Limita sin(x)/x pro x blížící se k 0

V tomto videu si dokážeme, že limita pro Θ blížící se k 0 ze sin(Θ) lomeno Θ se rovná 1. Začněme s takovým geometrickým obrázkem, který tady mám. Tato bílá kružnice je jednotková kružnice, označím ji, tedy její poloměr je 1. Jednotková kružnice. Co představuje délka této červené čáry? Délka této úsečky se rovná y-ové souřadnici bodu, v němž tento poloměr protíná naši jednotkovou kružnici. Z definice goniometrických funkcí vidíme, že v jednotkové kružnici se délka této úsečky rovná sin(Θ). Chceme-li zajistit, aby toto byla pravda i pro úhly Θ ze čtvrtého kvadrantu, což se nám bude hodit, můžeme si sem napsat absolutní hodnotu ze sin(Θ). A co ta modrá úsečka? Dokážeme ji popsat pomocí goniometrických funkcí? Zamysleme se nad tím. Čemu by se rovnala tangenta z Θ? Napišme si to sem. Tan(Θ) se rovná protilehlá ku přilehlé. Když se podíváme na tento větší trojúhelník, tady je náš úhel Θ v radiánech, toto je protilehlá strana a přilehlá strana tady dole má délku 1, protože tu máme jednotkovou kružnici. Tohle má tedy délku 1. Tan(Θ) je tudíž roven délce protilehlé strany. Délka protilehlé strany je rovna tan(Θ). A podobně jako předtím, tohle bude kladné číslo pro úhly z prvního kvadrantu, ale já chci, aby to platilo pro první i čtvrtý kvadrant, potřebuji to v důkazu, takže sem připíšu absolutní hodnotu. Když už máme tohle hotové, zamysleme se nad některými trojúhelníky a jejich obsahy. Nejdříve nakreslím trojúhelník ležící v této kruhové výseči, v tomto kousku koláče uvnitř kruhu. Takže udělám tento trojúhelník. Zamysleme se nad tím, jaký je obsah plochy, kterou právě zvýrazňuji. Jak bych mohl vyjádřit tento obsah? Jde o trojúhelník a my víme, že obsah trojúhelníku je jedna polovina délky základny krát výška. Víme, že výška je rovna absolutní hodnotě ze sin(Θ) a že základna má délku 1. Tato plocha má tedy obsah 1/2 krát délka základny, což je 1, krát výška, která je rovna absolutní hodnotě ze sin(Θ). Napíšu to ještě sem. Můžu to napsat jako absolutní hodnotu ze sin(Θ) lomenou 2. Nyní se podívejme na obsah této výseče, kterou právě zvýrazňuji touhle oranžovou barvou. Jak velké části celého kruhu se tohle bude rovnat? Kdybych obešel celý kruh, byl by to úhel 2π, takže tohle je Θ lomeno 2π celého kruhu, a my víme, jaký je obsah kruhu. Tohle je jednotkový kruh s poloměrem 1. Takže tady bude krát obsah kruhu, tedy π krát poloměr umocněný na druhou, ale poloměr je 1, takže jen krát π. Obsah této výseče je tedy Θ lomeno 2. Kdybychom chtěli, aby to platilo i pro Θ ze čtvrtého kvadrantu, můžeme sem dopsat absolutní hodnotu, protože obsah je vždy kladná hodnota. Nyní se zaměřme na tento velký trojúhelník, který zvýrazním modře. To bude poměrně přímočaré. Obsah je 1/2 krát délka základny krát výška. Obsah celé této plochy se rovná 1/2 krát délka základny, což je 1, krát výška, což je absolutní hodnota z tan(Θ). To si můžeme přepsat sem jako absolutní hodnota z tan(Θ) lomená 2. Jak byste porovnali obsah tohoto červeného trojúhelníku, který leží uvnitř této výseče, a jak byste porovnali obsah této výseče s obsahem většího trojúhelníku? Je jasné, že obsah červeného trojúhelníku je menší nebo roven obsahu výseče a že obsah výseče je menší nebo roven obsahu velkého modrého trojúhelníku. Ve výseči je celý červený trojúhelník a navíc ještě tato oblast. V modrém trojúhelníku je celá výseč a navíc je v něm ještě tato oblast. Takže myslím, že z obrázku vidíme, že tohle tvrzení je pravdivé. Nyní provedu jisté algebraické úpravy. Nejprve všechno vynásobím 2. Potom mohu napsat, že absolutní hodnota ze sin(Θ) je menší nebo rovna absolutní hodnotě z Θ, která je menší nebo rovna absolutní hodnotě z tan(Θ). Namísto absolutní hodnoty z tan(Θ) napíšu: absolutní hodnota ze sin(Θ) lomeno absolutní hodnota z cos(Θ). To se rovná absolutní hodnotě z tan(Θ). Tohle jsem udělal proto, že nyní můžeme vše vydělit absolutní hodnotou ze sin(Θ). Protože dělíme kladným číslem, nemusíme obracet symboly nerovností. Tak to udělejme. Tedy tohle vydělím absolutní hodnotou ze sin(Θ), tohle také vydělím absolutní hodnotou ze sin(Θ) a taky tohle vydělím absolutní hodnotou ze sin(Θ). A co mi vyjde? Tady mi vyjde 1 a napravo dostanu 1 lomeno absolutní hodnota z cos(Θ). Tohle se nám pokrátí. Nyní ze všeho vezmu převrácené hodnoty. A když ze všeho bereme převrácenou hodnotu, symbol nerovnosti se obrací. Převrácená hodnota z 1 je pořád 1. A protože beru převrácené hodnoty, větší nebo rovno absolutní hodnotě ze sin(Θ) lomeno absolutní hodnotou z Θ, a větší nebo rovno převrácené hodnotě z 1 lomeno absolutní hodnotou z cos(Θ), a to je absolutní hodnota z cos(Θ). A zajímá nás pouze první a čtvrtý kvadrant, Θ se k 0 může blížit z této strany nebo z této strany, neboli z prvního a čtvrtého kvadrantu. Když jsme v prvním kvadrantu a Θ je kladná, sin(Θ) bude také kladný. Když jsme ve čtvrtém kvadrantu a Θ je záporná, sin(Θ) bude mít stejné znaménko, bude také záporný. Tyto absolutní hodnoty tak nejsou potřeba. V prvním kvadrantu jsou sin(Θ) i Θ kladné, ve čtvrtém kvadrantu je obojí záporné, když je vydělíme, dostaneme vždy kladné číslo. Takže absolutní hodnoty mohu smazat. Když jsme v prvním nebo ve čtvrtém kvadrantu, x není záporné, a proto ani cos(Θ), což je x-ová souřadnice na jednotkové kružnici, nebude záporný. Takže ani tady nepotřebujeme absolutní hodnotu. Teď bychom se měli na chvíli zastavit, protože už jsme vlastně skoro hotoví. Vytvořili jsme si tři funkce. Na tohle se můžeme dívat jako na f(x) se rovná… …jako na f(Θ) rovná se 1, g(Θ) se rovná tomuto a h(Θ) rovná se tohle. A to na intervalu, který nás zajímá. Řekněme, že jde o −π lomeno 2 je menší než Θ a to je menší než π lomeno 2. Na tomto intervalu je tohle pravda pro všechna Θ, pro která jsou naše funkce definované. Sin(Θ) lomeno Θ je definované na celém intervalu kromě bodu Θ rovno 0. Ale protože všude jinde je to definované, můžeme nyní spočítat limitu. Můžeme říci, že podle věty o dvou policajtech platí, že když je to pravda na našem intervalu, tak také víme, že platí následující. A toto by si zasloužilo fanfáru. Limita pro Θ jdoucí k 0 tohoto je větší nebo rovno limitě pro Θ jdoucí k 0 tohoto, což je to, co nás zajímá, tedy sin(Θ) lomeno Θ, a to je větší nebo rovno než limita pro Θ blížící se k 0 z tohoto. Tohle se zřejmě rovná 1. Tuto limitu chceme spočítat. A čemu se rovná limita pro Θ blížící se k 0 z cos(Θ)? Cos(0) je 1 a jde o spojitou funkci, a tak se toto rovná 1. Tato limita je menší nebo rovna 1 a také větší nebo rovna 1. Tohle tak musí být rovno 1. A máme hotovo.