Pravděpodobnost pomocí kombinací

V tomto videu budeme házet mincí, klasickou spravedlivou mincí, která má na jedné straně pannu a na druhé orla. Provedeme osm hodů a to může dopadnout například tak, že v prvním hodu padne orel, poté panna, poté orel, poté panna, poté orel, orel, orel a nakonec panna. A právě počet panen nás bude zajímat. Zajímá nás pravděpodobnost, že při těchto osmi hodech padnou právě tři panny, ani více, ani méně, přesně tři. Můžeme použít klasický vzoreček pro kombinatorický výpočet pravděpodobnosti, který říká, že pravděpodobnost je počet příznivých výsledků pokusu lomeno počtem všech možných výsledků pokusu. Tady je důležité, aby jednotlivé výsledky byly stejně pravděpodobné, což tady bude splněno. Nejprve vypočítejme počet všech možných výsledků. To je jednoduché, protože při každém hodu mohou padnout dva různé výsledky. Jednotlivé hody jsou na sobě nezávislé, takže násobíme dva krát dva krát dva krát dva. Celkem osm dvojek vynásobených mezi sebou, což je dvě na osmou všech možných výsledků, jak může dopadnout házení mincí. Nyní k počtu příznivých výsledků. Zajímá nás, kolika způsoby může pokus dopadnout tak, že padnou přesně tři panny. Například tedy jedna z těch možností je, že padnou na začátku tři panny a poté pět orlů. Další možností je, například, že padne panna, orel, panna, orel, panna a tři orli. Nebo i první možnost z úvodu videa. Pro lepší kombinatorickou představu si označme jednotlivé body A, B, C, D, E, F, G, H. Vidíme tak, že vlastně vybíráme tři pozice, na které umístit panny. V první situaci jsou to pozice A, B, C, ve druhé situaci jsou to pozice A, C, E. A v úvodní situaci jsou to pozice B, D, H. Také je dobré si uvědomit, že nám nezáleží na pořadí písmen nebo na pořadí pozic, jak je vybereme, A, B, C; A, C, B i C, B, A i další uspořádání nám dá tři panny na začátku a pět orlů na konci. Nezáleží nám tedy na pořadí a to znamená, že budeme počítat kombinace. Připomeňme vzoreček pro kombinace obecně, počet k-členných kombinací z n prvků se vypočítá jako n faktoriál lomeno k faktoriál krát v závorce n minus k faktoriál. V našem případě počítáme tříčlenné kombinace, protože vybíráme tři pozice z osmi prvků, protože máme celkem osm hodů, osm pozic, ze kterých vybíráme. Podle vzorce tak dostáváme zlomek, kdy v čitateli máme osm faktoriál a ve jmenovateli tři faktoriál krát a osm minus 3 je 5, tedy 5 faktoriál. A faktoriály se velice dobře krátí. Například 8 a 5 faktoriál můžeme zkrátit, kdy z 8 faktoriál zbudou pouze první tři čísla, osm krát sedm krát šest. Poté už následuje 5 faktoriál. V čitateli tak zbývá osm krát sedm krát šest. Ve jmenovateli tři faktoriál, což je 6. Můžeme ještě zkrátit šestky a dostáváme tak osm krát sedm, neboli 56. My ale necháme počet příznivých jevů ve formě 8 krát 7 a ještě lépe, místo osmičky napíšeme dvě na třetí. Bude se nám to velice dobře krátit. Dosadíme do původního vzorce pro pravděpodobnost a dostáváme dvě na třetí krát 7 lomeno dvě na osmou. Mocniny dvojky můžeme krásně zkrátit a zbude nám tak pouze dvě na pátou ve jmenovateli a číslo 7 v čitateli. 2 na pátou je 32. Dostáváme tak pravděpodobnost 7 ku třiceti dvěma, že nám při osmi hodech mincí padnou přesně tři panny.