Limity v nevlastních bodech racionálních funkcí (část 1)

Máme dáno f(x) rovno 4x^5 minus 3x^2 plus 3 to celé lomeno 6x^5 minus 100x^2 minus 10. Rádi bychom zjistili limitu f(x), pokud se x blíží k nekonečnu. Můžeme postupovat různě. Například dosazovat za ‚x‘ stále větší čísla a pozorovat, jestli se výsledek blíží k nějaké hodnotě, nebo výsledek získat úvahou. Při úvaze budeme sledovat chování čitatele a jmenovatele pro hodně velká x. Pro velká x se člen 4x^5 v čitateli stane mnohem významnější než vše ostatní. Čísla umocněná na druhou rostou rychle, ale čísla umocněná na pátou porostou ještě mnohem rychleji. Stejně tak ve jmenovateli, člen s nejvyšší mocninou, tedy 6x^5 poroste mnohem mnohem rychleji než ostatní členy. I když je zde záporný koeficient -100, ale pokud něco umocníte na pátou, tak to poroste mnohem rychleji než x na druhou. Pro velmi vysoká x se hodnota výrazu bude blížit 4x^5 lomeno 6x^5 pro velmi velká x neboli pro x blížící se k nekonečnu. A jak toto nadále zjednodušit? Máme x^5 děleno x^5. Obojí poroste společně. Takže se vzájemně vykrátí a nám zůstanou 2/3. Můžeme prohlásit, že pro limitu f(x), kde ‚x‘ se blíží k nekonečnu, budou s rostoucím x tyto členy méně a méně významné a výsledek se bude blížit 2/3. Ověřme si na grafu, že vše souhlasí. Tvrdíme, že máme vodorovnou (horizontální) asymptotu v hodnotě y je rovno 2/3. Na tomto grafu získaném z Wolfram Alpha lze vidět, že pro rostoucí x se f(x) skutečně přibližuje k hodnotě 2/3. Zdá se, že zde máme vodorovnou asymptotu… Nakreslím ji trochu lépe… Máme vodorovnou asymptotu v hodnotě 2/3. Nakreslím ji, jak nejlépe dokáži… Tady je y rovno 2/3. Pokud se x blíží k nekonečnu, y se přibližuje k hodnotě 2/3. Z grafu se zdá, že totéž se děje i ze směru zezdola, kde se x blíží k -nekonečnu. Limita f(x) pro x blížící se k -nekonečnu se zdá být rovněž 2/3. Použijeme úplně stejnou logiku. Když x nabývá velmi záporných hodnot, tedy je čím dál víc a víc vlevo na číselné ose, významné budou pouze členy 4x^5 a 6x ^5. Platí to jak pro velmi velká x, tak i pro velmi záporná x. Takže můžeme říct, že to platí i pro x blížící se k -nekonečnu. Významné členy x^5 děleno x^5 se tedy vykrátí, čímž dostaneme hodnotu 2/3. Na grafu tedy vidíte vodorovnou asymptotu y je rovno 2/3. Limita f(x), kde se x blíží k nekonečnu, je rovna 2/3. A limita f(x), kde se x blíží k -nekonečnu, je rovna 2/3. Obecný postup je tedy zjistit, které výrazy jsou významné a zaměřit se pouze na ně.