Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro přirozené mocniny

Dokončil jsem několik videí na binomickou větu, proto teď, když jsou hotová si myslím, že je čas na důkaz obecných derivací. Spočítám derivaci funkce x na n-tou. Teď, když známe binomickou vétu, máme k tomu potřebný aparát. Jak spočítat tuto derivaci? Podle definice je derivace limita pro delta x jdoucí k nule funkce f(x) plus delta x. V tomto případě je f(x) plus delta x rovno (x plus delta x) na n-tou. Odečtu f(x), co je v tomto případě x na n-tou, a celé vydělím delta x. . Teď, když už známe binomickou větu, můžeme určit rozvoj (x plus delta x) na n-tou. Pokud neznáte binomickou větu, podívejte se na můj seznam videí k prerekvizitám kalkulu a podívejte se na video o binomické větě. Binomická věta hovoří, že tento výraz se rovná (budu potřebovat víc místa) limitě pro delta x jdoucí k nule... A binomická věta říká, že čitatel tohoto zlomku je roven x na n-tou plus n nad jednou... (Pokud je to pro vás španělská vesnice, podívejte se na video o binomické větě.) ... n nad jednou krát x na n mínus první krát delta x plus n nad dvěma krát x na n mínus druhou krát delta x na druhou plus několik dalších členů, které není třeba rozepisovat, ale postupují dle binomické věty až k poslednímu členu, který je roven jedné, neboli n nad n. Rozvoj tedy končí členem n nad n krát x na nultou krát delta x na n-tou. Tohle je tedy binomický rozvoj. Celý tenhle řádek zelenou barvou je vlastně rozvoj (x plus delta x) na n-tou, takže teď odečtu x na n-tou. (Je to x na n-tou, i když natěsno.) Všechno vydělím delta x. Můžu něco zjednodušit? Na začátku máme x na n-tou a úplně na konci také, takže tyto dva se vzájemně vyruší. Každý zbývající člen v čitateli obsahuje delta x, které se vyruší s delta x ve jmenovateli. Je to to samé, jako jedna lomeno x krát "zelený" výraz. To je rovno limitě pro delta x jdoucí k nule... Vydělíme čitatel a jmenovatel delta x, neboli vynásobíme čitatel členem jedna lomeno delta x a dostaneme n nad jednou krát x na n mínus první, protože delta x děleno delta x je prostě jedna. Plus n nad dvěma krát x na n mínus druhou... Tady je delta x na druhou, ale dělíme delta x, takže zůstane jenom delta x. Teď pokračují další členy a každý z nich dělíme delta x. Poslední člen obsahuje delta x na n-tou, ale i ten vydělíme delta x. Poslední člen bude tedy n nad n krát x na nultou, tedy jedna, což můžeme ignorovat a delta x na n-tou děleno delta x. To je delta x na n mínus první. Pro zopakování: počítáme limitu pro delta x jdoucí k nule. Když delta x jde k nule, každý člen obsahující delta x se změní na nulu. Při násobení nulou je výsledek nula. První člen sice neobsahuje delta x, ale všechny ostatní ano. I po dělení delta x v nich zústalo delta x. Takže to je nula. Každý z dalších n mínus jedna členů se změní v nulu. Zůstane jenom n nad jednou krát x na n mínus první. Kolik je n nad jednou? To je rovno n faktoriál lomeno jedna faktoriál krát n mínus jedna faktoriál, krát x na n mínus první. Jedna faktoriál je jedna. Napŕíklad sedm faktoriál děleno šest faktoriál je sedm. Nebo tři faktoriál děleno dva faktoriál je tři. Dá se to spočítat. Nebo deset faktoriál děleno devět faktoriál je deset, Takže n faktoriál děleno n mínus jedna faktoriál je rovno n. Takže tento výraz je roven n krát x na n mínus první. To je derivace x na n-tou: n krát x na n mínus první. Dokázal jsem, čemu je rovna derivace x na n-tou pro každé pŕirozené číslo n. Později uvidíme, že to platí i pro všechny reálné čísla a exponent. Nashledanou v dalším videu. Ještě bych zdůraznil, že na začátku jsem říkal, že je třeba znát binomickou větu. Ale když se nad tím zamyslíte, není ji třeba znát, protože pro každý binomický rozvoj po chvilce experimentování zistíte, že když rozvinete a plus b na n-tou, první člen bude a na n-tou, druhý člen bude plus n krát a na n mínus první krát b a takhle to pokračuje pro další členy. Ale pro tento důkaz stačí jen prvních pár členů, protože všechny ostatní se vyruší, když delta x jde k nule. Takže to jde i bez binomické věty, ale je lepší, když ji znáte. Nechci vás zmást, říkám jen, že si stačilo uvědomit, že všechny další členy jdou k nule. Doufám, že se vám důkaz líbil. Nashledanou příště.