Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 2: Přímočarý pohyb- Úvod do využití diferenciálního počtu v přímočarém pohybu
- Určování směru pohybu tělesa z grafu polohy tělesa v čase
- Určování směru pohybu tělesa z grafu rychlosti tělesa v čase
- Určování změny rychlosti tělesa z grafu rychlosti tělesa v čase
- Práce s grafy popisujícími přímočarý pohyb
- Řešený příklad: Úloha na přímočarý pohyb řešená pomocí derivací
- Úlohy na přímočarý pohyb (diferenciální počet)
- Celková uražená vzdálenost pomocí derivací
Řešený příklad: Úloha na přímočarý pohyb řešená pomocí derivací
V tomto videu určíme rychlost a zrychlení hmotného bodu, když máme jeho polohu vyjádřenou jako funkci času.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Hmotná částice se
pohybuje podél osy x. Funkce x(t) udává polohu této částice
v libovolném čase t větším nebo rovno 0. Zde máme
předpis funkce x(t). Jaká je rychlost v(t) této částice
v čase t rovno 2? Zastavte si teď video
a zkuste na to přijít sami. Hlavní je
si uvědomit, že rychlost jakožto funkce času
je rovna derivaci polohy, která se rovná... Tohle musíme
zderivovat podle t. Derivace (t na třetí) podle t
je 3 krát (t na druhou). Pokud vám to
není povědomé, tak doporučuji podívat se na
vzorec pro derivaci mocniny. Derivace výrazu −4 krát (t na druhou)
podle t je −8 krát t. Derivace (3 krát t)
podle t je +3. Derivace konstanty, která se v
průběhu času nemění, je rovna 0. Získali jsme tedy rychlost
jako funkci času. Když chceme znát
rychlost v čase t rovná se 2, tak musíme všude
za t dosadit 2. Vyjde nám 3 krát 4,
protože to je 3 krát (2 na druhou), takže zde bude
12 minus (8 krát 2), tedy 12 minus 16, a ještě plus 3,
což se celé rovná −1. Možná si říkáte, že jenom číslo −1
nevypadá zrovna jako nějaká rychlost. Pokud bychom měli
zadané jednotky, pokud by bylo řečeno,
že ‚x‘ je v metrech a ‚t‘ v sekundách, tak by x bylo... Už jsem řekl,
že to bude v metrech, a rychlost by byla
−1 metr za sekundu. Také si možná říkáte,
co znamená to minus. Znamená to, že se
pohybujeme směrem doleva. Vzpomeňme si, že částice
se pohybuje podél osy x, takže pokud je
rychlost záporná, tak to znamená,
že x klesá, tedy že jdeme
směrem doleva. Jaké je zrychlení a(t) této částice
v čase t rovno 3? Opět si zastavte video
a zkuste to spočítat. V tomto případě
je třeba si uvědomit, že zrychlení jakožto funkce času
je derivace rychlosti, která je rovna
druhé derivaci polohy, a to se rovná
derivaci tohohle. Vyjde nám,
že to je... Derivace výrazu 3 krát (t na druhou)
podle t je 6 krát t. Derivace (−8 krát t)
podle t je −8 a derivace
konstanty je 0, takže to bude
6 krát t minus 8. Zrychlení částice v čase t rovná se 3 je
tedy 6 krát 3, což je 18, minus 8, což se
rovná +10. Dále se nás ptají, kterým směrem se
částice pohybuje v čase t rovná se 2. O tom už jsem
sice mluvil, ale zastavte si video
a zkuste na to odpovědět sami. Už jsme si říkali,
co znamená tohle znaménko. Když máme
u rychlosti minus, tak to znamená,
že se pohybujeme doleva. Vybereme tedy
tuto možnost. V čase t rovná se 3 velikost rychlosti
částice roste, klesá, nebo ani jedno? Zastavte si video
a zkuste na to odpovědět. U této otázky musíme
být velmi opatrní. Kdyby se ptali, zda rychlost částice
roste, klesá, nebo ani jedno z toho, tak by se stačilo
podívat na zrychlení, které vidíme,
že je kladné, z čehož už plyne,
že rychlost roste. V otázce však není rychlost,
ale velikost rychlosti. Připomeňme si, že velikost rychlosti
je její absolutní hodnota. Například v čase t rovná se 2
je naše rychlost −1. Kdyby jednotkou byly metry za sekundu,
tak by to bylo −1 metr za sekundu. Velikost rychlosti je však
1 metr za sekundu. U velikosti rychlosti
zanedbáváme směr, takže u ní nebude
tohle znaménko. Abychom tedy zjistili, zda velikost
rychlosti roste, klesá, nebo ani jedno, tak pokud je zrychlení kladné
a rychlost je také kladná, tak to znamená,
že velikost rychlosti roste. Pokud je rychlost záporná
a zrychlení je také záporné, tak to rovněž znamená,
že velikost rychlosti roste. Když však rychlost a zrychlení
mají rozdílná znaménka, tak velikost
rychlosti klesá. Velikost rychlosti
se bude zmenšovat. Podívejme se tedy, jaká je
naše rychlost v čase t rovno 3. Rychlost v čase 3... Musíme se
vrátit sem. Bude to 3 krát 9,
což je 27... 3 krát (3 na druhou) je 27. ...minus 24 plus 3, což se celkem
rovná 6. Rychlost i zrychlení mají tedy
můžeme říct stejný směr. Obě jsou to
kladná čísla. Naše rychlost se tedy
stane ještě víc kladnou, neboli velikost naší
rychlosti vzroste. Velikost rychlosti
tedy roste. Kdyby naše rychlost v čase
t rovná se 3 byla záporná, tak by velikost
naší rychlosti klesala, protože zrychlení a rychlost
by měly opačný směr.