Hlavní obsah
Integrální počet
Kurz: Integrální počet > Kapitola 2
Lekce 1: Integrace pomocí substituce- Úvod do substituce
- Substituce: násobení konstantou
- Substituce: definice proměnné u
- Substituce: definovaná proměnné u (více příkladů)
- Substituce
- Substituce: definice proměnné u
- Substituce: racionální funkce
- Substituce: logaritmická funkce
- Použití substituce
- Substituce: neurčitý integrál
- Substituce: určitý integrál
- Substituce pro určitý integrál
- Substituce: určitý integrál
- Substituce: určitý integrál exponenciální funkce
- Substituce: zvláštní použití
- Substituce: dvojitá substituce
- Substituce: složená funkce
Substituce: definovaná proměnné u (více příkladů)
Nejdůležitější část při substituci je správná definice proměnné u.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se ještě víc
procvičíme použití substituce, kdy se hodí ji použít a jak
správně definovat proměnnou "u". Mějme neurčitý integrál (přirozeného
logaritmu z x) na desátou, to celé děleno x dx. Hodí se použít substituci a pokud ano,
tak jak definovat proměnnou "u"? Klíč k úspěchu je vidět, jestli někde ve
výrazu mám funkci a také i její derivaci. A možná jste rovnou poznali, že derivace přirozeného
logaritmu z x je 1 lomeno x. Aby to bylo lépe vidět, tak můžu tento integrál zapsat jako
(ln(x) na desátou) krát 1 lomeno x dx. Nyní to je vidět lépe. Máme funkci přirozený logaritmus z x
umocněnou na desátou, ale taky tady máme
její derivaci, 1 lomeno x. Takže můžeme použít substituci. Můžeme definovat "u" jako
přirozený logaritmus z x. Vybral jsem přirozený logaritmus z x,
protože vidím tady jeho derivaci. A pak můžu říct, že
du lomeno dx je rovno 1 lomeno x. Což znamená, že du
je rovno 1 lomeno x dx. A tady to máme. Toto je du
a toto je naše "u". Krásně se to zjednodušilo na
integrál z (u na desátou) du. Dále bychom našli primitivní funkci a
pak udělali zpětnou substituci ln(x) za u, abychom získali neurčitý integrál
vzhledem k proměnné x. Pojďme na další. Mějme integrál… Zkusme udělat něco zajímavého. Zkusme integrovat
tangens z x dx. Hodí se sem substituce? Nejdřív si řeknete, že prostě máme
tang(x), tak kde je nějaká derivace? A to zajímavé právě je, že můžeme
tangens přepsat pomocí sinu a kosinu. Takže to můžeme zapsat jako
integrál ze sin(x) lomeno cos(x) dx. A nyní si možná říkáte,
na co použijeme substituci? Můžeme se na to podívat
z několik pohledů. Můžeme říci, že derivace sin(x) je cos(x), ale to pak dělíme derivací,
místo abychom násobili. Zajímavější je říct, že
derivace cos(x) je −sin(x). Sice nemáme −sin(x),
ale to není tak těžké získat. Prostě budeme dvakrát násobit −1. Můžeme říct, že máme −(−(sin(x))
a první minus strčit před integrál. To plyne z vlastností integrálů. Dáme jedno znaménko minus ven
a jedno znaménko minus dovnitř, takže získáme −(cos(x)). A teď to je zajímavé. Ještě to trochu upravím. Je to rovno minus integrál
z 1 lomeno cos(x) krát (−sin(x)) dx. Napadne vás nyní, jak bychom
mohli definovat proměnnou "u"? Ve jmenovateli máme cos(x),
a máme jeho derivaci, tak co kdybychom
položili "u" rovno cos(x)? "U" je rovno cos(x), pak du lomeno dx je rovno −sin(x). Nebo můžeme říci, že
du je rovno −sin(x) dx. Takže máme du a "u". Takže jsme to celé zjednodušili
na neurčitý integrál z 1 lomeno "u" du. Což je mnohem jednodušší spočítat, a poté musíme opět
dosadit zpět cos(x) za u.