Substituce: racionální funkce

Máme neurčitý integrál 4 krát 'x na třetí' lomeno ('x na čtvrtou' plus 7) krát dx. Jak to vyřešíme? Zdá se to být složité. Klíčové je si uvědomit, že máme tento výraz 'x na čtvrtou' plus 7 a zároveň i derivaci tohoto výrazu, ta je rovna 4 krát 'x na třetí'. Derivace 'x na čtvrtou' je 4 krát 'x na třetí', derivace 7 je 0. To napovídá, že bychom měli použít substituci. Substituce. Použijeme substituci. Čemu chceme, aby se rovnalo 'u'? Zamyslete se nad tím, jakmile přijdete na toto, zbytek je jen strojové počítání. Chceme, aby se 'u' rovnalo tomu výrazu, jehož derivace se tu vyskytuje. 'u' tedy bude 'x na čtvrtou' plus 7. Čemu bude rovno 'du'? 'du' bude derivace 'x na čtvrtou' plus 7 podle proměnné 'x', tedy (4 krát 'x na třetí' plus 0) krát dx, zapsal jsem to ve tvaru diferenciálu. Je to naprosto ekvivalentní tvrzení, že 'du lomeno dx' je 4 krát 'x na třetí'. 'du lomeno dx' je způsob zápisu derivace 'u' podle proměnné 'x'. Není to formálně zlomek, ale často se s tím dá pseudo-manipulovat jako se zlomky. Chcete-li to převést do tohoto tvaru, můžete předstírat, že násobíte 'dx'. Jsou ale ekvivalentní a my chceme tvar diferenciálu, abychom mohli využít substituce. Proč je to užitečné? Přepíšu to zde, aby to bylo zřejmé. Původní integrál přepíšeme na (4 krát 'x na třetí' krát dx) lomeno ('x na čtvrtou' plus 7). Teď je jasné, co je 'du' a co je 'u'. 'u' je 'x na čtvrtou' plus 7, 'du' je 4 krát 'x na třetí' krát dx. Původní integrál tedy přepíšu. To fialové je 'du'. Držím se barevného rozlišení. …lomeno ('x na čtvrtou' plus 7), což je 'u'. Nebo také integrál z (1 lomeno 'u') krát 'du'. Co je integrál z (1 lomeno 'u') krát 'du'? To je přirozený logaritmus absolutní hodnoty… Absolutní hodnota je zde proto, aby to platilo i pro záporná čísla. Funguje to, v jiném videu vám to ukážu. Přirozený logaritmus absolutní hodnoty 'u' a pak tu můžeme mít nějakou konstantu. To je výsledek jako funkce 'u'. Teď za 'u' dosadíme. Co se stane pak? Zůstane nám přirozený logaritmus absolutní hodnoty ('x na čtvrtou' plus 7). Nesmíme zapomenout na C A jsme hotovi!