Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 13: Videa s důkazy- Důkaz: Diferencovatelnost implikuje spojitost
- Vysvětlení pravidla pro derivaci mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro přirozené mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro druhé odmocniny
- Limita sin(x)/x pro x blížící se k 0
- Limita (1-cos(x))/x pro x blížící se k 0
- Důkaz derivace funkce sin(x)
- Důkaz derivace funkce cos(x)
- Důkaz vzorce pro derivaci součinu
Limita (1-cos(x))/x pro x blížící se k 0
Ukážeme si, že pro x blížící se k 0 se hodnota výrazu (1-cos(x))/x blíží k 0. To se nám bude hodit, až si budeme odvozovat derivaci funkce sin(x).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu
si spočítáme, čemu je rovna limita pro x blížící se
k 0 z (1 minus cos(x)) lomeno x. A budeme předpokládat,
že jednu věc už víme. Předpokládejme,
že víme, že limita pro x blížící se k 0
ze sin(x) lomeno x je rovna 1. Já to tady nebudu
opět dokazovat, protože máme jedno celé video
věnované důkazu této známé limity. Důkaz se provádí pomocí
věty o dvou policajtech. Tak se na
to podívejme. Nejprve si algebraicky
upravíme výraz v limitě. Udělám to tak, že čitatele i jmenovatele
vynásobím výrazem (1 plus cos(x)). Ve jmenovateli
musím udělat totéž. 1 plus cos(x). Tím nijak nezměním
hodnotu výrazu. Pouze jsem vlastně
násobil jedničkou. Ale jak nám
to pomůže? Celé to nyní mohu přepsat jako
limita pro x blížící se k 0... Tedy (1 minus cos(x)) krát
(1 plus cos(x)) je rovno... To je rovno 1 na druhou,
což je opět 1, minus cos(x)
na druhou. Je to rozdíl
druhých mocnin. A ve jmenovateli
budeme mít tohle, což je jen x
krát (1 plus cos(x)). Čemu se rovná 1 minus
cos(x) umocněný na druhou? Toto můžeme upravit
díky goniometrické jedničce. Rovná se to
sin(x) na druhou. Celý tento výraz tak mohu přepsat
jako limita pro x blížící se k 0... A tohle si nyní přepišme. Namísto sin(x) na druhou
napišme sin(x) krát sin(x). A já nyní vezmu první
sin(x), vezmu tenhle sin(x) a vydělím
ho tímto x, tedy sin(x) lomeno x krát (druhý
sin(x) lomeno 1 plus cos(x)). Krát sin(x) lomeno
1 plus cos(x). Použil jsem jen goniometrickou
jedničku a algebraické úpravy. Limita součinu těchto dvou výrazů
bude rovna součinu limit. Tohle si tedy
můžu přepsat jako: limita pro x blížící se k 0
ze sin(x) lomeno x krát limita pro x blížící se k 0
ze sin(x) lomeno 1 plus cos(x). Na začátku videa
jsme se dohodli, že můžeme předpokládat,
že tuto limitu známe. V jiném videu už
jsme si dokázali, čemu se rovná limita pro x blížící
se k 0 ze sin(x) lomeno x. Tato limita se rovná 1. Takže původní limita je
závislá pouze na tom, čemu se rovná
tato limita. A ta je poměrně
jednoduchá. Když se x blíží k 0, čitatel jde k 0,
protože sin(0) je 0 a jmenovatel se blíží… Cos(0) je 1, takže
jmenovatel se blíží ke 2. Tohle se tedy blíží
k 0 lomeno 2 neboli k 0. Tohle je rovno 0. 1 krát 0 se
jednoduše rovná 0. A máme hotovo. Díky tomuto faktu, goniometrickým vzorcům
a algebraickým úpravám jsme ukázali, že původní limita pro x blížící se k 0
z (1 minus cos(x)) lomeno x je rovna 0. Doporučuji vám
udělat si graf. Uvidíte, že graficky vám to
také bude dávat smysl.