Příklad: pravděpodobnost výhry s jednou sázenkou

Máme zde další příklad s loterií. Opět doporučuji nejprve spočítat samostatně a až pak se podívat na řešení ve videu. Naším úkolem je určit pravděpodobnost, že vyhrajeme s jedinou sázenkou. Počet příznivých výsledků je tedy tato jedna sázenka a naším hlavním úkolem bude zjistit, kolik různých možností nebo kolik různých výsledků může losování mít. Vidíme, že nejprve se losuje sedm čísel z pětatřiceti a našim úkolem je uhodnout všech 7 bez ohledu na jejich pořadí. Jedná se tedy o kombinace, konkrétně sedmičlenné kombinace z třiceti pěti prvků, jejichž počet se dá určit nebo vypočítat kombinačním číslem 35 nad 7. Kromě těchto sedmi čísel musíme ještě uhodnout jedno dodatkové číslo, které se losuje zvlášť z pěti čísel, tedy počet možností nám vzroste pětinásobně, protože každá, každá sedmičíselná kombinace ještě může pokračovat pěti různými způsoby podle dodatkového čísla. Nyní už jen zbývá výrazy rozepsat, zjednodušit a vypočítat. Třicet pět nad sedmi rozepíšeme jako třicet pět faktoriál lomeno 7 faktoriál krát v závorce 35 minus 7 faktoriál. Krát 5 necháme být, s tím zatím nelze nic dělat. Stejně tak číslo jedna v čitateli také zůstává. Pojďme dále upravovat. Zlomek po kombinačním číslu. Opět zde máme typický výraz pro kombinatoriku, konkrétně 35 faktoriál lomeno 35 minus 7 faktoriál. 35 minus 7 je 28 a to znamená, že od čísla 28 dál se všechno zkrátí. Zbyde nám tak pouze část z čitatele, část delšího faktoriálu, a to je 35 krát 34 krát 33 krát 32 krát 31 krát 30 krát 29, protože dál už je výraz stejný jako ten ve jmenovateli a oba se tedy zkrátí. Také nám zde zbyde 7 faktoriál z původního jmenovatele, tedy sedm krát šest krát 5 krát 4 krát 3 krát 2. Stále beze změny zůstává krát pět. Nyní už máme všechny faktoriály rozepsané. Je na čase krátit. Číslo pět zkrátíme s číslem pět ve jmenovateli. Dále můžeme zkrátit 7 a 35. Dále šest a 30. Vypadá to, že nám tady vzniká hodně pětek. Dále 4 a 32. 3 a 33, zbyde jedenáct. A i číslo dva můžeme zkrátit s číslem 34, kde zbyde 17. Celého zlomku ve jmenovateli jsme se tak zbavili a zbývá nám velký zlomek jedna lomeno pět krát sedmnáct krát 11 krát osm krát 31, které nešlo s ničím zkrátit krát pět krát 29. Už nelze nic krátit, vezmeme si proto na pomoc kalkulačku, díky které zjistíme, že výsledná pravděpodobnost je 1 lomeno 33 milionů 622 tisíc šest set. To není zrovna vysoká šance, i kdyby si každý Čech vsadil tři sázenky a to včetně dětí, které samozřejmě sázet nemohou, tak stejně není zaručeno, že by alespoň jedna z nich byla výherní.