Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 2: Přímočarý pohyb- Úvod do využití diferenciálního počtu v přímočarém pohybu
- Určování směru pohybu tělesa z grafu polohy tělesa v čase
- Určování směru pohybu tělesa z grafu rychlosti tělesa v čase
- Určování změny rychlosti tělesa z grafu rychlosti tělesa v čase
- Práce s grafy popisujícími přímočarý pohyb
- Řešený příklad: Úloha na přímočarý pohyb řešená pomocí derivací
- Úlohy na přímočarý pohyb (diferenciální počet)
- Celková uražená vzdálenost pomocí derivací
Úvod do využití diferenciálního počtu v přímočarém pohybu
Přímočarý pohyb lze modelovat tak, že polohu tělesa vyjádříme jako funkci času. Díky diferenciálnímu počtu pak ze znalosti polohy tělesa dokážeme něco říct i o jeho rychlosti a zrychlení.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se
podíváme na to, jak popsat polohu na
přímce jako funkci času. Zajímá nás
tedy poloha, přičemž tím budeme
myslet polohu na ose x, jako funkce času. Polohu můžeme definovat
nějakým předpisem. Řekněme, že v
tomto případě to je: Čas na třetí minus 3 krát
(čas na druhou) plus 5. Tohle bude platit pro
libovolný nezáporný čas, protože záporná hodnota času by se nám
alespoň zatím nejspíš zdála podivná. Zamysleme se, co přesně
tento předpis říká. Udělejme si k tomu
takovou tabulku, která nám pomůže porozumět,
jaká bude v závislosti na čase... Řekněme, že čas
je v sekundách. ...jaká bude naše
poloha na ose x. V čase 0
se x(0) rovná 5. V čase 1 to bude
1 minus 3 plus 5, což se rovná... 1 minus 3 je −2,
−2 plus 5 nám dá 3. V čase 2 bude poloha
8 minus 12 plus 5, což se rovná 1. V čase t rovná se 3 to bude
27 minus 27 plus 5, takže se vrátíme
zpátky do bodu 5. Tohle nám tedy pomůže pochopit, co se
děje alespoň během prvních tří sekund. Nakreslím si sem
kladnou část osy x, která bude vypadat
nějak takhle. Tohle bude bod
x rovná se 0. Je to osa x. Zde budou body
x rovná se 1, 2, 3, 4 a 5. Podívejme se nyní,
jak se hmotná částice, jejíž polohu tohle popisuje,
pohybuje po ose x. Částice začíná zde
a tady bude v čase 1, 2, 3. Udělejme to
ještě jednou. Toto bude poloha
částice v čase 1, 2, 3. Myší jsem
teď hýbal tak, že za předpokladu, že moje
načasování bylo zhruba správné, jde přesně o pohyb,
který vykonává částice. Můžeme si to také
nakreslit do grafu. Vypadalo by to
nějak takhle. Začínáme v čase t rovná
se 0 a naše poloha... Tohle je sice
svislá osa y, ale tady říkáme, že y se
rovná naší poloze na ose x. To je trochu v
rozporu s naší intuicí, protože mluvíme o
poloze na vodorovné přímce, ale zde máme
svislou přímku. Dojde ale
k tomu samému. V čase t rovno 1 se
naše poloha zmenší na 3, načež poloha dále klesá,
až je v čase 2 rovna 1. Následně změníme
směr a během další... Řekněme, že čas
je v sekundách. ...během další sekundy
se dostaneme zpět do 5. Když už známe diferenciální počet,
tak je zajímavé zamyslet se nad tím, jaká je rychlost částice
v libovolném čase. Rychlost je, jak si možná
vzpomínáte, derivací polohy. Zapíšu to. Zajímá nás rychlost
jako funkce času. Na rychlost se můžeme dívat jako
na první derivaci polohy podle času, což se rovná, když několikrát
použijeme vzorec pro derivaci mocniny a další pravidla
derivování... Pokud vám tohle nezní povědomě,
tak vám doporučuji se na to podívat. Bude to 3 krát (t na druhou)
minus 6 krát t a ještě plus 0. Definiční obor zase omezíme
pouze na t větší nebo rovno 0. Tohle si můžeme
opět nakreslit do grafu. Vypadá to
nějak takhle. Podívejme se, zda tato
křivka odpovídá naší intuici. Ukázali jsme si, kde bude
částice po 1, 2, 3 sekundách. Nejprve se tedy
částice hýbe doleva. Je takovým zvykem, že když jde
o pohyb doleva, rychlost je záporná, zatímco když jde o pohyb
doprava, rychlost je kladná. Vidíme, že rychlost je nejprve
čím dál tím víc záporná, až se dostaneme
do času 1 sekunda, načež je ještě pořád záporná,
ale už čím dál tím méně, až se dostaneme
do času 2 sekundy, po kterém se
rychlost stává kladnou. To dává smysl, protože v čase
2 sekundy rychlost změnila směr, a to na směr
doprava. Rychlost je tedy zprvu
čím dál víc záporná, poté méně
a méně záporná a nakonec změní směr
a částice se hýbe takto. Vidíme to
na tomto grafu. Když mluvíme o rychlosti jako funkci
času, tak je dobré mít na paměti, že rychlost a velikost
rychlosti není to samé. Velikost rychlosti... Napíšu to. Velikost rychlosti
se rovná... Když jde o pohyb na
přímce, tak můžeme říct, že jde o absolutní hodnotu
rychlosti vyjádřené jako funkce času. I když tak byla rychlost částice
zpočátku čím dál víc záporná, velikost rychlosti rostla. Částice šla doleva
a velikost její rychlosti rostla, pak zpomalila, takže
velikost rychlosti klesla, a pak šla doprava
a velikost rychlosti opět rostla. Později si ukážeme několik řešených
příkladů, které to vysvětlí podrobněji. Poslední věc, na kterou se
v tomto videu podíváme, je zrychlení. Na zrychlení se můžeme dívat jako na
rychlost změny rychlosti vzhledem k času. Zrychlení jako funkce času je tedy
první derivace rychlosti podle času, což se rovná druhé derivaci
polohy podle času. Jde tedy o derivaci
tohoto výrazu. Pomocí pravidla pro derivaci
mocniny to bude 6 krát t... Ještě derivace
mocniny zde. ...minus 6. Definiční obor bude
zase takto omezený. Můžeme si to opět
nakreslit do našeho grafu. Vidíme, že... Toto je graf y rovná se
zrychlení jako funkce času. Vidíme, že v čase 0 je zrychlení
poměrně záporné, je to −6. Následně je zrychlení
čím dál tím méně záporné, až se zrychlení v čase
t rovná se 1 stane kladným. Dává to smysl? Toto jsou polohy
částice v čase 1, 2, 3. Možná si říkáte, že směr se přece
změnil až po dvou sekundách. Vzpomeňme si však, že po
uplynutí první sekundy se rychlost, která má záporný směr,
stává méně a méně zápornou, což znamená,
že zrychlení je kladné. Pokud je to teď trochu matoucí,
zastavte si video a popřemýšlejte nad tím. Zrychlení částice je tedy nejprve záporné,
potom se mění na kladné a kladným zůstává. Tohle vám snad
dá základní intuici. V dalších videích uděláme
několik řešených příkladů, které nám pomohou hlouběji proniknout
do zkoumání pohybu a polohy... Do zkoumání
přímočarého pohybu.