Přímé a implicitní derivování dá stejný výsledek

V tomto videu si ukážeme, že implicitní i explicitní derivování ‚dá to stejné‘. Nebo-li dostaneme stejný výsledek. Mějme například rovnici: x krát odmocnina z y je rovna 1. Snadno můžeme v závislosti na x vyjádřit y. Podělením obou stran x dostaneme, že 1 lomeno x je rovno odmocnině z y. Umocněním na druhou dostaneme, že y je rovno 1 lomeno x na druhou. Což je to stejné jako x na −2. Potom už je vypočítání derivace y podle x přímočaré. Použitím pravidla o derivování mocninné funkce pak máme −2 krát x na −3. To bylo celkem snadné. Ukážeme, že stejný výsledek dá i implicitní derivování. Zderivujme obě dvě strany rovnice podle x. Při derivování výrazu vlevo použijeme následující pravidla: o derivaci součinu a o derivaci složené funkce. Z pravidla o derivaci součinu dostaneme… Máme tady součin dvou funkcí proměnné x, takže dle pravidla o součinu máme derivaci podle x funkce x krát odmocnina z y a k tomu přičteme součin x a derivace podle x z odmocniny z y. Napravo pak dostaneme derivaci z konstanty, což je 0. Jak rovnici zjednodušit? Derivace z x podle x je 1. Tím se nám tento výraz zjednoduší na odmocninu z y. Jak zjednodušit další výraz? Zderivování odmocniny z x podle x uděláme pomocí pravidla o derivaci složené funkce. Uděláme to postupně. Přičteme x krát výraz v modrém. To bude jako derivace z ‚něčeho‘ na jednu polovinu podle ‚něčeho‘. Což bude jedna polovina krát ‚něco‘ na minus jednu polovinu. Ještě jednou, toto je derivace odmocniny z y podle y. Viděli jsme to už mnohokrát. Třeba derivace odmocniny z x podle x je jedna polovina x na minus jednu polovinu. A nyní to stejné počítáme s y. Avšak ještě nejsme hotovi. Vzpomeňme si, že jsme derivovali podle y a ne podle x. Podle pravidla o derivaci složené funkce to ještě vynásobíme derivací y podle x. Derivaci y podle x ještě neznáme a budeme ji chtít dopočítat. Z pravidla o derivaci složené funkce máme, že derivace odmocniny z y podle y krát derivace y podle x je rovna derivaci odmocniny z y podle x. Toto tedy máme nalevo. Napravo pak je 0. Připomeňme, že chceme vyjádřit derivaci y podle x. Odečtěme od obou stran rovnice odmocninu z y. Trochu si to tady upravím, abych měl více místa na práci. Posunu to sem doprava. Vlastně to radši dám sem. Pak dostaneme nalevo x lomeno 2 odmocniny z y krát derivace y podle x. A na pravé straně máme minus odmocninu z y. Překopírujme si nyní rovnici sem. Pokračujme ve vyjadřování derivace y podle x. Stačí rovnici vynásobit převrácenou hodnotou zlomku x lomeno 2 odmocniny z y. Nalevo máme derivaci y pod x. Vpravo bude 2 krát odmocnina z y lomeno x a to celé krát minus odmocnina z y. A jak se to zjednoduší? Jelikož odmocnina z y krát odmocnina z y je y, tak dostaneme následující: −2 krát y lomeno x. Což je rovno derivaci y podle x. Můžete namítnout, že implicitní derivace vypadá dosti jinak než ta dříve vypočtená. Což bylo −2x na −3. Všimněme si, že zde jsme již vyjádřili y podle x. Proveďme proto substituci y rovno 1 lomeno x na druhou. Dostaneme, že derivace y podle x je rovna následujícímu: −2 krát 1 lomeno x na druhou a to celé děleno x. Což je −2x na −3, a tím jsme dostali stejný výsledek jako dříve.