Důkaz derivace funkce cos(x)

V tomto videu chci ukázat grafický náhled, proč je derivace cos(x) podle x rovna −sin(x). Budeme vycházet z minulého videa. Tam jsme ukázali, že derivace sin(x) podle x je rovna cos(x). Toto tedy budeme předpokládat. A doporučuji vám se na to video podívat. Když budeme toto předpokládat, tak ukážeme tohle. Tedy, že derivace cos(x) podle x je rovna −sin(x). V horním grafu vidíme červeně sin(x) a modře cos(x). Navíc předpokládáme, že graf modré funkce ukazuje derivaci grafu červené funkce. Nebo-li, modrá ukazuje, jak rychle červená roste. Intuici na derivace jsme získali v minulém videu. Nyní posuneme oba grafy funkcí doleva o pí půl. Posuňme červený graf funkce o pí půl doleva. Posuňme modrý graf funkce o pí půl doleva. Co dostaneme? Graf modré funkce bude vypadat takto. Pokud jsme předtím měli graf cos(x), nyní obdržíme graf cos(x plus pí půl). A toto bude graf funkce sin(x plus pí půl). Jediné co jsme udělali, je posun obou grafů funkcí o pí půl. Proto stále bude graf modré funkce derivací grafu červené funkce. Můžeme tedy říct následující. Derivace červené funkce (tedy sin(x plus pí půl) je graf modré funkce. Kde graf modré funkce je roven cos(x plus pí půl). Kolik je sin(x plus pí půl)? To je stejné jako cos(x). Tedy graf červené funkce je ve skutečnosti cos(x). Což víme buď z trigonometrických vzorečků nebo intuitivně z obrázku. Kolik je pak cos(x plus pí půl)? Opět, z trigonometrických vzorečků víme, že to je −sin(x). No a zde je grafický důkaz našeho tvrzení. Začneme s touto znalostí. Poté posuneme oba grafy funkcí o pí půl. Avšak stále bude platit, že derivace sin(x plus pí půl) podle x je cos(x plus pí půl). Což je to stejné, co jsme udělali zde. Nyní se můžeme cítit opravdu dobře. V minulém videu jsme toto dokázali a nyní nahlédli na tvar derivace cos(x).