na konec, 7 dx je 'du'. Píšu odmocninu z 'u' krát 'du'. Odmocninu z 'u' mohu přepsat na 'u na (1 lomeno 2)', je to pak snazší. Bude to rovno (1 lomeno 7) krát integrál z 'u na (1 lomeno 2)' krát 'du'. Označím to barevně stejně jako předtím. Jaká je primitivní funkce k 'u na (1 lomeno 2)'? Zvyšujeme mocninu 'u' o 1, bude to tedy… Nesmím zapomenout na (1 lomeno 7). (1 lomeno 7) krát 'u na (3 lomeno 2)', to vynásobíme převrácenou hodnotou, tedy krát (2 lomeno 3). Chci abyste si ověřili, že derivace (2 lomeno 3) krát 'u na (3 lomeno 2) je opravdu 'u na (1 lomeno 2)'. Jelikož násobíme celý integrál, přidáme sem i konstantu C. Roznásobme (1 lomeno 7). (1 lomeno 7) krát (2 lomeno 3) je (2 lomeno 21), (1 lomeno 7) krát konstanta je nějaká jiná konstanta. Mohl bych je od sebe rozlišit indexem, ale je to prostě jen nějaká konstanta. A jsme hotovi… Vlastně nejsme. Stále máme výsledek v proměnné 'u', dosaďme tedy za 'u'. (2 lomeno 21) krát 'u na (3 lomeno 2)' a víme, že 'u' je (7x plus 9). Použiji novou barvu, aby to nebylo tak jednotvárné. (2 lomeno 21) krát '(7x plus 9) na (3 lomeno 2)' plus C. A jsme hotovi! Tento integrál jsme, ačkoliv to nebylo ihned zřejmé, vyřešili pomocí substituce.