Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 13: Videa s důkazy- Důkaz: Diferencovatelnost implikuje spojitost
- Vysvětlení pravidla pro derivaci mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro přirozené mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro druhé odmocniny
- Limita sin(x)/x pro x blížící se k 0
- Limita (1-cos(x))/x pro x blížící se k 0
- Důkaz derivace funkce sin(x)
- Důkaz derivace funkce cos(x)
- Důkaz vzorce pro derivaci součinu
Důkaz: Diferencovatelnost implikuje spojitost
Ukážeme, že když je funkce v daném bodě diferencovatelná, tak je ve stejném bodě i spojitá.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu bych
rád dokázal tvrzení, že pokud je funkce diferencovatelná v
bodě c, pak je v tomto bodě i spojitá. Ale před tím, než to
uděláme, si připomeňme, co znamená diferencovatelnost
a co znamená spojitost. Nejdříve diferencovatelnost. Nejprve se
zamyslíme nad ní. Vždycky se hodí si
nakreslit nějakou funkci. Tohle je y-ová osa. Tohle je x-ová osa. A nakreslíme si
libovolnou funkci. Řekněme, že máme takovou funkci,
a zajímá nás bod x rovno c, který je tady. Toto je bod x rovno c a tato
hodnota je samozřejmě f(c). Jedním ze způsobů, jak
nalézt derivaci pro x rovno c, neboli směrnici tečny
v bodě x rovno c, je začít s nějakým
jiným bodem. S libovolným x
někde tady. Řekněme, že toto je
naše libovolné x. Tato y-ová hodnota
pak bude f(x). Tento graf je samozřejmě
graf y rovná se f(x). Můžeme nalézt
směrnici této přímky, tedy sečny procházející
těmito dvěma body, a pak najdeme limitu
pro x jdoucí k ‚c‘. Jak se x blíží k ‚c‘,
tak sečna… Směrnice této sečny se blíží ke
směrnici tečny, takže půjde o derivaci. Můžeme tedy spočítat limitu pro
x jdoucí k ‚c‘ ze směrnice této sečny. Čemu se
směrnice rovná? Rovná se změně y
dělené změnou x. Změna y je f(x) minus f(c),
jde o tuto vzdálenost. Tohle je jen opakování, jedná se o jednu z
definic derivace, o jeden způsob pohledu. Tady tedy bude f(x) minus f(c), což je
změna y, lomeno změna x. Změna x je
x minus c. Pokud tato limita existuje, tak jsme
schopni najít směrnici tečny v tomto bodě, a tuto směrnici tečny nazýváme
derivací v bodě x rovno c. Značíme to jako
f s čárkou v bodě c. Tohle všechno je
jen opakování. Takže když říkáme, že funkce je
diferencovatelná v bodě x rovno c, tak vlastně říkáme, že
tato limita existuje. A pokud tato limita existuje, tak
ji označíme jako f s čárkou v bodě c. Tím jsme si tedy zopakovali
diferencovatelnost. Teď si zopakujeme
definici spojitosti. Funkce je v bodě c spojitá, když se limita
pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) rovná f(c). Tohle se někomu může zdát intuitivní, ale
taky si možná říkáte, odkud se to vzalo. Nakreslíme si to a snad
nám to bude dávat smysl. Když máme funkci… Lepší bude podívat se na
případy, kdy funkce není spojitá. Pak to snad bude
trochu jasnější. Když máme odstranitelnou
nespojitost v bodě x rovná se c… Tohle je bod
x rovno c. Když máme odstranitelnou
nespojitost... Nakreslím to
trochu jinak. Tady v bodě x rovno c
bude mezera a f(c) bude až
tady nahoře. Tohle je f(c) a pak
funkce pokračuje takto. Limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x)
je tato hodnota, což zjevně není f(c). Tato hodnota… Když děláme limitu pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x), tak se blížíme k této hodnotě. Tohle je limita pro x jdoucí
k ‚c‘ z f(x) a ta je různá od f(c). Takže tato definice spojitosti vypadá
rozumně, aspoň pro tento případ, protože toto zjevně není spojitá funkce,
dochází zde k odstranitelné nespojitosti. Alespoň v tomto případě tedy
definice spojitosti správně řekne, že nejde o
spojitou funkci. Můžeme se taky zamyslet nad
nespojitostí 1. druhu. Podívejme se na ni. Tohle všechno je pro
vás snad jen opakování. Nespojitost 1. druhu v bodě
x rovno c může vypadat třeba takto. Zde je bod
x rovno c. Tohle je f(c). Když ale chceme zjistit, čemu se rovná
limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x), dostaneme jinou hodnotu,
když se blížíme zleva, dostaneme tuto
hodnotu, než když se k ‚c‘ blížíme zprava,
protože v tom případě jdeme k f(c). Limita tedy neexistuje. Tato limita tedy v případě
nespojitosti 1. druhu neexistuje. Tato definice tak opět správně říká,
že tato funkce není spojitá, protože tato limita
ani neexistuje. Nyní se můžeme kouknout na
funkci, která už skutečně je spojitá. Třeba takováto funkce. Zde je bod
x rovno c. Toto je f(c). Když nyní uděláme oboustrannou
limitu pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x), vyjde nám
hodnota f(c). Limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x)
se v tomto případě skutečně rovná f(c), což bychom u
spojité funkce čekali. Když jsme si teď zopakovali
spojitost a diferencovatelnost, můžeme konečně dokázat,
že z diferencovatelnosti plyne spojitost. Naše opakování bylo důležité,
protože si to teď lépe představíme. Diferencovatelnost tedy znamená,
že tato limita existuje. Začněme ale s
trochu jinou limitou. Nakreslím zde čáru. Nakreslím zde čáru, aby bylo
jasné, že děláme už něco jiného. Uvažujme limitu pro x
jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus f(c). Můžeme toto
nějak přepsat? Můžeme to přepsat jako
limitu pro x jdoucí k ‚c‘… Tento výraz můžeme vynásobit
a vydělit výrazem x minus c, takže to vynásobíme výrazem x minus c
a pak to vydělíme výrazem x minus c. Zde tedy bude f(x) minus f(c),
to celé lomeno x minus c. Jen jsem vynásobil a vydělil
výrazem x minus c. Čemu se rovná
tato limita? Toto je rovno limitě… Jen používám
vlastnosti limit. Limita součinu je
rovna součinu limit. ...limitě pro x jdoucí k ‚c‘
z x minus c krát limita pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x) minus f(c), to celé lomeno
x minus c. Co je tento výraz? Předpokládáme, že f je
diferencovatelná v bodě c. Tím jsem měl
vlastně začít. Chceme dokázat, že
z diferencovatelnosti plyne spojitost, proto předpokládejme, že f je
diferencovatelná v bodě c. Tento výraz pak bude roven
f s čárkou v bodě c. Před chvílí jsme viděli,
že jde úplně o totéž. Tohle je f s čárkou
v bodě c. A co je tohle? Limita pro x jdoucí
k ‚c‘ z x minus c? To je jednoduše 0. Jak se x blíží k ‚c‘, tak se toto
blíží k ‚c‘ minus ‚c‘, což je 0. Kolik je 0 krát
f(c) s čárkou? f(c) s čárkou je nějaké reálné číslo
a 0 krát číslo je zase 0. Po výpočtu jsem
tedy dostal 0. Proč mě to
ale zajímalo? Právě jsme zjistili, že když je
f diferencovatelná v bodě c a když spočítáme tuto
limitu, dostaneme 0. Když tedy předpokládáme,
že f je diferencovatelná v bodě c, můžeme napsat,
že limita... Jenom to opíšu. ...limita pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x) minus f(c)... Můžu okolo toho napsat závorky,
jako to mám nahoře. ...je rovna 0. To je totéž, když použijeme
vlastnosti limit, jako když napíšu, že… Napíšu to
sem dolů. ...limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus
limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(c) se rovná 0. Limita rozdílu výrazů je totéž
jako rozdíl jejich limit. Čemu se rovná
tato limita? f(c) je jen nějaké číslo, není to funkce
proměnné x, ale je to nějaká hodnota. Takže tato limita
je prostě rovna f(c). Limita z f(x) pro x jdoucí
k ‚c‘ minus f(c) je tedy rovno 0. Teď jen přičteme f(c) k oběma
stranám rovnice a co dostaneme? Dostaneme, že limita pro x jdoucí
k ‚c‘ z f(x) je rovna f(c). To je přesně
definice spojitosti. Limita funkce pro x jdoucí k ‚c‘ je
rovna funkční hodnotě v bodě ‚c‘. Toto tedy znamená, že naše
funkce je v bodě ‚c‘ spojitá. Jen připomínám, že jsme předpokládali
diferencovatelnost funkce f v bodě c, toho jsme pak využili k výpočtu
této limity, která nám vyšla jako 0, a když je tato limita rovna 0,
tak už z toho plyne, když použijeme algebraické
úpravy a vlastnosti limit, že limita pro x jdoucí k ‚c‘
z f(x) je rovna f(c), což je přímo naše definice
spojitosti funkce v bodě ‚c‘. Doufám, že to
takto stačilo. Pokud víme, že existuje derivace v bodě c,
že funkce je v bodě c diferencovatelná, tak to znamená, že funkce
je v tomto bodě také spojitá.