Pravděpodobnost pomocí kombinací 2

Máme zde trochu složitější úlohu na výpočet pravděpodobnosti. Přesto doporučuji video zastavit a zkusit si úlohu vyřešit samostatně. Naším úkolem je spočítat pravděpodobnost jevu, že lukostřelec při pěti pokusech, nebo při pěti výstřelech, zasáhne alespoň třemi šípy střed terče. To je poměrně složitý jev. Pojďme si ho proto rozdělit na jednodušší. Alespoň 3 z pěti. To znamená buď 3 z pěti, nebo 4 z pěti, anebo 5 z pěti šípů do středu terče. Vzhledem k tomu, že tyto jevy nemají žádný společný výsledek, není možné zároveň trefit 3 z pěti a zároveň 4 z pěti, tak můžeme pravděpodobnosti jednoduše sečíst, protože jevy se navzájem vylučují. Stačí nám tedy spočítat pravděpodobnosti těchto 3 jevů. Pojďme začít tím prvním, avšak nejsložitějším, a to sice pravděpodobnost, že lukostřelec trefí přesně 3 z pěti šípů do středu terče. Jak to může vypadat, takový záznam z jeho střelby? Tak například trefí první šíp do středu, druhý vedle, třetí do středu, čtvrtý do středu a pátý vedle. Nebo třeba trefí první vedle, poté tři šípy do středu a poté poslední šíp vedle. Pravděpodobnost takového výsledku už můžeme spočítat, protože víme pravděpodobnost, že se trefí do středu, ta je 80 procent neboli 0,8. A pravděpodobnost, že se střelec trefí vedle, neboli netrefí terč, je přesně doplněk do sta procent, neboli sto procent minus 80 procent je zbývajících 20 procent. To je pravděpodobnost, že lukostřelec se trefí vedle středu, tedy 0,2. Vzhledem k tomu, že jednotlivé pokusy jsou nezávislé, můžeme mezi sebou pravděpodobnosti vynásobit. Dostaneme tak součin pěti pravděpodobností, který ještě můžeme zjednodušit. Máme zde třikrát pravděpodobnost 0,8, tedy 0,8 na třetí a dvakrát násobíme 0,2. Tedy 0,2 na druhou. K úplně stejnému výsledku dojdeme i u druhého střeleckého záznamu. Protože jediné, co je důležité, je počet šípů do středu a počet vedle. Stále máme tři šípy do středu, tedy 0,8 na třetí, a dva šípy vedle, tedy 0,2 na druhou. Zbývá tak určit, kolika způsoby je možné vstřelit tři šípy do středu terče a dva vedle. Jinými slovy z pěti pokusů, z pěti pozic, 1, 2, 3, 4, 5, vybíráme tři pozice, ve kterých trefíme střed a ve zbylých dvou se trefíme vedle, nebo lukostřelec se trefí vedle. Jinými slovy z pěti pozic vybíráme tři. Nezáleží nám na pořadí a tak dostáváme tříčlenné kombinace z pěti prvků. Tento počet označujeme také kombinačním číslem 5 nad třemi. A co je pro nás důležité v tuto chvíli, je, že počet takových kombinací je 5 faktoriál lomeno tři faktoriál krát 2 faktoriál. Zlomek můžeme zkrátit, nebo prostě rovnou dosadit. Každopádně dospějeme k výsledku 10 různých kombinací, jak nastřílet tři šípy do středu a 2 šípy vedle. Celkově tak pravděpodobnost, že trefíme tři z pěti šípů do středu, je 0,8 na třetí krát 0,2 na druhou. To je pravděpodobnost každé konkrétní kombinace, každého konkrétního způsobu trefení tří šípů do středu a dvou šípů vedle, krát deset, protože máme deset různých způsobů, jak toho dosáhnout, které se navzájem vylučují. K tomuto výpočtu už si vezmeme na pomoc kalkulačku, do které celý výraz zadáme. Výsledek je 0,2048 neboli 20,48%. Tím máme sice jenom jeden dílčí výsledek celé úlohy, ale další už vypočítáme velmi obdobně a uvidíme, že vycházejí jednodušeji. Pojďme se podívat na další jev, tedy pravděpodobnost, že lukostřelec trefí přesně čtyři z pěti šípů do středu terče a jeden zbývající trefí vedle. Budeme uvažovat úplně stejným způsobem. Máme 4 šípy do středu, což je 0,8 na čtvrtou. Jeden šíp vedle, tedy krát 0,2 na prvou, což ale psát nemusíme. A krát počet způsobů, jakými můžeme tohoto počtu šípů do středu a vedle dosáhnout. Tentokrát z pěti pozic vybíráme 4 pozice, kdy se trefíte do středu. Tedy kombinační číslo 5 nad čtyřmi nám řekne počet těchto kombinací. A tady je dobré si uvědomit, že je z hlediska počtu možností jedno, jestli vybíráme z pěti pozic 4 anebo jednu. Tu, kdy trefíte vedle, tedy pět nad čtyřmi je totéž jako 5 nad jednou. Protože stačí vybrat jednu pozici, kdy se trefíte vedle a počet způsobů, jak z pěti pozic vybrat jednu, je 5. Dále 0,2 krát 5 je jedna. Tyto dvě čísla tedy můžeme zkrátit a zbývá nám tak pouze 0,8 na čtvrtou, což vypočítáme s pomocí kalkulačky. Dostáváme možná překvapivě vysoký výsledek 40,96%, že lukostřelec trefí přesně 4 z pěti šípů do středu terče. A pojďme se podívat na poslední dílčí jev, jev že lukostřelec trefí pět z pěti šípů do středu terče. Zde už nepotřebujeme žádnou velkou kombinatoriku. To má jedinou možnost, všech pět šípů do středu terče. Tedy nula celá osm na pátou. Opět si pomůžeme kalkulačkou a zjistíme, že pravděpodobnost tohoto jevu je 32, po zaokrouhlení, celých 77 procenta. Tím jsme vypočítali pravděpodobnosti všech tří dílčích jevů, 3, 4 i 5 šípů z pěti do středu terče a nyní už jen zbývá posčítat příslušné pravděpodobnosti, posčítat procenta, což opět uděláme s pomocí kalkulačky a zjistíme, že celková pravděpodobnost je možná až překvapivě vysoká. Je to totiž 94,21%, že lukostřelec trefí alespoň 3 z pěti šípů do středu terče.