Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 10: Součinové pravidloDerivování součinu
Zderivujeme eˣcos(x) za použití pravidla o derivaci součinu
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Zkusme, zda dokážeme najít
derivaci podle 'x' v příkladu 'e na x' krát 'kosinus x'. A jako vždy, zastavte toto video
a zkuste to napřed sami, než se pustíme do řešení. Když se na toto podíváte,
asi si řeknete: "Vím, jak najít derivaci pro 'e na x'."
Což je popravdě jen 'e na x'. Hned to sem napíšu. Známe několik věcí. Víme, že derivace podle x
pro 'e na x'… 'e na x' je 'e na x'. Umíme najít derivaci kosinu x. Derivace podle x kosinu x
je rovna -sin x. Ale jak najdeme derivaci
jejich součinu? Jak si můžete domyslet,
budeme potřebovat součinové pravidlo. Napřed sem napíšu
součinové pravidlo obecně. Když vezmeme derivaci podle 'x' z prvního výrazu pro 'x'… Pojmenujeme si jej 'u pro x'… krát další výraz, který obsahuje x. Takže 'u' krát 'v pro x'. Toto se bude rovnat… Zvýrazňuji to barevně, abychom
neztratili přehled. Toto se bude rovnat derivaci
prvního výrazu… Mohl bych napsat, že 'u s čárkou pro x' krát pouze druhý výraz, nikoliv jeho
derivace, pouze druhý výraz. Takže krát 'v pro x',
a potom máme plus... Plus první výraz, nikoliv jeho derivaci,
pouze první výraz 'u pro x' krát derivace druhého výrazu… Krát derivace druhého výrazu. Jak si to zapamatovat? Máte tyto dvě věci,
skončíte s dvěma rozdílnými výrazy. A pro každý z nich, vezmete derivaci
jednoho z nich, ale nikoliv toho druhého, a poté u druhého, vezmete derivaci
toho druhého, ale nikoliv prvního. Takže derivace 'u' krát 'v'
je 'u s čárkou' krát 'v', plus 'u' krát 'v s čárkou'. Když se na to podíváte takto, může to
vypadat trochu abstraktně, asi i zmatečně, ale to je ten důvod,
proč tu máme skutečný příklad. A schválně jsem používal barvy… Takže můžeme říct, že u(x)
se rovná 'e na x'. A v(x) se rovná kosinus x. Takže v(x) se rovná kosinus x. A pokud u(x) je rovno 'e na x',
tak víme, že jeho derivace podle x, je stále 'e na x'. To je jedna z nejkouzelnějších věcí
matematiky. Jedna z věcí, která dělá 'e' tak speciální. Takže u'(x) se pořád
rovná 'e na x'. A v'(x)… víme, že je -sinus x. -sinus x… A čemu se to tedy bude rovnat? Toto se bude rovnat derivaci
prvního výrazu. Takže derivace 'e na x', která je právě
'e na x', krát druhý výraz… Nebereme jeho derivaci,
takže krát kosinus x. Plus první výraz, nebereme jeho
derivaci, takže 'e na x' krát derivace druhého výrazu. Takže, krát derivace kosinu x,
což je -sinus… -sinus x. A to může být lehce zmatečné,
protože 'e na x' je svá vlastní derivace. Ale toto právě zde, můžete brát jako
by to byla derivace 'e na x', což je právě 'e na x'. To je právě na tomto výrazu respektive
funkci to vzrušující. A pak toto je jen 'e na x', bez derivace,
což je samozřejmě to stejné. Každopádně, teď to můžeme
celé zjednodušit. Toto se bude rovnat... Mohli bychom napsat buď
'e na x' krát kosinus x… Krát kosinus x mínus 'e na x'… 'e na x' krát sinus x… Krát sinus x. Nebo, pokud chcete, můžete
vytknout 'e na x'. Toto je stejné jako 'e na x' krát
kosinus x minus sinus x. Kosinus x minus sinus x. Snad vám toto video pomohlo uchopit
princip součinového pravidla. Jakmile si jej osvojíte, tak na nás čeká
mnohem širší třída funkcí a výrazů, které můžeme začít diferencovat.