Limity v nevlastních bodech racionálních výrazů s goniometrickými funkcemi (neexistující limita)

Podívejme se, jestli najdeme limitu z (x na druhou plus 1) děleno sin(x) pro x jdoucí k nekonečnu. Zamysleme se nad tím, co se děje v čitateli a ve jmenovateli. Takže v čitateli máme x na druhou plus 1. Když se x zvětšuje a zvětšuje, když se blíží nekonečnu, no máme to tu na druhou, takže ten čitatel bude růst ještě rychleji. Takže tohle půjde do nekonečna pro x jdoucí do nekonečna. A co se děje tady ve jmenovateli? No, sinus z x, to už jsme někdy viděli. Sinus a kosinus jsou omezené, kmitají. Kmitají mezi -1 a 1, takže -1 bude menší nebo rovno sin(x) a to bude menší nebo rovno 1. Takže ten jmenovatel bude kmitat. Takže co nám to říká? No možná bychom chtěli říct, že čitatel je neomezený a jde do nekonečna a jmenovatel jen kmitá mezi těmito hodnotami. Takže to možná půjde celé do nekonečna. Ale musíme být opatrní, protože jmenovatel se pohybuje mezi kladnými a zápornými hodnotami. Takže čitatel bude stále větší a větší a bude dělený někdy kladnou, někdy zápornou hodnotou. Takže budeme přeskakovat mezi kladným a záporným. Kladným a záporným. A taky tu máte všechny ty asymptoty. Pokaždé když sin(x) bude 0, tak budeme mít svislou asymptotu. Tahle věc nebude definovaná. Máme tyto svislé asymptoty. Bude to kmitat mezi kladným a záporným a půjde to do stále větších hodnot. Takže tahle limita neexistuje. Takže neexistuje. …neexistuje. A můžeme to vidět na grafu. Popsali jsme to slovně jen zkoumáním toho výrazu, ale je to i vidět, když se podíváme na graf, který tu mám. A je vidět, že jak se x blíží nekonečnu, jak se blíží +nekonečnu, my se… Podle toho, jaké je x, to velmi vyroste, pak je tu svislá asymptota, a pak to spadne dolů a je to záporné, svislá asymptota, a zas nahoru, dolů, nahoru, dolů. To kmitání je čím dál tím více extrémní a tyhle svislé asymptoty se objevují pravidelně. Takže je jasné, že tato limita neexistuje.