Hlavní obsah
Pravděpodobnost a kombinatorika
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 1
Lekce 3: Pravděpodobnost s použitím kombinatoriky- Pravděpodobnost pomocí kombinací
- Pravděpodobnost pomocí kombinací 2
- Určení pravděpodobnosti výčtem možných výsledků
- Kombinace: právě dvě panny ve čtyřech hodech
- Kombinace: právě tři panny v pěti hodech
- Kombinace a kombinační čísla: pravděpodobnost k orlů při n hodech
- Příklad: Obsazování pracovních pozic
- Příklad: pravděpodobnost výhry v loterii
- Příklad: pravděpodobnost výhry s jednou sázenkou
- Příklad: pravděpodobnost čtyř es při rozdávání karet
- Výpočet pravděpodobnosti pomocí variací a kombinací
- Příklad: narozeninový paradox
Kombinace a kombinační čísla: pravděpodobnost k orlů při n hodech
Na základě pozorování příkladu hodu k orlů při n hodech mincí si odvodíme, že součet všech možností vyjádřených pomocí kombinačních čísel se bude rovnat 2 na n-tou, tedy počtu všech možných výsledků. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Už jsme vyřešili několik konkrétních úloh
na házení mincí, je na čase poznatky zobecnit a všimnout si jedné zajímavé
vlastnosti kombinačních čísel. Pojďme vyřešit úlohu, která je již zadaná obecně a
ptá se nás, jaká je pravděpodobnost, že při n hodech spravedlivou mincí padne právě k
orlů. Automaticky předpokládáme, že jednotlivé
hody jsou nezávislé. Z počtu hodů jsme schopni odvodit počet všech možných
výsledků pokusu. Máme n hodů, to znamená n pozic, které mohou dopadnout buď tak, že
padne panna nebo orel na každé z těchto n pozic. To jsou vždy
dvě možnosti, jak může hod dopadnout. A vzhledem k tomu, že jednotlivé hody jsou
na sobě nezávislé, libovolnou variací těchto výsledků tak dostáváme dva krát dva
krát dva krát dva a tak dále, n dvojek vynásobených mezi sebou, neboli dvě na n-tou
možných výsledků pokusu. Nyní se podívejme na příznivé výsledky, což je právě k orlů,
které při n hodech padnou. To znamená, že pro těchto k orlů
potřebujeme vybrat k pozic. A máme na výběr n možností, n hodů. Nezáleží nám na pořadí těchto pozic, ty
jsou již dané samotným házením mincí. A proto se jedná o kombinace, které můžeme
vypočítat nebo označit kombinačním číslem n nad k. Určili jsme jak počet všech
možných výsledků, tak počet příznivých výsledků. Proto již jednoduchým dosazením
můžeme vypočítat pravděpodobnost, že padne právě k orlů při n hodech spravedlivou mincí. Výsledek je
tak zlomek, který má v čitateli počet příznivých výsledků, neboli n nad k, a ve
jmenovateli počet všech možných výsledků, neboli dvě na n-tou. Jen aby nedošlo ke
zmatení kvůli barvám, n ve jmenovateli a v čitateli je úplně stejné n a je to počet
hodů mincí. Kombinační číslo můžeme ještě rozepsat a výraz tak upravit. Kombinační
číslo n nad k je rovno n faktoriál v čitateli lomeno k faktoriál krát závorka n minus
faktoriál neboli počet všech k-členných kombinací z n prvků. Jmenovatel zůstává
stejný. Máme zde složený zlomek a to znamená, že
jmenovatel z čitatele můžeme přesunout do jmenovatele. V čitateli celého zlomku tak
zbyde pouze n faktoriál a ve jmenovateli dostáváme dvě na n-tou
krát k faktoriál krát závorka n minus k faktoriál. Vždy když napíšeme nějaký obecný vzorec, je
potřeba stanovit podmínky, za kterých platí. Tak v první řadě čísla n a k musí být
přirozená čísla. Můžeme připustit nulovou hodnotu, to také dává smysl. Ale určitě
nemůžeme mít pět a půl hodů, nebo minus čtyři hody a šest a půl orla v nich. Dále ještě
počet orlů nesmí být větší než počet hodů. To by nedávalo smysl a ve jmenovateli by
nám vyšel záporný faktoriál. Další podmínkou je tedy to, že počet orlů k musí
být menší nebo roven počtu hodů n. Jedna z krásných věcí na kombinatorice je ta, že
nám umožní odhalit některé algebraické vztahy, aniž bychom prováděli algebraické
odvození, protože kombinatorika dává těmto výrazům nějaký reálný význam, který můžeme
využít. Pojďme se podívat na všechny možné počty orlů, které mohou padnout při n hodech mincí. Postupně vypíšeme jejich počty. Žádný orel může padnout n nad 0 způsoby. 1 orel může padnout n nad 1 způsoby,
2 orli mohou padnout n nad 2 způsoby atd. Až n orlů může padnout n nad n způsoby. Více orlů už samozřejmě při n hodech padnout nemůže. Tím jsme ale vyčerpali všechny možnosti, všechny možné výsledky, jak může n hodů dopadnout. A víme, že těch je dvě na n-tou. Tzn. že když posčítáme tato kombinační čísla n nad 0, n nad 1, n nad 2 až n nad n dostaneme vždy 2 na n. Pokud bychom tento vztah chtěli odvodit algebraicky, pěkně bychom si mákli. Ale kombinatorika nám ho nabízí skoro zadarmo.