If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Souhrn pravidla o derivaci součinu

Souhrn znalostí o pravidlu o derivaci součinu a jeho použití na příkladech.

Co je vzorec pro derivaci součinu?

Vzorec pro derivaci součinu nám říká, jak zderivovat výraz, který je součinem dvou jednodušších výrazů.
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket
V podstatě vynásobíme derivaci funkce f funkcí g a přičteme k tomu funkci f vynásobenou derivací funkce g.
Chceš se o vzorci pro derivaci součinu dozvědět více? Koukni se na toto video.

Jaké příklady můžu vyřešit pomocí vzorce pro derivaci součinu?

Příklad 1

Funkci h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis zderivujeme za pomoci vzorce pro derivaci součinu takto:
=h(x)=ddx(ln(x)cos(x))=ddx(ln(x))cos(x)+ln(x)ddx(cos(x))Vzorec pro derivaci soucˇinu=1xcos(x)+ln(x)(sin(x))Zderivovaˊnıˊ ln(x) a cos(x)=cos(x)xln(x)sin(x)Zjednodusˇenıˊ\begin{aligned} &\phantom{=}h'(x) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\ln(x)\cos(x)) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\ln(x))\cos(x)+\ln(x)\dfrac{d}{dx}(\cos(x))&&\gray{\text{Vzorec pro derivaci součinu}} \\\\ &=\dfrac{1}{x}\cdot \cos(x)+\ln(x)\cdot (-\sin(x))&&\gray{\text{Zderivování }\ln(x)\text{ a }\cos(x)} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)}{x}-\ln(x)\sin(x)&&\gray{\text{Zjednodušení}} \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, e, start superscript, x, end superscript
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Chceš si vyzkoušet další podobné příklady? Zkus toto cvičení.

Příklad 2

Máme danou tuto tabulku hodnot:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 413space, space, space, 08
Dále je dána funkce H, left parenthesis, x, right parenthesis definovaná předpisem f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Chceme spočítat H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
Vzorec pro derivaci součinu nám říká, že H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis je f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. To znamená, že H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis je f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis. Do tohoto výrazu můžeme nyní dosadit hodnoty z tabulky:
H(4)=f(4)g(4)+f(4)g(4)=(0)(13)+(4)(8)=32\begin{aligned} H'(4)&=f'(4)g(4)+f(4)g'(4) \\\\ &=(0)(13)+(-4)(8) \\\\ &=-32 \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 1
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 22minus, 134
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, h, left parenthesis, x, right parenthesis
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chceš si zkusit více podobných příkladů? Zkus toto cvičení.