Celková uražená vzdálenost pomocí derivací

Pozice částice pohybující se po číselné ose je dána funkcí: s(t) je rovno 2/3(t na třetí) minus 6(t na druhou) plus 10t, kde ‚t‛ je větší nebo rovno 0 a ‚t‛ se rovná času v sekundách. Částice se pohybuje vlevo i vpravo v prvních 6 sekundách. Jaká je celková dráha uražená částicí, je-li ‚t‛ větší nebo rovno 0 a menší nebo rovno 6? Připomeňme si, co se myslí pod pojmem celková dráha. Kdybych začal zde a posunul se o 3 jednotky doprava, a pak zpět o 4 jednotky doleva, což zapíši jako −4, pak by moje celková dráha byla 7. 3 doprava a 4 doleva. I když se nacházím zde na souřadnici −1. Nebo bychom řekli, že celkové posunutí je −1. Jsme o 1 jednotku vlevo od počátku. Celková dráha je přitom 7. To jsme si tedy ujasnili. Nyní vás povzbudím, abyste zastavili video a zkusili zodpovědět naši otázku. Jaká je tedy celková dráha uražená částicí v prvních 6 sekundách? Nejjednodušší způsob, jak příjít s odpovědí, je uvědomit si, kdy se částice pohybuje vpravo a kdy se pohybuje vlevo. A bude se pohybovat vpravo, když naše rychlost je kladná a vlevo, když bude rychlost záporná. Ve výsledku tedy musíme přijít na to, kdy je rychlost kladná či záporná. A abychom si to ujasnili, načrtneme si graf závislosti rychlosti na čase. Toto je tedy funkce dráhy a funkci rychlosti získáme derivováním funkce dráhy vzhledem k času. Derivace 2/3 krát t na třetí je 2 krát t na druhou. A potom dostaneme −12t plus 10. Takže si to zkusme načrtnout. Bude se jednat o shora otevřenou parabolu. Očividně se jedná o kvadratickou funkci. A koeficient před největším členem, před členem t na druhou, je kladný, tudíž parabola je shora otevřená. Bude to vypadat zhruba takto. Navíc předpokládáme, že částice mění směr. Takže rychlost je nějaký čas kladná a nějaký čas záporná. Mělo by to protnout osu ‚t‛ v místě, kde mění směr. Funkce bude v tomto intervalu záporná a mimo tento interval bude kladná. Nejjednodušší způsob bude, když najdeme naše 0. Pak si můžeme načrtnout naši parabolu. Abychom našli kořeny, stačí tento výraz položit rovno 0, takže dostaneme 2 krát t na druhou minus 12t plus 10 se rovná 0. Vydělíme obě strany 2, takže koeficient nejvyššího členu je 1. Dostaneme t na druhou minus 6t plus 5 se rovná 0. Teď to bude jednodušší. Můžeme to upravit na tvar (t minus 1) krát (t minus 5). −1 krát −5 je 5. −1 plus −5 je −6. To je rovno 0. Tato levá strana rovnice se bude rovnat 0, pokud jeden z těchto členů je roven 0. Dva členy v součinu se budou rovnat 0, pokud se jeden z nich rovná 0. Takže buď ‚t‛ se rovná 1 nebo 5. Teď si to načrtněme. Zde máme naše osy. Toto je moje osa pro rychlost. A druhá osa pro čas, která je pouze kladná. Načrtneme něco takového. Kladný čas. Označme 1; 2; 3; 4; 5. Mohli bychom pokračovat. Takže ‚t‛ je rovno 1. Tady je ‚t‛ rovno 5. Toto je naše osa času. Nakresleme parabolu. Jedná se o shora otevřenou parabolu, která bude procházet oběma těmito body. Vrchol bude, když ‚t‛ je rovno 3, mezi našimi kořeny. Takže parabola bude vypadat zhruba takto. Jedině takto nakreslíme shora otevřenou parabolu, která protíná osu ‚t‛ v obou těchto bodech. Takže to bude takto a takto. Bude se to protínat. Když ‚t‛ je rovno 0, můžeme zjistit… Když ‚t‛ je rovno 0, pak rychlost je 10. Parabola protne osu ‚v‛ zde nahoře v 10. Takto vypadá naše parabola. Vidíme, že rychlost je kladná pro časy mezi 0 a 1. A zároveň je kladná pro čas větší než 5 sekund. A vidíme, že naše rychlost je záporná, nebo-li se pohybujeme doleva, v čase mezi 1 a 5 sekundami. Naše rychlost je pod osou ‚t‛, právě tady a je záporná. Zamysleme se, jaká je pozice pro každý z těchto bodů. V čase 0; 1; 5 a v čase 6. A pak se podíváme na dráhu uraženou mezi těmito časy. Takže se na to podívejme. Udělejme si zde malou tabulku. Toto je čas, a toto je pozice v tom čase. Zajímají nás časy 0; 1; 5 a čas 6 sekund. Víme, že v bodě 0 je naše pozice 0. s(f) je rovno 0. V čase 1 sekunda, to bude 2/3 minus 6 plus 10. Nebo-li 4 a 2/3. Zapíšeme 4 a 2/3. V čase 5 sekund, to je 2/3 krát… Toto si raději rozepíši. ...2/3 krát 125, což je 250 děleno 3, to je to samé jako 83 krát 3, a to je 249, takže se to rovná 83 a 1/3. To je první člen. Minus 6 krát 25. To je −150 plus 10 krát 5, takže plus 50. A to se zjednoduší. −150 plus 50 bude −100. 83 a 1/3 minus 100, to je −16 a 2/3. −16 a 2/3 je naše pozice v čase 5 sekund. A pak v čase 6 sekund, to bude 2/3 krát 6 na třetí… Toto si musím rozepsat. 2/3 krát 6 na třetí minus 6 krát 6 na druhou. To bude jen minus 6 na třetí, 6 krát 6 na druhou, plus 60. Podívejme se, jak to můžeme zjednodušit? Tuto část můžeme zapsat jako… Když vytkneme 6 na třetí. 6 na třetí krát (2/3 minus 1) plus 60. Potřebuji trochu více místa. 6 na třetí krát −1/3 plus 60. A teď uvidíme, zapišme to takto. To bude 6 na druhou krát 6 krát (−1/3) plus 60. Toto je rovno −2, takže −2 krát 36. což je −72 plus 60. Toto tedy bude −12. Teď se zamysleme, jakou dráhu částice urazila? Začne cestovat doprava a urazí dráhu 4 a 2/3 doprava. Takže si to zapišme. Zde máme 4 a 2/3. A pak se začne pohybovat doleva. Z 4 a 2/3 se posunete do −16 a 2/3, takže se posunete o dalších 4 a 2/3. Posunete se o 4 a 2/3 doleva a pak o dalších 16 a 2/3 doleva. Takže popořadě, teď jsme v 4 a 2/3. Odtud musíme zpět na 0 a pak musíme jít doleva do −16 a 2/3. Proto pohyb odtud sem je 4 a 2/3 doleva, který následuje pohybem doleva o 16 a 2/3. Další způsob, jak tomu porozumět, je podívat se na rozdíl mezi těmito dvěma body. To bude 4 a 2/3 plus 16 a 2/3. Nebo 4 a 2/3 minus −16 2/3, což vám dá stejný výsledek, jako 4 a 2/3 plus 16 a 2/3. A pak jdete z −16 a 2/3 do −12. To znamená, že jste urazili další 4 a 2/3 doprava. Takže to je 4 a 2/3. Teď se pohybujete 4 a 2/3 směrem doprava. A teď jenom musíme všechno sečíst. Sečteme všechny hodnoty. Kolik to tedy bude? Bude to 2/3 krát 4, ta část pravé strany, ty zlomky. 2/3 krát 4 je 8/3. A tak, 4 plus 4 plus 16 plus 4 je 28. 28 a 8/3, to je divný způsob zápisu, jelikož 8/3 se dá přepsat jako 2 a 2/3. Takže 28 plus 2 plus 2/3 se rovná 30 a 2/3. Celková dráha uražená částicí během prvních 6 sekund je 30 a 2/3 jednotek.