Derivování součinu

Zkusme, zda dokážeme najít derivaci podle 'x' v příkladu 'e na x' krát 'kosinus x'. A jako vždy, zastavte toto video a zkuste to napřed sami, než se pustíme do řešení. Když se na toto podíváte, asi si řeknete: "Vím, jak najít derivaci pro 'e na x'." Což je popravdě jen 'e na x'. Hned to sem napíšu. Známe několik věcí. Víme, že derivace podle x pro 'e na x'… 'e na x' je 'e na x'. Umíme najít derivaci kosinu x. Derivace podle x kosinu x je rovna -sin x. Ale jak najdeme derivaci jejich součinu? Jak si můžete domyslet, budeme potřebovat součinové pravidlo. Napřed sem napíšu součinové pravidlo obecně. Když vezmeme derivaci podle 'x' z prvního výrazu pro 'x'… Pojmenujeme si jej 'u pro x'… krát další výraz, který obsahuje x. Takže 'u' krát 'v pro x'. Toto se bude rovnat… Zvýrazňuji to barevně, abychom neztratili přehled. Toto se bude rovnat derivaci prvního výrazu… Mohl bych napsat, že 'u s čárkou pro x' krát pouze druhý výraz, nikoliv jeho derivace, pouze druhý výraz. Takže krát 'v pro x', a potom máme plus... Plus první výraz, nikoliv jeho derivaci, pouze první výraz 'u pro x' krát derivace druhého výrazu… Krát derivace druhého výrazu. Jak si to zapamatovat? Máte tyto dvě věci, skončíte s dvěma rozdílnými výrazy. A pro každý z nich, vezmete derivaci jednoho z nich, ale nikoliv toho druhého, a poté u druhého, vezmete derivaci toho druhého, ale nikoliv prvního. Takže derivace 'u' krát 'v' je 'u s čárkou' krát 'v', plus 'u' krát 'v s čárkou'. Když se na to podíváte takto, může to vypadat trochu abstraktně, asi i zmatečně, ale to je ten důvod, proč tu máme skutečný příklad. A schválně jsem používal barvy… Takže můžeme říct, že u(x) se rovná 'e na x'. A v(x) se rovná kosinus x. Takže v(x) se rovná kosinus x. A pokud u(x) je rovno 'e na x', tak víme, že jeho derivace podle x, je stále 'e na x'. To je jedna z nejkouzelnějších věcí matematiky. Jedna z věcí, která dělá 'e' tak speciální. Takže u'(x) se pořád rovná 'e na x'. A v'(x)… víme, že je -sinus x. -sinus x… A čemu se to tedy bude rovnat? Toto se bude rovnat derivaci prvního výrazu. Takže derivace 'e na x', která je právě 'e na x', krát druhý výraz… Nebereme jeho derivaci, takže krát kosinus x. Plus první výraz, nebereme jeho derivaci, takže 'e na x' krát derivace druhého výrazu. Takže, krát derivace kosinu x, což je -sinus… -sinus x. A to může být lehce zmatečné, protože 'e na x' je svá vlastní derivace. Ale toto právě zde, můžete brát jako by to byla derivace 'e na x', což je právě 'e na x'. To je právě na tomto výrazu respektive funkci to vzrušující. A pak toto je jen 'e na x', bez derivace, což je samozřejmě to stejné. Každopádně, teď to můžeme celé zjednodušit. Toto se bude rovnat... Mohli bychom napsat buď 'e na x' krát kosinus x… Krát kosinus x mínus 'e na x'… 'e na x' krát sinus x… Krát sinus x. Nebo, pokud chcete, můžete vytknout 'e na x'. Toto je stejné jako 'e na x' krát kosinus x minus sinus x. Kosinus x minus sinus x. Snad vám toto video pomohlo uchopit princip součinového pravidla. Jakmile si jej osvojíte, tak na nás čeká mnohem širší třída funkcí a výrazů, které můžeme začít diferencovat.