Příklad: pravděpodobnost čtyř es při rozdávání karet

Máme zde příklad na pravděpodobnost při rozdávání karet. Jako vždy doporučuji video zastavit a zkusit si ho vyřešit samostatně. Pojďme si nejprve znázornit proces rozdávání. Na začátku hry dostane každý hráč osm karet, to znamená osm pozic, které potřebujeme zaplnit kartami. Budou nás zajímat situace, neboli příznivé výsledky budou takové, kdy mezi těmito osmi kartami budou všechna čtyři esa. To znamená třeba tady bude jedno eso, druhé eso, třetí eso E3 a čtvrté eso E4. Možná vás hned napadne otázka, jestli nám je jedno, kde ta esa budou, a v jakém budou pořadí, nebo jestli pokud budou i na stejných pozicích v jiném pořadí například E2, E1, E3, E4. Jestli je to stejná situace nebo ne. Z hlediska kombinatoriky je to důležitá otázka. Uvidíme ale, že z hlediska pravděpodobnosti to nehraje roli. Zkusíme oba přístupy. Pojďme začít variantou, kdy nám nezáleží na pořadí, jde nám tedy jenom o to, abychom dostali čtyři esa a je nám jedno na jaké pozice a v jakém pořadí. Nejprve vypočítáme počet všech možných výsledků. To nám prozradí počet všech karet v balíčku, těch je 32. Z nich vybíráme 8 a na pořadí nám nezáleží. Takových možností je 32 nad osmi, kombinační číslo. S příznivými výsledky, to bude podobně jednoduché. Všechny příznivé výsledky obsahují čtyři esa a potom čtyři doplňkové karty, které vybíráme. Ale pozor, už ne z celého balíčku ale jenom ze zbývajících karet. 32 karet bez čtyř es, to je 28 zbývajících karet. Proto dostáváme kombinační číslo 28 nad čtyřmi. Nyní už jen zbývá výraz zjednodušit, vypočítat. Tak pojďme na to. Kombinační číslo 28 nad čtyřmi je zlomek 28 faktoriál lomeno 4 faktoriál krát 28 minus 4 faktoriál. Stejně rozepíšeme i kombinační číslo ve jmenovateli, třicet dva faktoriál lomeno osm faktoriál krát v závorce třicet dva minus osm faktoriál. Sama o sobě jsou to poměrně velká čísla, ale s faktoriály už máme nějakou zkušenost, to znamená, jistě tušíme, že půjde zlomek značně zkrátit. Tak hned klasický výraz 28 faktoriál lomeno 28 minus 4 faktoriál. Faktoriál násobí všechna čísla od daného až po jedničku. Vidíme tedy, že ve zlomku se nám zkrátí všechno kromě začátku delšího faktoriálu. To je 28 krát 27 krát 26 krát 25, protože krát 24, 23 a tak dále, to už mají oba faktoriály v čitateli i ve jmenovateli společné. A to tedy můžeme zkrátit. Dále nám zbyde 4 faktoriál ve jmenovateli, což je čtyři krát tři krát dva. Stejně můžeme zjednodušit podíl faktoriálů ve jmenovateli, ze kterého nám zbyde opět pouze začátek delšího faktoriálu, tedy prvních osm činitelů z třiceti dvou faktoriál. Třicet dva krát třicet jedna krát třicet krát dvacet devět krát dvacet osm krát dvacet sedm krát 26 krát 25. Dále už pokračujeme ve jmenovateli stejným faktoriálem. Můžeme tedy zkrátit. No a stejně tak ve jmenovateli zbyde ještě osm faktoriál, což je osm krát sedm krát šest krát pět krát čtyři krát tři krát dva. Nyní už budeme pracovat se složeným zlomkem. A víme, že jmenovatele se vlastně prohazují, to znamená jmenovatel ze jmenovatele přejde do čitatele a jmenovatel z čitatele přejde do jmenovatele výsledného zlomku. Můžeme tak mezi sebou ve složeném zlomku krátit čitatele z čitatele s čitatelem ze jmenovatele a jmenovatele z čitatele se jmenovatelem ze jmenovatele. To znamená, že můžeme zkrátit výraz 28 krát 27 krát 26 krát 25. A dále můžeme zkrátit výraz 4 krát tři krát dva. Dostáváme tak značně zjednodušený zlomek, který má v čitateli pouze jmenovatel z původního čitatele, osm krát sedm krát šest krát pět a ve jmenovateli čitatel z původního jmenovatele, 32 krát třicet jedna krát 30 krát 29. Stále ještě můžeme krátit, například šest krát pět je třicet. A třicet dva je dělitelné osmi, zbyde čtyři. Dostáváme tak výsledný zlomek, který má v čitateli pouze číslo sedm a ve jmenovateli součin 4 krát 31 krát 29. Dále není možné krátit, vezmeme si proto na pomoc kalkulačku, která nám řekne, že výsledek je přibližně nula celá 19 procent, tedy velmi malá pravděpodobnost. To byla varianta, kdy nám nezáleží na pořadí v jakém karty dostáváme. Uděláme si trochu místa a podíváme se na druhou variantu, kdy nám bude záležet na pořadí. Bude nám záležet i na tom, které eso dostaneme první, druhé a třetí, počítáme stále stejnou pravděpodobnost, akorát se nám mění počet příznivých výsledků i všech možných výsledků. Pokud obsazujeme třiceti dvěma kartami osm pozic a záleží nám na pořadí, pak na první místo máme 32 různých karet na výběr. Jakmile je jedna karta ze hry, tak na druhé místo zbývá třicet jedna karet, na další místo 30, 29, 28 a tak dále. Až zaplníme všech osm pozic a končíme číslem 25. Jedná se v podstatě o osmičlenné variace z třiceti dvou prvků. V čitateli bude situace trochu složitější. Pojďme nejprve umístit čtyři esa na osm pozic, na kterých je můžeme dostat. Tedy první eso můžeme umístit na osm různých pozic. Druhé eso můžeme umístit už jenom na sedm různých pozic. Třetí eso na šest a čtvrté na pět. To nám dává tolik možností, opět se jedná v podstatě o variace, tentokrát čtyřčlenné variace z osmi prvků. Dále kartami zaplníme čtyři zbývající pozice, na první pozici máme na výběr už pouze 28 karet, protože čtyři esa už jsou rozdaná. Na druhou pozici už pouze dvacet sedm, na třetí 26 a na poslední 25. Opět se jedná variace, tentokrát čtyřčlenné variace z dvaceti osmi prvků. Pojďme krátit. Začít opět můžeme částmi faktoriálu, což v tomto případě nám zjednoduší výrazy v podstatě na polovinu. Mohli bychom krátit dál, ale možná je jednodušší si všimnout, že jsme vlastně u stejného výrazu jako u minulého výpočtu. A je tedy jasné, že i tentokrát vyjde pravděpodobnost přibližně 0 celá 19 procenta.