Substituce: logaritmická funkce

Jsme tváří v tvář tomuto hrozivému integrálu π lomeno [x krát ln(x)] dx. Co s tím můžeme dělat? Je zde možná substituce? Na to bychom potřebovali výraz a jeho derivaci. Co kdybychom označili 'u' rovno ln(x)? Co by v takovém případě bylo 'du'? 'du' bude derivace ln(x) podle proměnné 'x', což je (1 lomeno x) dx. To je ekvivalentní s tvrzením, že 'du podle dx' je (1 lomeno x). Vidíme v původním výrazu (1 lomeno x) dx? Trochu se schovává. Není to ihned vidět, ale toto 'x' ve jmenovateli, to je vlastně (1 lomeno x). Přepíšu tedy původní integrál, aby to dávalo smysl. Nejdříve napíšu π… Udělám to nějakou novou barvou. …π napíšu takto před integrál. Integrál bude z… Nejdříve napíšu přirozený logaritmus. [1 lomeno ln(x)] krát (1 lomeno x) dx. Teď je to jasnější. Jsou to ekvivalentní tvrzení. Nyní je však jasné, že substituce možná je. 'u' bude rovno ln(x). 'du' bude (1 lomeno x) dx. Přepišme integrál. Bude roven π krát integrál (1 lomeno u)… 'u' je ln(x). …krát 'du'. Teď je to přímočaré. Jaká je primitivní funkce k tomuto? Něco podobného jsme už několikrát dělali. To bude rovno π krát logaritmus absolutní hodnoty 'u'. Abychom mohli brát v potaz i záporná 'u'. …plus C. Jsme téměř v cíli, jen dosadíme za 'u'. 'u' je ln(x). Dostáváme tento pěkně vypadající výsledek. Vypočítali jsme tento integrál. Je roven π krát logaritmus absolutní hodnoty logaritmu 'x' plus C. Můžeme předpokládat, že původní výraz je definován jen pro kladná 'x', neboť tu je logaritmus bez absolutní hodnoty. Takže bychom tu mohli nechat jen ln(x), ale takto to také bude fungovat, neboť bereme absolutní hodnotu tohoto, kde ln(x) může být záporné číslo. Například pokud by to byl logaritmus jedné poloviny, nebo čehokoliv jiného. Jsme hotovi. Vypočítali jsme tento hrozivý integrál.