Kombinace a kombinační čísla: pravděpodobnost k orlů při n hodech

Už jsme vyřešili několik konkrétních úloh na házení mincí, je na čase poznatky zobecnit a všimnout si jedné zajímavé vlastnosti kombinačních čísel. Pojďme vyřešit úlohu, která je již zadaná obecně a ptá se nás, jaká je pravděpodobnost, že při n hodech spravedlivou mincí padne právě k orlů. Automaticky předpokládáme, že jednotlivé hody jsou nezávislé. Z počtu hodů jsme schopni odvodit počet všech možných výsledků pokusu. Máme n hodů, to znamená n pozic, které mohou dopadnout buď tak, že padne panna nebo orel na každé z těchto n pozic. To jsou vždy dvě možnosti, jak může hod dopadnout. A vzhledem k tomu, že jednotlivé hody jsou na sobě nezávislé, libovolnou variací těchto výsledků tak dostáváme dva krát dva krát dva krát dva a tak dále, n dvojek vynásobených mezi sebou, neboli dvě na n-tou možných výsledků pokusu. Nyní se podívejme na příznivé výsledky, což je právě k orlů, které při n hodech padnou. To znamená, že pro těchto k orlů potřebujeme vybrat k pozic. A máme na výběr n možností, n hodů. Nezáleží nám na pořadí těchto pozic, ty jsou již dané samotným házením mincí. A proto se jedná o kombinace, které můžeme vypočítat nebo označit kombinačním číslem n nad k. Určili jsme jak počet všech možných výsledků, tak počet příznivých výsledků. Proto již jednoduchým dosazením můžeme vypočítat pravděpodobnost, že padne právě k orlů při n hodech spravedlivou mincí. Výsledek je tak zlomek, který má v čitateli počet příznivých výsledků, neboli n nad k, a ve jmenovateli počet všech možných výsledků, neboli dvě na n-tou. Jen aby nedošlo ke zmatení kvůli barvám, n ve jmenovateli a v čitateli je úplně stejné n a je to počet hodů mincí. Kombinační číslo můžeme ještě rozepsat a výraz tak upravit. Kombinační číslo n nad k je rovno n faktoriál v čitateli lomeno k faktoriál krát závorka n minus faktoriál neboli počet všech k-členných kombinací z n prvků. Jmenovatel zůstává stejný. Máme zde složený zlomek a to znamená, že jmenovatel z čitatele můžeme přesunout do jmenovatele. V čitateli celého zlomku tak zbyde pouze n faktoriál a ve jmenovateli dostáváme dvě na n-tou krát k faktoriál krát závorka n minus k faktoriál. Vždy když napíšeme nějaký obecný vzorec, je potřeba stanovit podmínky, za kterých platí. Tak v první řadě čísla n a k musí být přirozená čísla. Můžeme připustit nulovou hodnotu, to také dává smysl. Ale určitě nemůžeme mít pět a půl hodů, nebo minus čtyři hody a šest a půl orla v nich. Dále ještě počet orlů nesmí být větší než počet hodů. To by nedávalo smysl a ve jmenovateli by nám vyšel záporný faktoriál. Další podmínkou je tedy to, že počet orlů k musí být menší nebo roven počtu hodů n. Jedna z krásných věcí na kombinatorice je ta, že nám umožní odhalit některé algebraické vztahy, aniž bychom prováděli algebraické odvození, protože kombinatorika dává těmto výrazům nějaký reálný význam, který můžeme využít. Pojďme se podívat na všechny možné počty orlů, které mohou padnout při n hodech mincí. Postupně vypíšeme jejich počty. Žádný orel může padnout n nad 0 způsoby. 1 orel může padnout n nad 1 způsoby, 2 orli mohou padnout n nad 2 způsoby atd. Až n orlů může padnout n nad n způsoby. Více orlů už samozřejmě při n hodech padnout nemůže. Tím jsme ale vyčerpali všechny možnosti, všechny možné výsledky, jak může n hodů dopadnout. A víme, že těch je dvě na n-tou. Tzn. že když posčítáme tato kombinační čísla n nad 0, n nad 1, n nad 2 až n nad n dostaneme vždy 2 na n. Pokud bychom tento vztah chtěli odvodit algebraicky, pěkně bychom si mákli. Ale kombinatorika nám ho nabízí skoro zadarmo.