Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 13: Videa s důkazy- Důkaz: Diferencovatelnost implikuje spojitost
- Vysvětlení pravidla pro derivaci mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro přirozené mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro druhé odmocniny
- Limita sin(x)/x pro x blížící se k 0
- Limita (1-cos(x))/x pro x blížící se k 0
- Důkaz derivace funkce sin(x)
- Důkaz derivace funkce cos(x)
- Důkaz vzorce pro derivaci součinu
Limita sin(x)/x pro x blížící se k 0
Ukážeme si, že pro x blížící se k 0 se hodnota výrazu sin(x)/x blíží k 1. Pokud se divíš, proč tomu tak je, jsi na správném místě!
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu
si dokážeme, že limita pro Θ blížící se k 0
ze sin(Θ) lomeno Θ se rovná 1. Začněme s takovým geometrickým
obrázkem, který tady mám. Tato bílá kružnice je jednotková
kružnice, označím ji, tedy její
poloměr je 1. Jednotková kružnice. Co představuje
délka této červené čáry? Délka této úsečky se rovná
y-ové souřadnici bodu, v němž tento poloměr protíná
naši jednotkovou kružnici. Z definice goniometrických
funkcí vidíme, že v jednotkové kružnici
se délka této úsečky rovná sin(Θ). Chceme-li zajistit, aby toto byla pravda
i pro úhly Θ ze čtvrtého kvadrantu, což se nám
bude hodit, můžeme si sem napsat
absolutní hodnotu ze sin(Θ). A co ta
modrá úsečka? Dokážeme ji popsat pomocí
goniometrických funkcí? Zamysleme
se nad tím. Čemu by se rovnala
tangenta z Θ? Napišme
si to sem. Tan(Θ) se rovná
protilehlá ku přilehlé. Když se podíváme na
tento větší trojúhelník, tady je náš
úhel Θ v radiánech, toto je protilehlá strana a přilehlá
strana tady dole má délku 1, protože tu máme
jednotkovou kružnici. Tohle má tedy
délku 1. Tan(Θ) je tudíž roven
délce protilehlé strany. Délka protilehlé strany
je rovna tan(Θ). A podobně
jako předtím, tohle bude kladné číslo
pro úhly z prvního kvadrantu, ale já chci, aby to platilo
pro první i čtvrtý kvadrant, potřebuji
to v důkazu, takže sem připíšu
absolutní hodnotu. Když už máme
tohle hotové, zamysleme se nad některými
trojúhelníky a jejich obsahy. Nejdříve nakreslím trojúhelník
ležící v této kruhové výseči, v tomto kousku
koláče uvnitř kruhu. Takže udělám
tento trojúhelník. Zamysleme se nad tím, jaký je obsah
plochy, kterou právě zvýrazňuji. Jak bych mohl
vyjádřit tento obsah? Jde o trojúhelník
a my víme, že obsah trojúhelníku je jedna
polovina délky základny krát výška. Víme, že výška je rovna absolutní hodnotě
ze sin(Θ) a že základna má délku 1. Tato plocha má tedy obsah
1/2 krát délka základny, což je 1, krát výška, která je rovna
absolutní hodnotě ze sin(Θ). Napíšu
to ještě sem. Můžu to napsat jako absolutní
hodnotu ze sin(Θ) lomenou 2. Nyní se podívejme
na obsah této výseče, kterou právě zvýrazňuji
touhle oranžovou barvou. Jak velké části celého kruhu
se tohle bude rovnat? Kdybych obešel celý kruh,
byl by to úhel 2π, takže tohle je Θ lomeno
2π celého kruhu, a my víme, jaký
je obsah kruhu. Tohle je jednotkový
kruh s poloměrem 1. Takže tady bude
krát obsah kruhu, tedy π krát poloměr
umocněný na druhou, ale poloměr je 1,
takže jen krát π. Obsah této výseče
je tedy Θ lomeno 2. Kdybychom chtěli, aby to platilo
i pro Θ ze čtvrtého kvadrantu, můžeme sem dopsat
absolutní hodnotu, protože obsah je
vždy kladná hodnota. Nyní se zaměřme na tento velký
trojúhelník, který zvýrazním modře. To bude
poměrně přímočaré. Obsah je 1/2 krát délka
základny krát výška. Obsah celé této plochy se rovná 1/2
krát délka základny, což je 1, krát výška, což je absolutní
hodnota z tan(Θ). To si můžeme přepsat sem jako
absolutní hodnota z tan(Θ) lomená 2. Jak byste porovnali obsah
tohoto červeného trojúhelníku, který leží uvnitř této výseče, a jak byste porovnali obsah této výseče
s obsahem většího trojúhelníku? Je jasné, že obsah červeného trojúhelníku
je menší nebo roven obsahu výseče a že obsah výseče je menší nebo roven
obsahu velkého modrého trojúhelníku. Ve výseči je celý červený
trojúhelník a navíc ještě tato oblast. V modrém trojúhelníku je celá výseč
a navíc je v něm ještě tato oblast. Takže myslím, že z obrázku vidíme,
že tohle tvrzení je pravdivé. Nyní provedu jisté
algebraické úpravy. Nejprve všechno
vynásobím 2. Potom mohu
napsat, že absolutní hodnota ze sin(Θ) je menší
nebo rovna absolutní hodnotě z Θ, která je menší nebo rovna
absolutní hodnotě z tan(Θ). Namísto absolutní
hodnoty z tan(Θ) napíšu: absolutní hodnota ze sin(Θ)
lomeno absolutní hodnota z cos(Θ). To se rovná absolutní
hodnotě z tan(Θ). Tohle jsem
udělal proto, že nyní můžeme vše vydělit
absolutní hodnotou ze sin(Θ). Protože dělíme
kladným číslem, nemusíme obracet
symboly nerovností. Tak to udělejme. Tedy tohle vydělím absolutní
hodnotou ze sin(Θ), tohle také vydělím absolutní
hodnotou ze sin(Θ) a taky tohle vydělím
absolutní hodnotou ze sin(Θ). A co mi vyjde? Tady mi vyjde 1 a napravo dostanu 1 lomeno
absolutní hodnota z cos(Θ). Tohle se nám
pokrátí. Nyní ze všeho vezmu
převrácené hodnoty. A když ze všeho bereme
převrácenou hodnotu, symbol nerovnosti
se obrací. Převrácená hodnota
z 1 je pořád 1. A protože beru
převrácené hodnoty, větší nebo rovno absolutní hodnotě
ze sin(Θ) lomeno absolutní hodnotou z Θ, a větší nebo rovno převrácené hodnotě
z 1 lomeno absolutní hodnotou z cos(Θ), a to je absolutní
hodnota z cos(Θ). A zajímá nás pouze
první a čtvrtý kvadrant, Θ se k 0 může blížit z této
strany nebo z této strany, neboli z prvního a
čtvrtého kvadrantu. Když jsme v prvním
kvadrantu a Θ je kladná, sin(Θ) bude
také kladný. Když jsme ve čtvrtém
kvadrantu a Θ je záporná, sin(Θ) bude mít stejné
znaménko, bude také záporný. Tyto absolutní hodnoty
tak nejsou potřeba. V prvním kvadrantu jsou
sin(Θ) i Θ kladné, ve čtvrtém kvadrantu
je obojí záporné, když je vydělíme,
dostaneme vždy kladné číslo. Takže absolutní hodnoty
mohu smazat. Když jsme v prvním
nebo ve čtvrtém kvadrantu, x není záporné,
a proto ani cos(Θ), což je x-ová souřadnice na
jednotkové kružnici, nebude záporný. Takže ani tady nepotřebujeme
absolutní hodnotu. Teď bychom se měli
na chvíli zastavit, protože už jsme
vlastně skoro hotoví. Vytvořili jsme
si tři funkce. Na tohle se můžeme
dívat jako na f(x) se rovná… …jako na f(Θ) rovná se 1, g(Θ) se rovná tomuto
a h(Θ) rovná se tohle. A to na intervalu,
který nás zajímá. Řekněme, že jde o −π
lomeno 2 je menší než Θ a to je menší
než π lomeno 2. Na tomto intervalu je
tohle pravda pro všechna Θ, pro která jsou
naše funkce definované. Sin(Θ) lomeno Θ je definované na
celém intervalu kromě bodu Θ rovno 0. Ale protože všude
jinde je to definované, můžeme nyní
spočítat limitu. Můžeme říci, že podle věty
o dvou policajtech platí, že když je to pravda
na našem intervalu, tak také víme,
že platí následující. A toto by si
zasloužilo fanfáru. Limita pro Θ jdoucí k 0 tohoto je větší
nebo rovno limitě pro Θ jdoucí k 0 tohoto, což je to, co nás zajímá,
tedy sin(Θ) lomeno Θ, a to je větší nebo rovno než
limita pro Θ blížící se k 0 z tohoto. Tohle se
zřejmě rovná 1. Tuto limitu
chceme spočítat. A čemu se rovná limita pro
Θ blížící se k 0 z cos(Θ)? Cos(0) je 1 a jde o spojitou
funkci, a tak se toto rovná 1. Tato limita je menší nebo rovna 1
a také větší nebo rovna 1. Tohle tak
musí být rovno 1. A máme hotovo.