Kombinace: právě dvě panny ve čtyřech hodech

Uvidíme, jak nám kombinatorika pomůže s výpočtem pravděpodobnosti při házení mincí. Máme obyčejnou spravedlivou minci, z jedné strany je panna, z druhé je orel. Obě dvě strany padají se stejnou pravděpodobností, 50 procent. V tomto videu budeme uvažovat o pokusu, kdy hodíme touto mincí čtyřikrát a zajímá nás, co padne. Například se může stát, že padnou samí orlové, tedy orel, orel, orel, orel. Zkráceně OOOO. Jako první příklad spočítáme pravděpodobnost, že nám padne právě jedna panna. Pravděpodobnost je podle kombinatorické definice zlomek, kdy v čitateli máme počet příznivých výsledků našeho pokusu a ve jmenovateli počet všech možných výsledků. Tady je důležité, aby byly výsledky stejně pravděpodobné. A to díky tomu, že mince je spravedlivá, je splněno. Při pouhých čtyřech hodech můžeme zvolit nejjednodušší kombinatorickou metodu a to je vypsat si všechny možnosti. Je dobré to udělat nějak systematicky, abychom na žádnou nezapomněli. Zvolíme tedy výpis podle abecedy. Už jsme vlastně začali první variantou, samí orlové. A budeme pokračovat dál. V prvním sloupečku budeme mít všechny možnosti, které začínají OO, mohou tedy končit buď OO, to už máme vypsané, nebo OP, PO a PP. To jsou první čtyři možnosti. V další skupině budou všechny výsledky, které začínají OP. A opět mohou končit OO, OP, PO a PP. Ve třetí skupině budeme mít výsledky, které začínají PO. Koncovky jsou opět stejné, dostáváme tak další čtyři možnosti. A poslední skupina, poslední čtyři možnosti budou začínat dvěma pannami, tedy PP. Díky systematickému postupu víme, že jsme na žádnou variantu nezapomněli. A celkem tedy máme 16 různých výsledků našeho pokusu. Ve jmenovateli zlomku tak bude 16. Nyní stačí spočítat ty, ve kterých se vyskytuje právě jedna panna. Celkem existují čtyři příznivé výsledky, to znamená, že pravděpodobnost je čtyři ku šestnácti neboli jedna čtvrtina. Co když ale budeme házet víckrát nebo budeme mít nějaký jiný, složitější příklad a nebude možné nebo časově rozumné všechny možnosti vypisovat? Pojďme se podívat na trochu kombinatoriky, která nám s tím pomůže. Nejprve se podíváme na šestnáct možných výsledků. Pokud bychom házeli pouze jednou, máme dva možné výsledky, pannu nebo orla. Pokud bychom házeli dvakrát, měli bychom čtyři možné výsledky, což jsou ty koncovky v každé skupině, orel orel, orel panna, panna orel, panna panna. S každým dalším hodem se nám počet možností zdvojnásobuje, protože všechny dosavadní možnosti můžeme rozšířit buď o pannu nebo orla. Proto vždy s každou další mincí nebo s každým dalším hodem násobíme počet možností dvěma, při čtyřech hodech tak násobíme čtyři dvojky mezi sebou, což je zkráceně dvě na čtvrtou. Nyní se podívejme na čtyři příznivé výsledky. V tomto případě zjistíme počet příznivých výsledků celkem jednoduše. Pokud má totiž padnout jedna panna, je jenom otázka, jestli padne v prvním, druhém, třetím nebo čtvrtém hodu. To jsou čtyři možnosti, proto čtyři příznivé výsledky. Trochu složitější situace nastane v případě, že budeme chtít hodit dvě panny ze čtyř hodů. Pojďme se podívat na takovou pravděpodobnost. Počet všech možných výsledků je stejný, ten tedy nemusíme řešit. Zajímá nás počet příznivých výsledků. Opět můžeme začít tak, že je jednoduše spočítáme v našem výpisu. Vidíme, že máme celkem šest příznivých výsledků, kdy padnou dvě panny ze čtyř hodů. Pravděpodobnost je tak šest ku šestnácti. Otázka je, jak se dá přijít na číslo 6 kombinatoricky, aniž bychom měli k dispozici výpis všech možností. Pokud mají padnout dvě panny, otázkou jenom je, ve kterých hodech tyto dvě panny hodíme. Označme si jednotlivé hody A, B, C, D a například pokud padnou dvě panny v prvních dvou hodech, označme to jako AB. To jsou ty hody, ve kterých padly panny. Vidíme, že ve výpisu je to poslední příznivý výsledek, AC je panna v prvním a třetím hodu, to je zde. AD je panna v prvním a čtvrtém hodu, což je zde. Pojďme vypisovat dál všechny možnosti. Dále bychom mohli mít variantu BA, což je ale vlastně totéž jako AB, je to panna v prvním a druhém hodu. To znamená, při tomto výpisu nám nezáleží na pořadí, AB a BA je pro nás totéž. To znamená, budeme počítat kombinace nikoli variace. Dále máme varianty BC, které také v našem výpisu najdeme. BD, neboli panna ve druhém a čtvrtém hodu. A konečně poslední možnost CD. Celkem vidíme, že máme šest možností, jak ze čtyř pozic vybrat dvě, kdy nám nezáleží na jejich pořadí. Tyto pozice jsou přesně dvoučlenné kombinace ze čtyř prvků, které můžeme vypočítat podle vzorce. Tento počet značíme také kombinačním číslem 4 nad dvěma. Nebudeme se již vracet k vzorci pro kombinace, ten jsme již probírali. Výsledek je 6. Zlomek pro pravděpodobnost tak můžeme přepsat více kombinatoricky tak, že v čitateli bude kombinační číslo 4 nad dvěma a ve jmenovateli dvě na čtvrtou. Nyní lépe vidíme, jak kombinatoricky vypočítat takové pravděpodobnosti.