Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 15: Limity v nevlastních bodech- Úvod do limit v nevlastních bodech
- Funkce se stejnou limitou v nevlastním bodě
- Limity v nevlastních bodech graficky
- Limity v nevlastních bodech racionálních funkcí (část 1)
- Limity v nevlastních bodech racionálních funkcí (část 2)
- Limity v nevlastních bodech racionálních funkcí
- Limity v nevlastních bodech racionálních funkcí s odmocninami (lichá mocnina)
- Limity v nevlastních bodech racionálních funkcí s odmocninami (sudá mocnina)
- Limity v nevlastních bodech racionálních funkcí s odmocninami
- Limity v nevlastních bodech racionálních výrazů s goniometrickými funkcemi
- Limity v nevlastních bodech racionálních výrazů s goniometrickými funkcemi (neexistující limita)
- Limity v nevlastních bodech racionálních výrazů s goniometrickými funkcemi
- Limita v nevlastním bodě rozdílu dvou funkcí
Limita v nevlastním bodě rozdílu dvou funkcí
Spočítáme si limitu v nevlastním bodě výrazu √(100+x)-√(x). Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Pokusme se najít limitu odmocniny
z (100 plus x) minus odmocnina z ‚x‘ pro ‚x‘ jdoucí do nekonečna. Nejdříve pozastavte video
a zkuste si to sami. Tak, předpokládám,
že už jste to zkusili. Nejdříve o tom zkusme popřemýšlet, než tím
začneme nějak algebraicky manipulovat. Co se bude dít, když ‚x‘ bude
opravdu hodně velké? Když se bude blížit nekonečnu? I když 100 je celkem velké číslo,
‚x‘ bude nesrovnatelně větší. Bude nabývat hodnot miliónů a triliónů
a milióny triliónů a ještě větší, takže asi chápete, že význam té 100 pod
odmocninou bude zanedbatelný. Když se ‚x‘ blíží nekonečnu, odmocnina z (100 plus x) bude
v podstatě to samé jako odmocnina z ‚x‘. Takže pro opravdu velká ‚x‘, můžeme
uvažovat, že odmocnina z (100 plus x) bude přibližně rovna odmocnině z ‚x‘. Ve skutečnosti zacházíme do
opravdu obrovských čísel. Není nic většího než nekonečno. Pro pořád zvětšující se ‚x‘,
se tyto dvě věci budou přibližně rovnat. Takže je rozumné domnívat se, že limita
pro ‚x‘ jdoucí do nekonečna bude 0. Budeme odečítat tento výraz od jiného,
který je mu velmi podobný. Ale pojďme to zkusit matematicky
odvodit místo toho, abychom se oháněli ničím
nepodloženým argumentem o tom, že ta 100 nehraje žádnou roli,
když je ‚x‘ opravdu hodně velké. Přepíšu tento výraz. Podíváme se, jestli ho
umíme nějak upravit. Takže máme odmocninu
ze (100 plus x) mínus odmocnina z ‚x‘ Jedna věc, která by vás mohla napadnout,
kdykoliv vidíte odmocninu mínus odmocninu, je, násobit to sdruženým výrazem
a nějak se těch odmocnin zbavit, nebo aspoň ten výraz nějak pozměnit,
aby nám to usnadnilo hledání jeho limity. Samozřejmě to nemůžeme
násobit ničím libovolným, protože bychom změnili
hodnotu toho výrazu, můžeme ho vynásobit pouze jedničkou. Pojďme tedy násobit jedničkou ve tvaru
sdruženého výrazu k tomu našemu. Vynásobíme to odmocninou ze (100 plus x)
plus odmocnina z ‚x‘ děleno tím samým… odmocninou ze (100 plus x)
plus odmocnina z ‚x‘ Tohle je samozřejmě rovno jedné. Důvod proč jsme chtěli
násobit sdruženým výrazem, je, abychom mohli
využít rozdílu čtverců. Takže se to bude rovnat… Ve jmenovateli budeme mít odmocninu
ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘ a v čitateli bude odmocnina
ze (100 plus ‚x‘) mínus odmocnina z ‚x‘ krát odmocnina ze (100 plus x)
plus odmocnina z ‚x‘. Tady vlastně máme vzorec
(a plus b) krát (a minus b), což je rozdíl čtverců. Takže tato horní část se bude rovnat… Udělám to jinou barvou. Bude se to rovnat tomuto členu na druhou
minus tento člen na druhou. Odmocnina ze (100 plus x) na druhou
je rovna prostě 100 plus ‚x‘. A odmocnina z ‚x‘ na druhou je prostě ‚x‘. Takže -x… a vidíme, že se
nám to hezky zjednodušuje. …To celé lomeno odmocninou
ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘ ‚x‘ minus ‚x‘ se vyruší a zbyde nám 100 děleno odmocnina
ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘. Takže původní limitu můžeme přepsat jako
limitu pro ‚x‘ jdoucí do nekonečna… A místo původního výrazu
napíšeme náš upravený. Takže limita pro ‚x‘ jdoucí
do nekonečna výrazu: 100 děleno odmocninou ze
(100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘. Teď je to mnohem jasnější, máme konstantní
čitatel, ten se pořád rovná 100, ale jmenovatel se pořád bude zvětšovat.
Neomezeně roste do nekonečna. A pokud se zvětšuje jmenovatel,
zatímco čitatel zůstává stejný, máte zafixovaný čitatel s nekonečně
se zvětšujícím jmenovatelem, a takový výraz se bude blížit nule,
což odpovídá našemu prvotnímu předpokladu.