Limita v nevlastním bodě rozdílu dvou funkcí

Pokusme se najít limitu odmocniny z (100 plus x) minus odmocnina z ‚x‘ pro ‚x‘ jdoucí do nekonečna. Nejdříve pozastavte video a zkuste si to sami. Tak, předpokládám, že už jste to zkusili. Nejdříve o tom zkusme popřemýšlet, než tím začneme nějak algebraicky manipulovat. Co se bude dít, když ‚x‘ bude opravdu hodně velké? Když se bude blížit nekonečnu? I když 100 je celkem velké číslo, ‚x‘ bude nesrovnatelně větší. Bude nabývat hodnot miliónů a triliónů a milióny triliónů a ještě větší, takže asi chápete, že význam té 100 pod odmocninou bude zanedbatelný. Když se ‚x‘ blíží nekonečnu, odmocnina z (100 plus x) bude v podstatě to samé jako odmocnina z ‚x‘. Takže pro opravdu velká ‚x‘, můžeme uvažovat, že odmocnina z (100 plus x) bude přibližně rovna odmocnině z ‚x‘. Ve skutečnosti zacházíme do opravdu obrovských čísel. Není nic většího než nekonečno. Pro pořád zvětšující se ‚x‘, se tyto dvě věci budou přibližně rovnat. Takže je rozumné domnívat se, že limita pro ‚x‘ jdoucí do nekonečna bude 0. Budeme odečítat tento výraz od jiného, který je mu velmi podobný. Ale pojďme to zkusit matematicky odvodit místo toho, abychom se oháněli ničím nepodloženým argumentem o tom, že ta 100 nehraje žádnou roli, když je ‚x‘ opravdu hodně velké. Přepíšu tento výraz. Podíváme se, jestli ho umíme nějak upravit. Takže máme odmocninu ze (100 plus x) mínus odmocnina z ‚x‘ Jedna věc, která by vás mohla napadnout, kdykoliv vidíte odmocninu mínus odmocninu, je, násobit to sdruženým výrazem a nějak se těch odmocnin zbavit, nebo aspoň ten výraz nějak pozměnit, aby nám to usnadnilo hledání jeho limity. Samozřejmě to nemůžeme násobit ničím libovolným, protože bychom změnili hodnotu toho výrazu, můžeme ho vynásobit pouze jedničkou. Pojďme tedy násobit jedničkou ve tvaru sdruženého výrazu k tomu našemu. Vynásobíme to odmocninou ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘ děleno tím samým… odmocninou ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘ Tohle je samozřejmě rovno jedné. Důvod proč jsme chtěli násobit sdruženým výrazem, je, abychom mohli využít rozdílu čtverců. Takže se to bude rovnat… Ve jmenovateli budeme mít odmocninu ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘ a v čitateli bude odmocnina ze (100 plus ‚x‘) mínus odmocnina z ‚x‘ krát odmocnina ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘. Tady vlastně máme vzorec (a plus b) krát (a minus b), což je rozdíl čtverců. Takže tato horní část se bude rovnat… Udělám to jinou barvou. Bude se to rovnat tomuto členu na druhou minus tento člen na druhou. Odmocnina ze (100 plus x) na druhou je rovna prostě 100 plus ‚x‘. A odmocnina z ‚x‘ na druhou je prostě ‚x‘. Takže -x… a vidíme, že se nám to hezky zjednodušuje. …To celé lomeno odmocninou ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘ ‚x‘ minus ‚x‘ se vyruší a zbyde nám 100 děleno odmocnina ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘. Takže původní limitu můžeme přepsat jako limitu pro ‚x‘ jdoucí do nekonečna… A místo původního výrazu napíšeme náš upravený. Takže limita pro ‚x‘ jdoucí do nekonečna výrazu: 100 děleno odmocninou ze (100 plus x) plus odmocnina z ‚x‘. Teď je to mnohem jasnější, máme konstantní čitatel, ten se pořád rovná 100, ale jmenovatel se pořád bude zvětšovat. Neomezeně roste do nekonečna. A pokud se zvětšuje jmenovatel, zatímco čitatel zůstává stejný, máte zafixovaný čitatel s nekonečně se zvětšujícím jmenovatelem, a takový výraz se bude blížit nule, což odpovídá našemu prvotnímu předpokladu.