Kombinace: právě tři panny v pěti hodech

Opět se podíváme na házení mincí a tentokrát to vezmeme z trochu jiného konce. Budeme házet pětkrát a bude nás zajímat pravděpodobnost, že z těchto pěti hodů padnou právě tři panny. Všechny potřebné postupy už známe. Proto klidně zastavte video a zkuste si pravděpodobnost nejprve vypočítat samostatně. Opět začneme počtem všech možných výsledků tohoto pokusu. To už známe, víme, že s každým hodem mincí se počet možných výsledků zdvojnásobuje, při pěti hodech je to tedy dvě na pátou. Dále potřebujeme určit počet příznivých výsledků, tedy těch, kdy padly právě tři panny. Vezmeme to z trochu jiného úhlu. Představme si pět, pět hodů, pět pozic a tři panny, které potřebujeme umístit do těchto pěti hodů. Otázka je, kolika způsoby to lze udělat? Pojďme uvažovat postupně. Pokud umisťujeme první pannu, máme celkem pět možností, pět volných pozic. Někam ji pojďme umístit, ať si to lépe představíme, třeba sem. V tu chvíli už je jedna pozice zabraná. A když umisťujeme druhou pannu, už máme na výběr pouze čtyři volné pozice. Pojďme ji opět někam umístit, abychom dobře viděli, že při umisťování třetí panny už máme na výběr pouze tři pozice. Tím dostáváme pět krát čtyři krát tři různé způsoby, jak tři panny umístit, což je 60. No, jenže to je poněkud podezřelé číslo, protože všech možných výsledků je dvě na pátou, což je 32, tak těžko těch příznivých může být víc, 60, víc než všech možných. Problém je v tom, že jsme každé rozmístění panen počítali víckrát. Ono je totiž jedno, kterou umístíme jako první, druhou a jako třetí. Ale to jsme tady nevzali v potaz. Například zde jsme umístili panny v pořadí 1, 3, 2. Ale stejně tak jsme je mohli umístit v pořadí 1, 2, 3. Což dává stejný výsledek z hlediska házení mincí. Proto musíme zjistit, kolikrát jsme každou variantu započítali a příslušným číslem počet možností vydělit. Potřebujeme proto zjistit, kolika způsoby se dají tři panny uspořádat. To nám řekne, kolikrát jsme stejný výsledek házení mincí započítali. Například jedno uspořádání je jedna, dva, tři, další uspořádání může být 1, 3, 2; 2, 3, 1 a tak dále. Pokud nechceme všechny vypisovat, stačí provést stejnou úvahu. Při umísťování první panny číslo jedna máme na výběr tři možnosti, tři pozice kam ji umístit, u druhé panny už pouze dvě a třetí panna musí na tu pozici, na tu poslední, která zbývá. Dostáváme tedy tři krát dva krát jedna, což je šest možností. To znamená, že příznivých výsledků není šedesát, ale je to pět krát čtyři krát tři děleno tři krát dva krát jedna, což je mimochodem stejný postup, jakým bychom mohli vypočítat kombinační číslo pět nad třemi, což nás odkazuje na předchozí postup, kdy přesně takto jsme postupovali. Pravděpodobnost, že nám tak z pěti hodů padnou právě tři panny je zlomek, který má v čitateli kombinační číslo pět nad třemi, ve jmenovateli dvě na pátou, což je deset ku třiceti dvěma. A po zkrácení pět šestnáctin.