Důkaz derivace funkce sin(x)

Zde máme napsány jedny z nejužitečnějších derivací. Pokud víme, že derivace sin(x) podle x je cos(x) a derivace cos(x) podle x je −sin(x), můžeme počítat řadu těžších derivací. V tomto videu ukážeme pořádný důkaz první rovnosti. Druhou zde dokazovat nebudeme, ale platnost druhé lze ukázat pomocí první. Hlavně je třeba se nebát toho, že důkaz bude trochu technický. Jdeme na to. Derivace sin(x) podle x je podle definice následující limita. Limita z sin(x plus delta x) minus sin(x) děleno delta x pro delta x jdoucí k 0. Jde o směrnici přímky mezi [x, sin(x)] a [x plus delta x, sin(x plus delta x)]. Jak tuto limitu vypočítat? Přepíšeme sin(x plus delta x) pomocí součtového vzorce. Tento vzoreček známe jako jednu z goniometrických identit. Tedy upravíme naší limitu pro delta x jdoucí k 0 následujícím způsobem. Tento výraz přepíšeme pomocí goniometrické identity. A to jako cos(x) krát sin(delta x) plus sin(x) krát cos(delta x). Od toho odečteme sin(x) a vydělíme to delta x. Což můžeme přepsat jako limitu pro delta x jdoucí k 0 z následujícího součtu. A to červené části. cos(x) krát sin(delta x) děleno delta x plus oranžová část. Plus sin(x) krát cos(delta x) minus sin(x) děleno delta x. Připomeňme, že počítáme limitu celého výrazu. Využijeme toho, že limita součtu je rovna součtu limit. Celkem tedy máme následující. Nejprve přepíšeme limitu pro x jdoucí k 0 z červené části, kde červený výraz napíšeme jako cos(x) krát podíl sin(delta x) a delta x. K tomu přičteme limitu pro delta x jdoucí k 0 z výrazu, kde můžeme vytknout sin(x). V závorce nám zbude cos(delta x) minus 1 a to celé děleno delta x. Zkusíme limity ještě trochu zjednodušit. Přepíšeme limitu nalevo. Cos(x) se nijak nezmění s delta x jdoucím k 0. Proto ho vytkneme ven z limity. Tedy máme cos(x) krát limita pro delta x jdoucí k 0 z sin(delta x) děleno delta x. Nyní je třeba přičíst a upravit tuto věc. Cos(delta x) minus 1 je stejné jako −1 krát 1 minus cos(delta x). Jelikož −1 a sin(x) nemá nic co do činění s delta x, vytkneme −sin(x) ven. Celkem máme −sin(x) krát limita pro delta x jdoucí 0 z následujícího. 1 minus cos(delta x) děleno delta x. V jiném videu jste viděli, jak najít tuto limitu za pomoci věty O dvou policajtech. Dostaneme, že limita pro delta x jdoucí 0 z sin(delta x) děleno delta x je 1. Obdobně, v jiném videu jsme ukázali, že když tato limita je 1, tak tato je 0. Podívejme se, co nám zůstalo. Předtím vám doporučuji se podívat na videa dokazující tyto limity. Zůstalo nám cos(x) krát 1 minus 0, jelikož to celé napravo zmizelo. Celkem tedy máme pouze cos(x). A jsme hotovi.