Úvod do využití diferenciálního počtu v přímočarém pohybu

V tomto videu se podíváme na to, jak popsat polohu na přímce jako funkci času. Zajímá nás tedy poloha, přičemž tím budeme myslet polohu na ose x, jako funkce času. Polohu můžeme definovat nějakým předpisem. Řekněme, že v tomto případě to je: Čas na třetí minus 3 krát (čas na druhou) plus 5. Tohle bude platit pro libovolný nezáporný čas, protože záporná hodnota času by se nám alespoň zatím nejspíš zdála podivná. Zamysleme se, co přesně tento předpis říká. Udělejme si k tomu takovou tabulku, která nám pomůže porozumět, jaká bude v závislosti na čase... Řekněme, že čas je v sekundách. ...jaká bude naše poloha na ose x. V čase 0 se x(0) rovná 5. V čase 1 to bude 1 minus 3 plus 5, což se rovná... 1 minus 3 je −2, −2 plus 5 nám dá 3. V čase 2 bude poloha 8 minus 12 plus 5, což se rovná 1. V čase t rovná se 3 to bude 27 minus 27 plus 5, takže se vrátíme zpátky do bodu 5. Tohle nám tedy pomůže pochopit, co se děje alespoň během prvních tří sekund. Nakreslím si sem kladnou část osy x, která bude vypadat nějak takhle. Tohle bude bod x rovná se 0. Je to osa x. Zde budou body x rovná se 1, 2, 3, 4 a 5. Podívejme se nyní, jak se hmotná částice, jejíž polohu tohle popisuje, pohybuje po ose x. Částice začíná zde a tady bude v čase 1, 2, 3. Udělejme to ještě jednou. Toto bude poloha částice v čase 1, 2, 3. Myší jsem teď hýbal tak, že za předpokladu, že moje načasování bylo zhruba správné, jde přesně o pohyb, který vykonává částice. Můžeme si to také nakreslit do grafu. Vypadalo by to nějak takhle. Začínáme v čase t rovná se 0 a naše poloha... Tohle je sice svislá osa y, ale tady říkáme, že y se rovná naší poloze na ose x. To je trochu v rozporu s naší intuicí, protože mluvíme o poloze na vodorovné přímce, ale zde máme svislou přímku. Dojde ale k tomu samému. V čase t rovno 1 se naše poloha zmenší na 3, načež poloha dále klesá, až je v čase 2 rovna 1. Následně změníme směr a během další... Řekněme, že čas je v sekundách. ...během další sekundy se dostaneme zpět do 5. Když už známe diferenciální počet, tak je zajímavé zamyslet se nad tím, jaká je rychlost částice v libovolném čase. Rychlost je, jak si možná vzpomínáte, derivací polohy. Zapíšu to. Zajímá nás rychlost jako funkce času. Na rychlost se můžeme dívat jako na první derivaci polohy podle času, což se rovná, když několikrát použijeme vzorec pro derivaci mocniny a další pravidla derivování... Pokud vám tohle nezní povědomě, tak vám doporučuji se na to podívat. Bude to 3 krát (t na druhou) minus 6 krát t a ještě plus 0. Definiční obor zase omezíme pouze na t větší nebo rovno 0. Tohle si můžeme opět nakreslit do grafu. Vypadá to nějak takhle. Podívejme se, zda tato křivka odpovídá naší intuici. Ukázali jsme si, kde bude částice po 1, 2, 3 sekundách. Nejprve se tedy částice hýbe doleva. Je takovým zvykem, že když jde o pohyb doleva, rychlost je záporná, zatímco když jde o pohyb doprava, rychlost je kladná. Vidíme, že rychlost je nejprve čím dál tím víc záporná, až se dostaneme do času 1 sekunda, načež je ještě pořád záporná, ale už čím dál tím méně, až se dostaneme do času 2 sekundy, po kterém se rychlost stává kladnou. To dává smysl, protože v čase 2 sekundy rychlost změnila směr, a to na směr doprava. Rychlost je tedy zprvu čím dál víc záporná, poté méně a méně záporná a nakonec změní směr a částice se hýbe takto. Vidíme to na tomto grafu. Když mluvíme o rychlosti jako funkci času, tak je dobré mít na paměti, že rychlost a velikost rychlosti není to samé. Velikost rychlosti... Napíšu to. Velikost rychlosti se rovná... Když jde o pohyb na přímce, tak můžeme říct, že jde o absolutní hodnotu rychlosti vyjádřené jako funkce času. I když tak byla rychlost částice zpočátku čím dál víc záporná, velikost rychlosti rostla. Částice šla doleva a velikost její rychlosti rostla, pak zpomalila, takže velikost rychlosti klesla, a pak šla doprava a velikost rychlosti opět rostla. Později si ukážeme několik řešených příkladů, které to vysvětlí podrobněji. Poslední věc, na kterou se v tomto videu podíváme, je zrychlení. Na zrychlení se můžeme dívat jako na rychlost změny rychlosti vzhledem k času. Zrychlení jako funkce času je tedy první derivace rychlosti podle času, což se rovná druhé derivaci polohy podle času. Jde tedy o derivaci tohoto výrazu. Pomocí pravidla pro derivaci mocniny to bude 6 krát t... Ještě derivace mocniny zde. ...minus 6. Definiční obor bude zase takto omezený. Můžeme si to opět nakreslit do našeho grafu. Vidíme, že... Toto je graf y rovná se zrychlení jako funkce času. Vidíme, že v čase 0 je zrychlení poměrně záporné, je to −6. Následně je zrychlení čím dál tím méně záporné, až se zrychlení v čase t rovná se 1 stane kladným. Dává to smysl? Toto jsou polohy částice v čase 1, 2, 3. Možná si říkáte, že směr se přece změnil až po dvou sekundách. Vzpomeňme si však, že po uplynutí první sekundy se rychlost, která má záporný směr, stává méně a méně zápornou, což znamená, že zrychlení je kladné. Pokud je to teď trochu matoucí, zastavte si video a popřemýšlejte nad tím. Zrychlení částice je tedy nejprve záporné, potom se mění na kladné a kladným zůstává. Tohle vám snad dá základní intuici. V dalších videích uděláme několik řešených příkladů, které nám pomohou hlouběji proniknout do zkoumání pohybu a polohy... Do zkoumání přímočarého pohybu.