Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 13: Videa s důkazy- Důkaz: Diferencovatelnost implikuje spojitost
- Vysvětlení pravidla pro derivaci mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro přirozené mocniny
- Důkaz vzorce pro derivaci mocniny pro druhé odmocniny
- Limita sin(x)/x pro x blížící se k 0
- Limita (1-cos(x))/x pro x blížící se k 0
- Důkaz derivace funkce sin(x)
- Důkaz derivace funkce cos(x)
- Důkaz vzorce pro derivaci součinu
Důkaz derivace funkce cos(x)
Pomocí toho, že derivace sin(x) je cos(x), a některých názorných pomůcek si dokážeme, že derivace cos(x) je -sin(x).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu chci
ukázat grafický náhled, proč je derivace cos(x)
podle x rovna −sin(x). Budeme vycházet
z minulého videa. Tam jsme ukázali, že derivace sin(x)
podle x je rovna cos(x). Toto tedy budeme
předpokládat. A doporučuji vám
se na to video podívat. Když budeme toto předpokládat,
tak ukážeme tohle. Tedy, že derivace cos(x)
podle x je rovna −sin(x). V horním grafu vidíme
červeně sin(x) a modře cos(x). Navíc předpokládáme, že graf modré funkce
ukazuje derivaci grafu červené funkce. Nebo-li, modrá ukazuje,
jak rychle červená roste. Intuici na derivace jsme
získali v minulém videu. Nyní posuneme oba grafy
funkcí doleva o pí půl. Posuňme červený graf
funkce o pí půl doleva. Posuňme modrý graf
funkce o pí půl doleva. Co dostaneme? Graf modré funkce
bude vypadat takto. Pokud jsme předtím měli graf cos(x),
nyní obdržíme graf cos(x plus pí půl). A toto bude graf
funkce sin(x plus pí půl). Jediné co jsme udělali, je posun
obou grafů funkcí o pí půl. Proto stále bude graf modré funkce
derivací grafu červené funkce. Můžeme tedy
říct následující. Derivace červené funkce (tedy
sin(x plus pí půl) je graf modré funkce. Kde graf modré funkce je
roven cos(x plus pí půl). Kolik je
sin(x plus pí půl)? To je stejné
jako cos(x). Tedy graf červené funkce je
ve skutečnosti cos(x). Což víme buď z trigonometrických
vzorečků nebo intuitivně z obrázku. Kolik je pak
cos(x plus pí půl)? Opět, z trigonometrických vzorečků
víme, že to je −sin(x). No a zde je grafický
důkaz našeho tvrzení. Začneme
s touto znalostí. Poté posuneme oba
grafy funkcí o pí půl. Avšak stále
bude platit, že derivace sin(x plus pí půl)
podle x je cos(x plus pí půl). Což je to stejné, co
jsme udělali zde. Nyní se můžeme
cítit opravdu dobře. V minulém videu jsme toto dokázali a
nyní nahlédli na tvar derivace cos(x).